二次型及其應(yīng)用

1、2016屆學(xué)生畢業(yè)論文材料（四）學(xué) 生 畢 業(yè) 論 文課題名稱二次型及其應(yīng)用姓 名蘭海峰學(xué) 號(hào)1209401-23學(xué) 院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師陳暑波 副教授2016 年 3月 15日湖南城市學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）誠(chéng)信聲明本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是本人在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果，成果不存在知識(shí)產(chǎn)權(quán)爭(zhēng)議，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本設(shè)計(jì)（論文）不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）作者簽名：

2、二一六 年 六 月 日 目 錄摘要1關(guān)鍵詞1Abstract 1Key words 11.二次型基本理論21.1二次型的矩陣表示 21.2矩陣的合同關(guān)系 21.3二次型的標(biāo)準(zhǔn)型、規(guī)范型及其性質(zhì) 31.4正定二次型及其性質(zhì) 32.二次型的實(shí)例應(yīng)用52.1二次型在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 52.1.1二次型與因式分解 52.1.2二次型與不等式的證明 72.1.3二次型在曲線上的應(yīng)用 72.1.4求解多元二次函數(shù)最值 92.1.5二次型與條件極值122.2二次型在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用132.2.1二次型在曲面上的應(yīng)用132.2.2二次型在最小二乘法上的應(yīng)用14參考文獻(xiàn) 17致謝 17附錄 18二次型及其應(yīng)用摘

3、要：二次型是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它將二次函數(shù)與矩陣直觀地聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)矩陣的表達(dá)與計(jì)算簡(jiǎn)化了研究二次函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程。然而，在本科階段中對(duì)二次型的學(xué)習(xí)要求并不多。因此本課題通過(guò)研究利用二次型的各項(xiàng)性質(zhì)解決在因式分解、不等式的證明、二元及多元二次函數(shù)的極值和最值等方面的判定和求法，以及部分曲線或曲面積分等情形的問(wèn)題，擴(kuò)充二次型在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的使用范圍，并使本科生能全面地認(rèn)識(shí)和使用二次型。關(guān)鍵詞：二次型；正定矩陣；正交變換；多元二次函數(shù)；曲面積分Quadratic Form and Its Applications Abstract：Quadratic form is an imp

4、ortant content in algebra, it connects quadratic function with the matrix intuitively, and make the process to research the properties of the quadratic functions easier by using matrix. However, in the undergraduate studies, learning requirements for quadratic form is not many. Thus, this project re

5、searches all the properties of quadratic form in order to solve the questions about factorization, the proof of inequality, the extremum of the binary and multivariate quadratic function and a part of curve and curved surface integral. Expand the quadratic form using scope of elementary mathematics

6、and higher mathematics, and make undergraduates understand and use quadratic form thoroughly at the same time. Key Words：Quadratic Form；Positive Definite Matrix；Orthogonal Transformation；Multivariate Quadratic Function；Curved Surface Integral1二次型基本理論二次型理論與高等代數(shù)理論、方法及其應(yīng)用有著相輔相成的關(guān)系二次型與多項(xiàng)式的相互表示、二次型矩陣的性質(zhì)以

7、及正定(半正定)二次型關(guān)于矩陣特征值等等。在此，我們?cè)敿?xì)說(shuō)明二次型的一些重要理論。1.1二次型的矩陣表示二次型是滿足特殊條件的多項(xiàng)式的集合，矩陣是代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，應(yīng)用于各個(gè)分支。使用矩陣來(lái)表示二次型，將會(huì)極大程度的簡(jiǎn)化二次型函數(shù)的表達(dá)式和其運(yùn)算。根據(jù)二次型的定義，將其表示為 （1.1）把等式右邊的系數(shù)轉(zhuǎn)化為矩陣，即。所以二次型（1.1）的矩陣表示為其中是表示其系數(shù)的對(duì)稱矩陣，。1.2二次型與矩陣的合同關(guān)系定義1.11 設(shè)數(shù)域上的矩陣和，如果有同數(shù)域上的可逆的矩陣，使得，則稱和是合同的，即與是合同關(guān)系。顯然，要使新二次型的矩陣還原至原二次型矩陣，只需再令，而后做線性替換即可。所以，要了解或是使用原

8、二次型的性質(zhì)，可通過(guò)研究變換后的二次型的性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)。1.3二次型的標(biāo)準(zhǔn)型、規(guī)范型及其性質(zhì)定義1.21 二次型經(jīng)過(guò)非退化的線性的替換而成的平方和 （1.4）稱為的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型。此時(shí)，二次型的系數(shù)矩陣應(yīng)為。根據(jù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型（1.4），再作一次對(duì)應(yīng)的非退化線性替換可得 （1.6）（1.6）式即為復(fù)二次型的規(guī)范型，其中()屬于復(fù)數(shù)域。同理，將實(shí)數(shù)域中的二次型標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)取絕對(duì)值開(kāi)方后加符號(hào)，可以得到定理1.11（慣性定理）任一個(gè)實(shí)數(shù)域上的二次型，可以經(jīng)過(guò)一系列非退化線性替換變?yōu)槲ㄒ坏囊?guī)范型，即另外，在實(shí)數(shù)域二次型的規(guī)范型中，我們將正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的正慣性指數(shù)，而將其負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的負(fù)慣性指數(shù)；它

9、們的差稱為的符號(hào)差。1.4正定二次型及其性質(zhì)正定二次型是實(shí)數(shù)域二次型中特殊的集合，它們有著非常重要的性質(zhì)。在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中，靈活運(yùn)用正定二次型的性質(zhì)可以讓問(wèn)題簡(jiǎn)化處理。定義1.31 如果對(duì)于任一組不全為零的實(shí)數(shù)都可使實(shí)數(shù)域二次型滿足，則此二次型稱為正定的。矩陣稱為正定矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)二次型正定時(shí)成立。對(duì)比正定性的定義，二次型的負(fù)定性、半定型與不定性有著類似的定義。這里給出正定二次型的一個(gè)特別的判斷定理：定理1.21 實(shí)數(shù)域二次型是正定的充分必要條件為的順序主子式全大于零。關(guān)于半正定性（半負(fù)定性即在函數(shù)式添加負(fù)號(hào)，為簡(jiǎn)便故只討論一種情況）的判定，直接給出如下結(jié)論：定理1.31 對(duì)于實(shí)數(shù)域的二

10、次型，其中是對(duì)稱的實(shí)數(shù)域矩陣，則下述條件等價(jià)：（1）的正慣性指數(shù)與秩相等，（2）的正慣性指數(shù)為，其符號(hào)差也為，（3）的規(guī)范型為，（4）存在實(shí)數(shù)域矩陣，使得，（5）矩陣的所有主子式大于或等于零（主子式為行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的子式）。（6）有可逆的實(shí)數(shù)域矩陣，使，其中，。需要注意的是，對(duì)于第（5）條，只判斷順序主子式的性質(zhì)并不能確保半正定性。例如就是負(fù)定的。2二次型的應(yīng)用實(shí)例二次型基于函數(shù)與矩陣的關(guān)系，能有效的解決函數(shù)、矩陣方面的問(wèn)題。因此，拓廣二次型在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的使用方式，能有效得體現(xiàn)出二次型的各項(xiàng)特性，并為充分認(rèn)識(shí)和使用二次型形成了條件。2.1二次型在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用在初等數(shù)學(xué)中，函數(shù)

11、的地位舉足輕重。因此，討論二次型在初等數(shù)學(xué)中關(guān)于函數(shù)的作用,既是對(duì)二次型的使用范圍進(jìn)行擴(kuò)充、對(duì)其使用方式進(jìn)行變通，同時(shí)也為解題思路提供了更多的方向。2.1.1二次型與因式分解因式分解，即把一個(gè)多項(xiàng)式表示成若干個(gè)多項(xiàng)式的乘積的形式的過(guò)程。對(duì)二次型而言，其函數(shù)表達(dá)式最高為二次，因此在討論因式分解時(shí)，其多項(xiàng)式次數(shù)大于三均不考慮?，F(xiàn)假設(shè)有二元函數(shù)表達(dá)式為 （2.1）此時(shí)，存在二次型無(wú)法表達(dá)的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，因此，將（2.1）式擴(kuò)展為后，可得。下面，用矩陣表示出，可得取，由定理1.2可知，其中是原二次型的規(guī)范型，而矩陣應(yīng)合同于規(guī)范型的矩陣。現(xiàn)設(shè)出矩陣,是通過(guò)非退化線性變換得到，故對(duì)函數(shù)而言，只需對(duì)應(yīng)替換

12、變量即可變換回。這就是說(shuō)，要使原多項(xiàng)式可因式分解，只需可因式分解。此時(shí)，應(yīng)滿足：（1）（2）?？梢缘贸鲆韵露ɡ恚憾ɡ?.11 設(shè)存在實(shí)數(shù)域二次型，則可分解為兩個(gè)實(shí)數(shù)域的一次齊次多項(xiàng)式乘積的充要條件為：秩為1，或者秩為2且符號(hào)差為0。下面給出一個(gè)實(shí)例。例2.1 求解是否可以進(jìn)行因式分解？如果可以，請(qǐng)分解。解：將擴(kuò)展為，則。，取,由非退化線性變換得根據(jù)定理2.1可知，矩陣B的秩為1，故可在實(shí)數(shù)域內(nèi)分解因式。最后可得。2.1.2二次型與不等式的證明對(duì)于不等式來(lái)說(shuō)，一般都可以轉(zhuǎn)化為與0值的比較。因此，正定二次型或負(fù)定二次型是證明不等式的有力工具。例2.2 證明三元不等式成立（其中不同時(shí)為0）。證：設(shè)函

13、數(shù)。要證原不等式成立，只要證函數(shù)即可。現(xiàn)取，根據(jù)定理1.4，的一階順序主子式，二階，三階表明矩陣是正定矩陣，對(duì)任意都有2、3。所以，原不等式成立。2.1.3二次型在曲線上的應(yīng)用設(shè)是正交矩陣，稱線性變換為正交變換?？疾炜臻g中向量的模，可得即是兩向量的長(zhǎng)度完全相同。這便說(shuō)明，向量在經(jīng)過(guò)正交變換后，其長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生改變。因此，幾何體的整體形狀也不會(huì)發(fā)生改變。這讓以向量為主要研究載體的曲線（面）有了更加方便的研究方法。在此，給出定理：定理2.24 向量在經(jīng)過(guò)正交變換后，其長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生改變。進(jìn)而其幾何體形狀大小也不會(huì)發(fā)生變化。例2.3 化簡(jiǎn)二次曲線方程,并判斷其形狀大小。解：根據(jù)例2.1的方法，我們令，再

14、設(shè)三個(gè)變量的函數(shù)，則有。由此可得的矩陣由合同變換，得到其標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣，其方程轉(zhuǎn)化為。再根據(jù)定理2.2，圖形整體形狀在正交變化下是不會(huì)發(fā)生改變的（如圖2.1），故有整理后可得。顯然，這是一個(gè)橢圓，且長(zhǎng)短軸分別為個(gè)單位和2個(gè)單位，其面積為。圖2.1 橢圓的正交變換在對(duì)例題進(jìn)行分析后，我們可以討論利用二次型對(duì)一般曲線的形狀判斷。設(shè)方程是二次曲線的一般方程，根據(jù)不同的參數(shù)設(shè)置，有如下情況：（1）或時(shí)，是只含有單一未知量的一元二次函數(shù)；（2）或時(shí)，方程可直接化為一般拋物線方程；（3）上述兩種外，可將原方程擴(kuò)充為三元二次方程從而形成二次型可解決的問(wèn)題，即，其中。依照定理2.2，則一定可以通過(guò)非退化線性變換

15、變換為的形式，且不會(huì)改變?cè)匠瘫硎緢D形的形狀。因此，我們只需要討論（）即可：（i）若，由于對(duì)稱性，我們?cè)O(shè)而（同時(shí)為0時(shí)，不滿足二次的要求）。此時(shí)上式即化簡(jiǎn)為 （2.2）當(dāng)（2.2）式右邊值為負(fù)數(shù)，即時(shí)，圖像表示為兩條平行虛直線；當(dāng)（2.2）式右邊值為正數(shù)，即時(shí)，圖像表示為兩條平行實(shí)直線；當(dāng)時(shí)，圖像為一條軸，事實(shí)上是兩條直線重合。（ii）在的情況下，我們從與0的關(guān)系開(kāi)始討論，（a），則。顯然，如果（即），那么圖像表示為兩條相交直線，且其夾角；如果（即），即在只有零解的情況下，其圖像為一個(gè)點(diǎn)；（b），我們可以將式子簡(jiǎn)化為，其中，。若且，則顯然是一個(gè)實(shí)橢圓圖像；當(dāng)且時(shí)，圖像為復(fù)數(shù)域上的虛橢圓。若，不

16、妨設(shè)，此時(shí)原式的等價(jià)于,其圖像是一個(gè)雙曲線。綜上，我們已經(jīng)完成了對(duì)二次型在曲線形狀判定上的討論。2.1.4求解多元二次函數(shù)最值對(duì)一元二次函數(shù)的各類探討，是初等數(shù)學(xué)中很重要的知識(shí)點(diǎn)。根據(jù)2.1.2節(jié)的理論可以發(fā)現(xiàn)，二元二次函數(shù)的探討可以利用二次型完成，因此，我們可以自然的聯(lián)想到“多元二次函數(shù)是否能通過(guò)二次型來(lái)求得最值”這個(gè)問(wèn)題。對(duì)一元二次函數(shù)而言，其函數(shù)表達(dá)式為。當(dāng)時(shí)，在處取得最小值；時(shí)，在同一點(diǎn)處取得最大值?，F(xiàn)擴(kuò)充為元二次函數(shù)的形式，則有再用矩陣表示各項(xiàng)系數(shù)，就可得到 （2.3）其中，,且所有。此時(shí)，在可逆時(shí)，即是對(duì)稱矩陣。由以上條件，作變換,（2.3）可化為整理開(kāi)即最后化簡(jiǎn)，可以得到 （2.

17、4）這里可以看出，（2.4）式右端仍是一個(gè)二次型，故有如下討論（1）如果矩陣是正定的，則正定，也就是說(shuō)對(duì)任意的都有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），也即所以，只有在時(shí)，可取的最小值，此時(shí)；（2）同理可知，如果矩陣是負(fù)定的，則對(duì)任意的都有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）。故在時(shí)，可取得最大值，此時(shí)仍等于。綜上可知，多元二次函數(shù)的極值求解與一元二次函數(shù)極值的求解辦法相似，只是在計(jì)算方式上由常數(shù)的運(yùn)算變?yōu)榫仃囘\(yùn)算。下面再用例題說(shuō)明上述結(jié)論。例2.4 求三元二次函數(shù)最值。解：根據(jù)上述推到，我們?cè)O(shè)，則其中,，。顯然，的一階順序主子式，二階順序主子式，其三階順序主子式，所以矩陣是負(fù)定矩陣，原函數(shù)有最大值5、6。又當(dāng)取時(shí)，可取

18、得函數(shù)最大值，故計(jì)算（使用MATLAB軟件，代碼見(jiàn)附錄A）：再將的值帶入上式可知，當(dāng)時(shí)可取的函數(shù)值最大值。2.1.5二次型與條件極值條件極值問(wèn)題是運(yùn)籌學(xué)中一個(gè)非常重要的理論問(wèn)題，它在高中數(shù)學(xué)也有所體現(xiàn)。二次型可以將多元二次函數(shù)構(gòu)成的極值問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，其方法也比較類似2.1.4節(jié)對(duì)二次函數(shù)最值的求解。我們?cè)O(shè)是一個(gè)實(shí)二次型，其中 。再設(shè)，那么應(yīng)有。對(duì)二次型矩陣進(jìn)行正交化，若的特征值為，則。這時(shí)，其中所以這就是討論在下的極值情況。這里可以給出定理定理2.37、8 元實(shí)二次型在條件下的最大（?。┲稻褪蔷仃嚨淖畲螅ㄐ。┨卣髦档谋丁Ｏ旅嬖儆脙蓚€(gè)題目來(lái)加以說(shuō)明。例2.5 已知，求的值。解：設(shè)二次型，則其矩

19、陣。所以的特征值分別為：，。根據(jù)定理2.3，。又在兩個(gè)特征值下的特征向量分別為：，。因此，在時(shí)，可取得的最小值；在時(shí)，可取得的最大值。例2.6 設(shè)函數(shù)，且滿足，求的最值。解：函數(shù)的矩陣為可以求得（MALAB代碼見(jiàn)附錄A），矩陣的特征值分別為：，。根據(jù)定理2.3可得，最大值，最小值2.2二次型在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用二次型的各種性質(zhì)，尤其是有定性，在高等數(shù)學(xué)中用處非常大。本節(jié)將會(huì)說(shuō)明二次型在曲面上的一些便捷運(yùn)用，以及在回歸模型中最小二乘法與之的關(guān)系。2.2.1二次型在曲面上的應(yīng)用在2.1.3節(jié)中，證明了向量經(jīng)過(guò)正交變換并不會(huì)改變大小這一特性，保證了平面原幾何體的形狀是不會(huì)發(fā)生變化的。同樣的，由于向量本

20、身的特性，空間幾何體由向量表示后，作正交變換而得的新的空間幾何體也不會(huì)改變形狀。所以，在解決一些幾何問(wèn)題時(shí)，通過(guò)正交變換能解決得更加便捷。例2.7 求被曲面所截取部分的面積。解：首先將曲面通過(guò)正交變換化簡(jiǎn)，令，有，其中取正交變化可得曲面方程為，平面方程為。顯然，一個(gè)水平平面截取一個(gè)圓柱體的面積就是圓柱體橫截面面積，得9。在積分方面，由于同樣的性質(zhì)，可以通過(guò)簡(jiǎn)化（正交變換）幾何體方程來(lái)讓計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便。例2.8 求的值，其中。解：將由二次型矩陣表示，可得，其中。再由正交變換這表明原橢球與新橢球的體積相同10。故記，可得顯然，這樣的計(jì)算方式會(huì)簡(jiǎn)便很多。2.2.2二次型在最小二乘法上的應(yīng)用最小二乘法多

21、用于回歸分析。無(wú)論是經(jīng)濟(jì)模型，物理模型還是其他需要找尋最貼近實(shí)際的參數(shù)的模型，都是為了找到函數(shù)的可能的擬合值。一元一次函數(shù)的參數(shù)估計(jì)已經(jīng)很明朗了，因此我們根據(jù)最小二乘法的理論推導(dǎo)，探尋多元條件下二次型對(duì)其的作用。類似一元一次函數(shù)的情況，設(shè)變量受到這個(gè)變量的影響。與的關(guān)系式為 （2.5）其中,。為簡(jiǎn)化方程，記，則（2.5）式等價(jià)于其中,。在矩陣中的元素都已知時(shí)，即是確定的（且非退化），要使得誤差平方和 （2.6）達(dá)到最小值，即滿足最小二乘估計(jì)，根據(jù)（2.6）式中關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算可得，需滿足方程事實(shí)上，二次型為正定矩陣，故一定存在，而有唯一解最后將回歸值帶入（2.5）式，即。再對(duì)回歸值進(jìn)行探討所以

22、可以求得，即是的無(wú)偏估計(jì)量。其次這說(shuō)明的協(xié)方差矩陣仍是正定矩陣11、12。根據(jù)上述分析，我們將其運(yùn)用于實(shí)際例題中，并編寫R軟件程序來(lái)實(shí)現(xiàn)整個(gè)算法。例2.9 若在人的身高相等的情況下，血壓的收縮壓與體重，年齡有關(guān)。試著通過(guò)下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立關(guān)于和的線性關(guān)系方程。表2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表序號(hào)序號(hào)176.050120879.050125291.520141985.040132385.5201241076.555123482.5301261182.040132579.0301171295.040155680.5501251392.520147774.560123解：我們將數(shù)據(jù)用矩陣表示，由公式，令帶入前面

23、推到的計(jì)算公式中可得圖2.2的結(jié)果（R語(yǔ)言代碼見(jiàn)附錄）圖2.2 最小二乘估計(jì)值最后可得回歸方程為這與直接使用R軟件中的lm()函數(shù)所得結(jié)果完全相同。參考文獻(xiàn)1 王萼芳.高等代數(shù)（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.2 李曉萍.二次型的性質(zhì)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J.通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001(5)：27-30.3 陳麗，杜海霞.二次型性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用J.廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013(1):8-10.4 白頡.二次型理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J.太原大學(xué)教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（1）:113-115.5 徐陽(yáng)棟.二次型在多元函數(shù)極值問(wèn)題上的應(yīng)用J.教育教學(xué)論壇，2015(28):180-181.6 楊桂

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