一元二次方程復(fù)習(xí)串講含答案

1、一元二次方程Page 3 of 7考點(diǎn)一：一元二次方程的定義?考點(diǎn)說明：如果單獨(dú)考察，一般會(huì)以選擇、填空的形式出現(xiàn)，但是一般情況下，不會(huì)單獨(dú)考察，而是在第23題的位置結(jié)合根的判別式與二次項(xiàng)系數(shù)不為零，求參數(shù)的取值范圍。【例1】關(guān)于x的方程（a_1 m 1(2006m 1) 1m 1 =1 1 2006 1 2005 1）x2 2ax 6 。是一元二次方程，則 a的取值范圍是（）A. a 1B. a 0C. a為任何實(shí)數(shù)D.不存在【答案】C【例2】若（m 3）xn 2 3nx 3 0是關(guān)于x的一元二次方程，則 m、n的取值范圍是（）A. m0、n3 B. m3、n4 C. m 0, n 4 D.

2、 m3、n0【答案】B考點(diǎn)二：一元二次方程的解與整體思想和降次思想?考點(diǎn)說明：關(guān)于一元二次方程的解的考察主要有三方面：一是代入根求參數(shù)的取值，二是代入根構(gòu)造“整體”，三是“降次”【例3】關(guān)于x的一元二次方程（a 1）x2 x a2 1 0的一個(gè)根是0,則a的值為（）1A. 1B. 1C. 1或 1D.-2【答案】B【例4】若m是方程3x2 2x 2 0的一個(gè)根，那么代數(shù)式 -m2 m 1的值為2【解析】m是方程3x2 2x 2 0的一個(gè)根，3m2 2m 2 0即m2 m 1 ,23 代數(shù)式3m2 m 1 2 （像這樣的恒等變形，很多學(xué)生掌握都不是很熟練）2【答案】22005m著1的值為2.2【

3、例5】已知m是萬程x 2006x 1 0的一個(gè)根，則m【答案】m是方程x2 2006x 1 0的一個(gè)根22m 2006m 1 0 ,則 m 2006m 12006一原式(2006 m 1) 2005m (2006 m 1) 1考點(diǎn)三：一元二次方程的解法?考點(diǎn)說明：如果考察一般會(huì)出現(xiàn)在計(jì)算題第2題或3題的位置，同時(shí)也可能出現(xiàn)在第23題的第1問,或第2問中，四種方法都必須熟練掌握。22【例6】解關(guān)于x的方程：2x 3 3x 2【答案】xi 1 , X21【例7】用配方法解下列方程 X26x4 0（y1）（y3）5 0【答案】“屈3,x2 屈3；yi4 ,y22 ;【例8】用公式法解下列方程 2x2

4、 3x 1 0 3x2 6x 23173.17,明 3333答案 x1 , x2 x1 ,x 4433【例9】用因式分解法解下列方程23 2 11 2x 3x 5 4 6x x x 063【答案】x13, x2 -42 , x21；232考點(diǎn)四：利用根的判別式判定或證明方程根的個(gè)數(shù)?考點(diǎn)說明：此類問題一般會(huì)以選擇題或者第23題的第1問出現(xiàn)，同時(shí)還有可能會(huì)結(jié)合三角形邊的關(guān)系，如“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”“勾股定理”等【例10】不解方程，判別一元二次方程2x2 6x 1的根的情況是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.沒有實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.無法確定【答案】A【例11】已知a

5、、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，則方程 b2m 2x2 （b2 c2 a2）x c2 0根的情況（）A.兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根B.兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無實(shí)數(shù)根D.不能確定【答案】C【例 對(duì)任意實(shí)數(shù) m ,求證：關(guān)于x的方程（m2 1）x2 2mx m2 4 0無實(shí)數(shù)根.【答案】m2 1 0,故方程為一元二次方程._22.22422m 4mlm 44m 4m 20m162 m 2 0,，0,故方程無實(shí)根.【例13】求證：關(guān)于x的一元二次方程x2 (2 m)x 1 m 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.【答案】 x2 (2 m)x 1 m 0是關(guān)于x的一元二次方程一 、22(2 m) 4(1 m) m.2- m 0原方程有兩個(gè)實(shí)

6、數(shù)根.考點(diǎn)六：利用根的判別式求參數(shù)的取值范圍?考點(diǎn)說明：一般出現(xiàn)的位置選擇、填空，第 23題第一問，求參數(shù)取值范圍時(shí)，注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零的條件，這是很多學(xué)生容易忘記的條件?！纠?4】如果關(guān)于x的一元二次方程kx2 6x 9 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是()A. k 1B.k 0 C. k 1且 k 0D. k 1【答案】C【例15】關(guān)于x的一元二次方程(1 2k)x2 2jx 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.4(k 1) 4(1 2k) 01【解析】由題意，得 k 1 0解得1 k 2且k21 2k 0【答案】1 k 2且k 12考點(diǎn)六：一元二次方程解應(yīng)用題?考點(diǎn)說

7、明：一般列方程解應(yīng)用題會(huì)在解答題的位置出現(xiàn)，不排除會(huì)以選擇、填空的形式出現(xiàn)的可能。常見的有增長(zhǎng)率問題，商品利潤(rùn)問題，面積問題等【例16】某商場(chǎng)2002年的營業(yè)額比2001年上升10%, 2003年比2002年又上升10%,而2004年和2005年 連續(xù)兩年比上一年降低10%,那么2005年的營業(yè)額比2001年的營業(yè)額()A.降低了 2%B.沒有變化C上升了 2%D.降低了 1.99%【答案】設(shè)2001年的營業(yè)額為a元，則2002年的營業(yè)額為1.1a元，2003年的營業(yè)額1.21a元，所以2005年的營業(yè)額為 1.21a (1 10%)2 0.9801a因此2005年的營業(yè)額比2001年的營業(yè)額

8、降低了 a 0.9801a 100% 1.99%,所以選擇D a【例17】北京市政府為了迎接 2008年奧運(yùn)會(huì)，決定改善城市面貌，綠化環(huán)境，計(jì)劃經(jīng)過兩年時(shí)間， 綠地面積增加44% ,則這兩年平均每年綠地面積的增長(zhǎng)率是()A.10%B.20%C.30%D.40%【答案】設(shè)綠地面積的增長(zhǎng)率是x ,原有綠地面積為 a ,根據(jù)題意得a(1 x)2 a(1 44%)解得x 20%或x 220% (舍)，則平均增長(zhǎng)率為20%,，選B【例18】某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可以銷售出 20件，每件盈利40元，為擴(kuò)大銷售，增加利潤(rùn)，盡量減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價(jià)1元，

9、商場(chǎng)平均每天多售出2件，若商場(chǎng)平均每天要盈利 1200元，每件襯衫應(yīng)降低多少元？【答案】解：設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，則每件所獲得的利潤(rùn)為 (40 x)元，但每天可多售2x件，每天可賣202(20 2x)件，根據(jù)題意得 (40 x)(20 2x) 1200 ,萬程化簡(jiǎn)整理得 x 30x 200 0解得為20 , x2 10 ,二,要盡快減少庫存， x 20答：若商場(chǎng)每天要盈利1200元，每件應(yīng)降價(jià)元【例19】宏達(dá)汽車出租公司共有出租車120輛，每輛汽車的日租金為160元，出租業(yè)務(wù)天天供不應(yīng)求，為適應(yīng)市場(chǎng)需求，經(jīng)有關(guān)部門批準(zhǔn)，公司準(zhǔn)備適當(dāng)提高日租金，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一輛汽車日租金每增加10元，每天出租

10、的汽車相應(yīng)地減少6輛。若不考慮其他因素，公司將每輛汽車的日租金提高幾個(gè)10元能使公司的日租金總收入達(dá)到19380元？使公司的日租金總收入最高？最高是多少？【答案】設(shè)公司將每輛車日租金提高x個(gè)10元，才能使公司的日租金總收入達(dá)到19380元，2根據(jù)題意得(160 10x)(120 6x) 19380 ,整理得 x 4x 3 0解得x1 1 , x2 3,檢驗(yàn)知x1 1 , x2 3均符合題意故公司將每輛汽車租金提高 10元或30元，公司的日租金總收入達(dá)到19380元設(shè)公司將每輛汽車日租金提高x個(gè)10元，則公司每天出租的汽車為(120 6x)輛，22則每天的租金總收入為 (160 10x)(120

11、 6x)60( x 4x 320)60(x 2)19440當(dāng)x 2時(shí)，公司的日租金收入最高，最高租金為19440元【例20長(zhǎng)20 m、寬15 m的會(huì)議室，中間鋪一塊地毯，地毯的面積是會(huì)議室面積的一半，若四周未鋪地毯的留空空間寬度相同，則留空的寬度為 1【答案】設(shè)留空的寬度為 xm,根據(jù)題意得(20 x)(15 x) - 20 1522整理得x 35x 150 0,解得x1 30, x2 5, x 30不符合題意，舍， x 5【例21如圖所示，在一個(gè)長(zhǎng)為 40米，寬為26米的矩形廣場(chǎng) ABCD上，修建三條同樣寬的道路，若使每塊草坪的面積都是144平方米，則道路寬為多少?【解析】注意：是“每塊草坪

12、的面積是144平方米”【答案】設(shè)道路的寬為 x米，根據(jù)題意得（40 2x）（26 x） 144 62整理得x 46x 88 0,解得x 2或x 44, x 44不符合題意，舍，x 2答：道路寬為2米【例22如圖， ABC中， B 90 , AB 6 cm , BC 8 cm ,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2 cm/s的速度移動(dòng)（點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)停止）.如果點(diǎn)P , Q分別從點(diǎn)A, B同時(shí)出發(fā)t秒（t 0）t為何值時(shí)，PQ 6 cm ?t為何值時(shí)，可使得PBQ的面積等于8 cm2 ?【答案】根據(jù)題意，知 BP 6 t、BQ 2t根據(jù)勾股定

13、理，得 PQ2 BP2 BQ2 ,即（6 t）2 （2t）2 36» 一2一 一-，、12整理得5t 12t 0 ,解得t 0 （舍）或t 5根據(jù)三角形的面積公式，得1-PB BQ 8 ,則 t（6 t） 8 ,解得 t 2 或 t 4當(dāng)t 2或t 4秒時(shí)， PBQ的面積等于8 cm2【例23如圖所示，某海軍基地位于 A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo) B,在B的正東方向200 海里處有一重要目標(biāo)小島 C。小島D位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭，一艘軍艦從A出發(fā),經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補(bǔ)給船同時(shí)從 D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦。已知軍艦的速度是補(bǔ)給船

14、的2倍，軍艦在B到C的途中與補(bǔ)給船相遇，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】解：: AB BC, AB BC 200海里，AC 夜AB 200V2海里，C 45過點(diǎn)D作DF BC ,垂足為F ,貝U DF CF , 短DF CD ,即DF CF CD 100海里 2設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了 x海里，那么DE x海里，AB BE 2x海里，EF 300 2x海里在Rt DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程 2222x 100(300 2x),整理得，3x 1200x 100000 0解得為 200 四6 , x2 200 四6 (不符合題意，舍去)33所以相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了 200辿

15、6海里3考點(diǎn)六：利用根與系數(shù)關(guān)系，求代數(shù)式的值?考點(diǎn)說明：根與系數(shù)關(guān)系并不在中考大綱要求之中，但是在高中根與系數(shù)關(guān)系還是有著非常廣泛的應(yīng)用，因此學(xué)生熟練掌握對(duì)于高中的學(xué)習(xí)也是有著很大的幫助。而且與之相關(guān)最緊密的就是完全平方公式和平方差公式的應(yīng)用【例24】設(shè)方程4x2 7x 3 0的兩個(gè)根為為、x2,不解方程求下列各式的值(x1 3)(x2 3)； x,2723、 97(x1 x2)(x1 x2)4x1x2 (4)4 ( 7)行， K x2【例25】已知、是方程x2 5x 2 0的兩根，求J一、一的值.【解析】注意，均為負(fù)數(shù)，很多學(xué)生求出的結(jié)果均為負(fù)值【答案】由韋達(dá)定理可得，5 ,2x1 ； x1 x2x1 1 x2 1【答案】由韋達(dá)定理得 x1 x2 7 , x1 x 3Page 7 of 7497考點(diǎn)七：利用根與系數(shù)關(guān)系，求參數(shù)的數(shù)值及方程另一根?考點(diǎn)說明：一般涉及到方程根的情況，將方程的根帶入方程中求出參數(shù)的數(shù)值。但是對(duì)于一元二次方程,我們可以通過根與系數(shù)的關(guān)系，直接建立方程根和系數(shù)的等量關(guān)系，有的時(shí)候問題會(huì)更簡(jiǎn)單、明了?！纠?6若方程x2 px 1 。的一個(gè)根為1 72,則它的另一根等于, p等于【解析】部分學(xué)生喜歡將 x 1 隹代入原方程，求 p的數(shù)值，然后