行列式試題及答案

1、選擇題（每小題3分，共30分）(A) abe =0 (B)a+b+e= (C)a=1,b=-1,e=0(D)a2=b2,n元排列i1 i 2 -對(duì)換的次數(shù)為（ i n經(jīng)過(guò)相鄰對(duì)換，變?yōu)閕 ni 2 i 1,則相鄰 ）e=0(A) n(C) 2n (D) n(n-1)/22x112xx4x12x(B)n/2中，x3的系數(shù)是（）在函數(shù)f xa1b1a2b2b3a3b4a4四階行列式b16)a2b”()(A) -2 (B) 2 (C) -4(D) 4若 Dn=det( aij )=1，則 det(D) (-1)n(n -1)/2(A) (a1a2-(C) (a1b2-(a3a4- b3b4)(a3b

2、4- a4b3)(B)(D)(a1a4-(a1b4-bb)a4bJ(a2a3- b2b3)(a2b3- a3b2)11設(shè)22nn(C) (-1)(A) 1 (B) -1則n不可取下面的值是X12X22X30齊次線性方程組2X1x2X30只有零解，3x1X2X30件是（）(A)=0 (B)=2(C)=1 (D)填空（每小題3分，共15分）則應(yīng)滿足的條在五階行列式中,日12日53341日24日35的符號(hào)是(A)7(B) 2k+1(k2)(C) 22)(D) 1732 100301 0(A)32 1(B)010(C)30 000 113000 1下列行列式等于零的是（)(D)000130003200

3、18/30207cJ30026五階行列式行列式D非零的充分條件是（A）D的所有元素非零（B）D至少有n個(gè)元素非零（C）D的任何兩行元素不成比例（D）以D為系數(shù)矩陣的非齊次線性方程組有唯一解(A)，貝 U 5A14+A24+A44=若a, b是實(shí)數(shù),則當(dāng)a=且b=時(shí)，有設(shè)X1, X2, X3是方程x3+px+q=0的根，則行列式a2 1abacabb2bebe()2 .e 1a2 abae1 0 0ab b2be0 1 0ae bee20 0 1ac6分，共30分）(B)2 aabaeabb2 1beaebee21abaeabb2 1beaebee2a2abaeabb2 1be2 aebee2

4、1(C)設(shè)a, b, e兩兩不同，則aba2b2a2abaeabb2beaebe2 e1 ab ae0 b2 1 be (D)0 be e2 11abaeab1beaebe1a be2e0的充要條件是1123*311222311c1230*221101 X11111X11111y11111XaaabXaaDnbbXabbbx計(jì)算行列式（每小題y(ab)a2b2e2d2ab0ba010*為x2x3X3X1X2x2x3為a22ab22be22ed22d0。212121213四證明題（每小題10分，共20分）三、計(jì)算題用歸納法證明：任意一個(gè)由自然數(shù)1,2,n構(gòu)成的n元排列,axbyc0設(shè)平面上三條不

5、同的直線為bxcya0，cxayb0一定可以經(jīng)過(guò)不超過(guò) n次對(duì)換變成標(biāo)準(zhǔn)排列12n證明：三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件是a b c 011231011303112c21r.1572023110【423110rF12301123012211022110五解答題（5分）0113按第5列展開(kāi)4 51572(1)4 523112211按第4行展開(kāi)011315722 31,0 500X1X2X30和取何值時(shí)，x1 x2X30有非零解?X|2 x2x300130133 2r217251722 1 10 1353參考答案、選擇題(D)(A)(C)(A)(D)(D)(C)(B)（B）；(D)、填空題按第1列展

6、開(kāi)5113170“-”調(diào)換乘積中元素的位置，使行標(biāo)成標(biāo)準(zhǔn)排列a12a24a35a41a53 ,此時(shí)列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t（245佝=5，故該項(xiàng)帶負(fù)號(hào)。420 0 0 ： 13I0 0 0；3 20 0 1 ! 8 3 I0 2 0 ； 7 5300-26(1)2342a2b2c2d2C4C31 2a22a312b22b312c22c312d22d3a22a122b22b122c22c122d22d1222CdC30C2a bC4c:C32 C22a12a32a52b12b32b52c12c32ccJ2d12d32d5cf1 X111|xX0011 X11r21 X11111 y1r3r4|o0y

7、y1111 y|1111 y1 1 0第1,3行提取公因子xy-15011 :00157514111 x :111111xy 1500011209000 :11 y34311用5, 1,0, 1替代原行列式中的第四列，按第四列展開(kāi)，有5A 4+A24+A44=x2a bab0ba0101 a=0, b=02 2(a2 b2)0a=0, b=00由題意知k X32x1 X x2 X x30，其中x的系數(shù)為k，x的系數(shù)為心X2 X3），與原方程比較，得k=1，x1+x 2+x 3=0。將行列式的第2,3行加至第1行，并對(duì)第1行提取公因子，得X1X2X3x3為X2X2X3xi1X2X3) X31X1

8、1x2X2X3X1c對(duì)n階行列式按第一行展開(kāi)，得遞推公式b于是有DgaD2bcD1a(a23bc) abc a3 2abcD4 aD3bcD2a(a32abc)2422 2bc(a2 bc) a4 3a2bc b2c2D5 aD4 bcD3a5 4a3bc 3ab2c2Dn aDn 1 bcDn 12xaaaxaaa 0ab cbxaabxaa 0故系數(shù)行列式Dbc aDnca bbbxabbxa 0D(abc)(abbbxbbba (x a)0即1(ab2c2 ab bcca)b c)(ab)2 (b c)2(c a)2xaaaxaa0bxaabxa0bbxabbx0bbbabbb(x a)

9、由于三條直線不同,因此，a,b,c不能全部相等,充分性xaa1bxa1bbx1bbb1(xa已知a b c 0 ,要證明下列非齊次線性方程組有唯一解。a)Dnbx得遞推公式Dn a(x b)nDn的轉(zhuǎn)置行列式相當(dāng)于將a(xb互換，于是有a)DnDnb(x a)n 1(x b)Dn 1因?yàn)閍 b，(x- b)-(x-a)，得Dn四、證明題設(shè)n元排列為i 1i 2 i n。(x a)Dn i當(dāng)n=2時(shí)，最多只需1次對(duì)換即可得標(biāo)準(zhǔn)排列 12,結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1元排列成立，下面證明對(duì)n元排列也成立若元素i n=n。根據(jù)歸納法假設(shè)，i1i2i n-1可經(jīng)過(guò)不超過(guò)n-1次對(duì)換變成12(n-1)，亦

10、即i 1i 2in-1 i n可經(jīng)過(guò)不超過(guò)n-1次對(duì)換(n次)變成12n若元素i n n。不妨設(shè)i k=n,只需對(duì)換元素i k和i 1i 2i n可經(jīng)過(guò)不超過(guò)n次對(duì)換變成in,即得第種情形，故12n必要性設(shè)三條直線交于一點(diǎn)(X0,y。)，則 的齊次線性方程組的非零解，x=x。，y=y。，z= 1可看成是如下axbycz0bxcyaz0cxaybz0axbycbxcyacxaybb)x(bc)ycxayb ,將前兩個(gè)方程相加，有(c a)即第三個(gè)方程。(a由于a b c 0 ,得因此，滿足前兩個(gè)方程的解一定滿足第三個(gè)方程 方程)，去掉第三個(gè)方程，方程組變?yōu)?該方程是多余axbxbycyabbc其