函數(shù)解析式求法總結(jié)及練習(xí)題

1、/. f(X)= 2x+或f() = -2x + 3 函數(shù)解析式的七種求法-、待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法.它適用于已知所求函數(shù)類型(如一次函數(shù)，二次函數(shù)，正、反例函數(shù)等) 及函數(shù)的某些特征求其解析式的題目。其方法：已知所求函數(shù)類型，可預(yù)先 設(shè)出所求函數(shù)的解析式，再根據(jù)題意列出方程組求出系數(shù)。例1設(shè)/是一次函數(shù)，且/(x) = 4x + 3,求/解： /(x) = ax + b (U O),= Qf(X)+b = a(ax+?)+b = a2x+ab+ba1 =4Z> + b = 3二、配湊法：已知復(fù)合函數(shù)fg()的表達式，求/3的解析式，fg()的表 達式容易配

2、成g()的運算形式時，常用配湊法.但要注意所求函數(shù)/(X)的定 義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是g()的值域.例2 已知/(+l) = +-L (>0),求/(X)的解析式.XL解:. f(x + 丄)=(x + 丄T 一 2， X + 丄 2 , . /(x) = x2 -2 (x 2) XXX三、換元法：已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達式時，還可以用換元法求/(X)的解 析式.用來處理不知道所求函數(shù)的類型，且函數(shù)的變量易于用另一個變量表示的問題。它主要適用于已知復(fù)合函數(shù)的解析式，但使用換元法時要注意新 元定義域的變化，最后結(jié)果要注明所求函數(shù)的定義域。例 3 已知 /(JX +1) = X

3、 + 2x ,求 /(x +1)解:令 r = x + l,則 41, X = (r-1)2 . /(眉+l) = x + 2仮,.-./(r) = (r-l)2+2(r-l) = r2-l,/. /(x) = x2-l (xl),A f(x +1) = (x +1)2 _ 1 = 2 + 2X (X 0)四、代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點或者某條直線的對稱函數(shù)時，一般用代入法.例4已知:函數(shù)y = x2+xy = g(x)的圖象關(guān)于點(-2,3)對稱，求g(x)的解析式.解:設(shè)May)為y = g(x)上任一點，且Mt(xyt)為M(Xyy)關(guān)于點(-2,3)的對稱點=解得：2X ： °

4、; , .點 MXx V)在 y = g(x)上 y =6_y/. yf = xf +xf *' = Y 4代入得：6 - y = (-X-4)2 +(-X-4).V = 6-y整理得) = -F -7x-6 ,/. g(x) = -X2 _ 7x _ 6.五、構(gòu)造方程組法：若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約，則可以對變量進行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過解方程組求得函數(shù)解析式例 5 設(shè) /(X)滿足T(X) - 2 f(-) = X,求 f(x) 解 V /(x)-2(-) = x 顯然"0,將X 換成丄，得：/(-)-2(x) = -XXXX解聯(lián)立的方程組，得:=3 3x例6 設(shè)/

5、(X)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，又d) + g() =丄,試求/(X)和g(x)的 x-l解析式解.f(-x) = f(x),g(-x) =-S(X),又 f(x) + g(x) = -，用-X 替換尤得：x-1f(-) + g(-)=,即f(x)-g(x) =,解 聯(lián)立的方程組，得x + 1x + Kr) , 5小結(jié)：消元法適用于自變量的對稱規(guī)律。互為倒數(shù)，如f(x)、f(-)；互X為相反數(shù)，如f(x)、f(-X),通過對稱代換構(gòu)造一個對稱方程組，解方程組 即得f(x)的解析式。六、賦值法：當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對 具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、

6、簡單化，從而求得解 析式.例7已知：/(0) = 1,對于任意實數(shù)等式f(x-y) = f(x)-y(2x-y + )恒成立，求/().解.對于任意實數(shù)X、y,等式/(x-y) = (x)-y(2-y + l)恒成立，不妨令 X = O ,則有 /(-刃=/(O) - y(-y +1) = 1 + y(y- 1) = y2 -y + .再令-y = 得函數(shù)解析式為：f(X) = X2 +X+例 5:已知/(0) = 1, f(a-b = f(a)-b(2a-b +1),求 f(y) O解析：令"=0,則/(-) = /(0)-b(l-b) =，-b + l令-h = x則/(x) =

7、 x2 +x + l小結(jié)：所給函數(shù)方程含有2個變量時，可對這2個變量交替用特殊值代入, 或使這2個變量相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù)，至于取什么 特殊值，根據(jù)題目特征而定。通過取某些特殊值代入題設(shè)中等式，可使問 題具體化、簡單化，從而順利地找出規(guī)律，求出函數(shù)的解析式。七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系 式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運算求得函數(shù)解析式.例8 設(shè)/(x)是定義在N*上的函數(shù)，滿足/=1,對任意的N a,b都有 /(«) + fW = f(a + ?)-Ubf 求 f(x)解,./(tz) + (Z?) = f(a + b)-a

8、bf a,b 7V+ ,.不 妨令 a = x,b = , 得：/(x) + (l) = (x + l)-x,又 /(l) = lJiV(x + l)7(x) = x + l 令式中的X= 1 , 2,，n-得：/一 f=2, /一/=3,/(n)-(n-l) = n將上述各式相加得：/(n)-/(1) = 2 + 3 +.H + 2 + 3+ " = "S + "三.練習(xí)(一) 換元法1.已知f (3x+1)二4x+3,求f(x)的解析式.2.若丨X/(-)=,求 fM X I-X(二) 配變量法3已知/(-l) = +±,求“0的解析式.4.若 f(

9、4x + 1) = X + IyfX ,求 f(x).(三) 待定系數(shù)法5設(shè)/(-)是一元二次函數(shù)，g(x) = 2x J(X),且 g(x + l)-g(x) = 272,求f(x)與g)6.設(shè)二次函數(shù)/(X)滿足f(x-2) = /(-X-2),且圖象在y軸上截距為1,在X軸上截得的線段長為2",求/(x)的表達式.(四) 解方程組法7設(shè)函數(shù)/(X)是定義(一8,0) U (0,+ 8)在上的函數(shù), 且滿足關(guān)系式3(x) + 2(l) = 4x,求/(X)的解析式.8. (1)若/() + ( ) = 1 + %,求 f().(2)若 f (×) +f (I-X)=1+

10、x,求 f (x) X(五) 特殊值代入法9 .若f(x+y = /(x)/(y),且/(1) = 2 ,求值 /(2) I /(3) j /(4) I l /(2005)7(0 T(2)"T(3)/(2004)10已知：/(0) = 1,對于任意實數(shù)X、y,等式-刃=f(x)-y(2x-y + l)恒成(六) 利用給定的特性求解析式.11.設(shè)/(X)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x) = ex2+exf求當(dāng)XVO時,/(x)的表達式.*12對 X R, /(x)滿足 f(x)=-f(x+),且當(dāng) x 1,0時，f (x) = X2 + 2x 求當(dāng) x 9,10時/(X)的表達式.

11、例6已知函數(shù)f(x)對于一切實數(shù)x,y都有f(x + y)- f(y) = (x+ 2y + I)X成立，且 /(I) = Oo求/(0)的值；(2)求/3的解析式。求函數(shù)的解析式例1.已知f = -2x,求f (-1)的解析式.(代入法/拼湊法)變式1已知f (X)= 2-1,求f (x2)的解析式.變式2.已知f (+1) =x2+2x + 3,求f(X)的解析式.例2.若f f (x)=4x+3,求一次函數(shù)f (%)的解析式.(待定系數(shù)法)變式 1已知 f(x)是二次函數(shù)，且/(x+l)+/(x-1) = 2-2-4+4 ,求 f(X).例3已知f (x) -2 f (x) =X ,求函數(shù)f (x)的解析式(消去法/方程組法)變式1已知2 f (%) - f (-x)=x+1 ,