常微分方程考研講義階微分方程解的存在定理

1、第三章一階微分方程解的存在定理教學(xué)目標(biāo)1 .理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的 誤差估計式。2 . 了解解的延拓定理及延拓條件。3 .理解解對初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。教學(xué)重難點解的存在唯一性定理的證明，解對初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。教學(xué)方法講授，實踐。教學(xué)時間12學(xué)時教學(xué)內(nèi)容解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件, 解對初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明。考核目標(biāo)1 .理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡單的問題。2 .熟練近似解的誤差估計式，解對初值的連續(xù)性及可微性公式。3 .利用解的存在唯

2、一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。§ 1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來源于生產(chǎn)實踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律， 能動解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測未來的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解 法的幾種類型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實際問題中 所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解。因此初值問題的研究就顯得十分重要，從前 面我們也了解到初值問題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能保證初值問題 解的存在性與唯一性，而討論初值問題解的存在性與唯一性在常微分方程占有很重要的地 位，是近代常微分方

3、程定性理論，穩(wěn)定性理論以及其他理論的基礎(chǔ)。例如方程過點(0,0)的解就是不唯一，易知y 0是方程過(0,0)的解，止匕外，容易驗證，y x2或更 一般地，函數(shù)都是方程過點(0,0)而且定義在區(qū)間0 x 1上的解，其中c是滿足0 c 1的任一數(shù)。解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問題，它明確地肯定了方程的解在一定條 件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似 解法具有重要的意義，而解的存在唯一性是進行近似計算的前提，如果解本身不存在，而 近似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個解。而解的存在唯一性定 理保證了所求解的存在性和唯一性。1 .存在

4、性與唯一性定理：(1)顯式一階微分方程立 f(x,y)dx(3.1 )這里 f (x, y)是在矩形域：R ：| x Xo | a,| y y01 b (3.2)上連續(xù)。定理1:如果函數(shù)f(x, y)滿足以下條件：1)在R上連續(xù)：2)在R上關(guān)于變量y滿足 李普希茲(Lipsc川tz )條件，即存在常數(shù)L 0,使對于R上任何一對點(x, yi) , (x, y2) 均有不等式f(x, y1) f(x, y2) L y1 y2成立，則方程(3.1 )存在唯一的解y (x),在 區(qū)間| x x0 | h上連續(xù)，而且滿足初始條件(x0) y(3.(3)b其中 h min( a, 一), Mmax f

5、(x, y) , L 稱為 Lipschitz 吊數(shù).Mx，y R思路：1) 求解初值問題(3.1)的解等價于積分方程的連續(xù)解。2) 構(gòu)造近似解函數(shù)列 n(x)任取一個連續(xù)函數(shù)0(x),使得| 0(x) y°| b ,替代上述積分方程右端的如果i(x) o(x),那么o(x)是積分方程的解，否則，又用i(x)替代積分方程右端的y,得到如果2(x)i(x),那么i(x)是積分方程的解，否則，繼續(xù)進行，得到xn(x)yof(x, n i(x)dxxo(3.(4)于是得到函數(shù)序列 n (x).3) 函數(shù)序列 n(x)在區(qū)間xo h,xo h上一致收斂于(x),即存在，對(3.4)取極限，得

6、到 x即(x)yof (x, (x)dx.xox4) (x)是積分方程y yof(x,y)dx在xo h, x° h上的連續(xù)解.xo這種一步一步求出方程解的方法一一 逐步逼近法.在定理的假設(shè)條件下，分五個命題來證明定理.為了討論方便，只考慮區(qū)間xo x xo h,對于區(qū)間xo h x xo的討論完全類似.命題1 設(shè)y (x)是方程(3.1)定義于區(qū)間xo x xo h上,滿足初始條件( xo )yo(3.3)h上的連續(xù)解.(%) y0的解.的解，則y(x)是積分方程xy y f (x, y)dxX0 xX0 hx0(3.(5)的定義于xo xx。h上的連續(xù)解.反之亦然.證明 因為y

7、(x)是方程(3.1)滿足(x。)y。的解，于是有兩邊取x。到x的積分得到x即有(x)y0f (x, (x)dxx0x x0hx0 x所以y (x)是積分方程y yf (x, y)dx定義在區(qū)間x0x x0x0反之,如果y(x)是積分方程(3.5)上的連續(xù)解，則x( x) y0f ( x, ( x)dxx0x x0hx0(3.(6)由于f (x, y)在R上連續(xù)，從而f(x, (x)連續(xù)，兩邊對x求導(dǎo)，可得而且(x0)y°,故y (x)是方程(3.1)定義在區(qū)間x°x x0 h上，且滿足初始條件構(gòu)造Picard的逐次逼近函數(shù)序列 n(x).0(x) y0，、 x 一 一(n

8、 1,2，L )n(X) y0 f (，n 1( )d Xo X Xo h(3.(7)命題2對于所有的n, (3.6)中的函數(shù)n(x)在xo x x° h上有定義，連續(xù)且滿足不等式I n(x) yo| b(3.(8)證明用數(shù)學(xué)歸納法證明x當(dāng)n 1時，i(x) y°f(，yO)d ,顯然i(x)在x° x x° h上有定義、連續(xù)x且有即命題成立.假設(shè)n k命題2成立，也就是在x。x x。h上有定義、連續(xù)且滿足不等式當(dāng)n k 1時，由于f (x，y)在R上連續(xù)，從而f (x，k(x)在x。x x0 h上連續(xù)，于是得知 k1(x)在x。x x。h上有定義、連續(xù)

9、，而且有即命題2對n k 1時也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知對所有的n均成立.命題3函數(shù)序列 n(x)在x0 x x0 h上是一致收斂的.記 lim n(x)(x), x0 x x0 hnn證明構(gòu)造函數(shù)項級數(shù)0(x) k(x) ki(x)X0x X0 hk 1(3.(9)它的部分和為于是 n(x)的一致收斂性與級數(shù)(3.9)的一致收斂性等價.為此，對級數(shù)(3.9)的 通項進彳T估計.XI i(x)0(x)| f( , 0( )|d M(x x。)X0(3.(10)由Lipschitz 條件得知設(shè)對于正整數(shù)n,有不等式成立,則由Lipschitz 條件得知，當(dāng)x0 x x0 h時，有于是由數(shù)學(xué)歸納法可知

10、，對所有正整數(shù)k,有 k 1k 1MLk ML k.I k(x) k 1(x)| -(x x°)h % x x° hk!k!(3.(11)hk由正項級數(shù) MLk 1一 的收斂性，利用Weierstrass判別法，級數(shù)(3.9)在x0x x0 hk 1k!上一致收斂.因而序列 n(x)在x°x x° h上一致收斂.設(shè)lim n(x)(x)，則(x)也在X0 x X0 h上連續(xù)，且n命題4(x)是積分方程(3.5)的定義在x0 x x0 h上的連續(xù)解.證明 由Lipschitz 條件以及 n(x)在x0 x x0 h上一致收斂于(x)，可知f (x, n(x

11、)在x0x x° h上一致收斂于f(x, (x).因此Elx即n(x) y x f( , ( )dx0故(x)是積分方程(3.5)的定義在x0x x0 h上的連續(xù)解.命題5設(shè)(x)是積分方程(3.5)的定義在Xo x Xo h上的一個連續(xù)解，則(x)(x),x0 x x0 h .證明 設(shè)g(x) | (x)(x) |，則g(x)是定義在x0 x x0 h的非負連續(xù)函數(shù)，由于而且f (x, y)滿足Lipschitz 條件,可得x令u(x) L g( )d ，則u(x)是xox xo h的連續(xù)可微函數(shù)，且u(x0) 0 ,x00 g(x) u(x), u (x) Lg(x), u (x

12、) Lu(x), (u (x) Lu(x)e Lx 0,即(u(x)e Lx)0,于是在 x0 x x0 h 上，u(x)e Lx u(x0)e Lx0 0故 g(x) u(x) 0,即 g(x) 0, Xo x Xo h ,命題得證.對定理說明幾點(1)存在唯一性定理中h min(a,B)的幾何意義.M在矩形域R中|f(x,y) M ,故方程過(Xo,y0)的積分曲線y (x)的斜率必介于 M與M之 問，過點(X0,y0)分別作斜率為 M與M的直線.當(dāng)M b時，即a 旦，(如圖(a)所示)，解y (x)在x° a x x° a上有定義；當(dāng) aMM b時，即& a,

13、(如圖(b)所示)，不能保證解在x° a x x° a上有定義，它有可 a M能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形R外去，只有當(dāng) x xo B才能保證解y (x)在R內(nèi)， MM故要求解的存在范圍是| x xo | h .(2)、由于李普希茲條件的檢驗是比較費事的，而我們能夠用一個較強的，但卻易 于驗證的條件來代替他，即如果函數(shù)f(x, y)在矩形域R上關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y)存在并有界，即|fy(x,y)| L,則李普希茲條件條件成立.事實上這里(x, yi),(x,y2) R,01 .如果fy (x, y)在R上連續(xù)，它在R上當(dāng)然潴足李普希茲條件.但是，滿足李普希茲條件的函數(shù)f(x,

14、 y)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在.例如函數(shù)f(x,y) |y|在任 何區(qū)域都滿足李普希茲條件，但它在y 0處沒有導(dǎo)數(shù).(3)、設(shè)方程(3.1)是線性的，即方程為易知，當(dāng)P(x),Q(x)在區(qū)間,上連續(xù)時，定理1的條件就能滿足，且對任一初值 (x0,y0),x0 ,所確定的解在整個區(qū)間,上有定義、連續(xù).實際上，對于一般方程(3.1),由初值所確定的解只能定義在|x xol h上，是因為在 構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列 n(x)時，要求它不越出矩形域R,此時，右端函數(shù)對y沒有任何限 制，只要取 M max|P(x)y0 Q(x)|.x ,(4)、Lipschitz條件是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件.

15、例如試證方程經(jīng)過xoy平面上任一點的解都是唯一的.證明 y 0 時，f(x,y) yln|y|,在 y 0 上連續(xù)，fy(x, y) 1 ln|y| 也在 y 0 上 連續(xù)，因此對x軸外的任一點(x0, y0),方程滿足y(x0) y的解都是唯一存在的.又由xc*2x可得方程的通解為y ece，其中y e為上半平面的通解，y e 為下半平面的通解，它們不可能與y 0相交.注意到y(tǒng) 0是方程的解，因此對x軸上的任一點(x0,0), 只有y 0通過，從而保證xoy平面上任一點的解都是唯一的.但是因為ljm|ln|y|，故不可能存在L 0,使得所以方程右端函數(shù)在y 0的任何鄰域并不滿足Lipschi

16、tz 條件.此題說明Lipschitz 條件是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件.2) 考慮一階隱方程F(x, y, y) 0(3.12)0 ,則必由隱函數(shù)存在定理，若在(xo,y°,y°)的某一鄰域內(nèi)F連續(xù)且F(xo,y0,y。)0,而y可把y唯一地表為x, y的函數(shù)y f(x,y)(3.13)并且f (x, y)于(xo, y。)的某一鄰域連續(xù),且滿足y。f (x°,y。)如果F關(guān)于所有變元存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則f(x, y)對x,y也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且F/(3.14)顯然它是有界的，由定理1可知，方程(3.13)滿足初始條件的y(x。)0解存在且唯

17、一.從而 得到下面的定理.定理2如果在點(x。，y0,y。)的某一鄰域中：i) F(x, y, y )關(guān)于所有變元(x, y, y )連續(xù)，且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);ii) F (%, y0, y0)0iii) F(x0,2 y0) 0y則方程(3.12)存在唯一的解y y(x) | x x0 | h(h為足夠小的正數(shù))滿足初始條件丫西)yeyM)(3.(15)1、 近似計算和誤差估計求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法對方程的第n次近似解n(x)和真正解(x)在|x xo| h內(nèi)的誤差估計式MLn . n 11n(x)(x)|h(n 1)!(3.(16)此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明.設(shè)有不等式成立

18、，則例1討論初值問題dy 22x y ，y(0) 0dx解的存在唯一性區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過0.05的近似解，其中,R: 1 x 1, 1 y 1.解 M(myaxR1f(x，y| 2，a 1，b1,h min a,1 .一 f，由于|一| |2y| 2 L ,根據(jù)2y誤差估計式(3.16)可知n 3 .于是 .一 ,一、13(x)就是所求的近似解，在區(qū)間1 21 .1上，這個解與真正解得誤差不超過 0.05.2§ 2解的延拓上節(jié)我們學(xué)習(xí)了解的存在唯一性定理，當(dāng) 曳 f(x,y)的右端函數(shù)”*,丫)在上滿dx一一，一、皿曳f(xv)足解的存在性唯一性條件時，初值問題

19、dx f(x，y)的解在|x x0| h上存在且唯一.但y0y(x(j是，這個定理的結(jié)果是局部的，也就是說解的存在區(qū)間是很小的.可能隨著f(x,y)的存在1,當(dāng)定義區(qū)域變?yōu)閰^(qū)域的增大，而能肯定的解得存在區(qū)間反而縮小。例如，上一節(jié)的例一.211R： 2 x 2, 2 y 2時，M 8,h min2, -,解的范圍縮小為|x x0 | -.在實際844引用中，我們也希望解的存在區(qū)間能盡量擴大，下面討論解的延展概念，盡量擴大解的存 在區(qū)間，把解的存在唯一性定理的結(jié)果由局部的變成大范圍的1、飽和解及飽和區(qū)間定義1對定義在平面區(qū)域G上的微分方程崇 f(x,y)(3.1)設(shè)y (x)是方程(3.1)定義在

20、區(qū)間IiR上的一個解，如果方程(3.1)還有一個定義在區(qū)間I2 R上的另一解y (x),且滿足(1) Ii "但是 Ii I2(2)當(dāng) x Ii 時，(x)(x)則稱y (x),x Ii是可延拓的，并稱y (x)是y(x)在I2上的延拓.否則如果不存在滿足上述條件的解y (x)，則稱y (x), x I1是方程(3.i)的不可延拓解或飽和解，此時 把不可延拓解的區(qū)間Ii稱為一個飽和區(qū)間.2、局部李普希茲條件定義2若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且對G內(nèi)每一點P,都存在以P點為中心， 完全含在G內(nèi)的閉矩形域Rp ,使得在Rp上f(x,y)關(guān)于y滿足李普希茲條件(對于不同的 點，閉矩形

21、域Rp的大小和李普希茲常數(shù)L可能不同)，則稱f (x, y)在G上關(guān)于y滿足局 部李普希茲條件.定理3 (延拓定理)如果方程 出 f(x,y)的右端函數(shù)f(x, y)在(有界或無界)區(qū)域 dxG R2上連續(xù)，且在關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，則對任意一點(%,比) G ,方程 dy f(x,y)以(xo,yo)為初值的解(x)均可以向左右延展，直到點(x, (x)任意接近區(qū)域 dxG的邊界.以向x增大的一方來說，如果y(x)只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng)x m時，(x, (x)趨于區(qū)域G的邊界。證明dy dxV。f (x, y) y(xo)(xo,yo) G,由解的存在唯一性定理，初值問題(D存在唯一的

22、解y (x),解的存在唯一區(qū)間為|x x0 | h0,取x1x0 h0,yi(x)，以(xi,yj為中心作一小矩形R G,則初值問題dy f(x,y)dx yi y(x)存在唯一的解y (x),解的存在唯一區(qū)間為| x x1 |幾.因為 (%)(X)，有唯一性定理，在兩區(qū)間的重疊部分應(yīng)有(x)(x)，即當(dāng)為hi x X時(x)(x).定義函數(shù)則y (x)是方程(3.1)滿足(1)(或(2)的，在x0 h0,xi %上有定義的唯一的解.這樣,把方程(3.1)滿足(1)的解y (x)在定義區(qū)間上向右延伸了一段.即把解y (x)看作方程(3.1)的解y(x)在定義區(qū)間|x x°| h

23、76;的向右延拓，延拓到更大區(qū)問% h0 x x° h0 %.同樣的方法，也可把解y (x)向左延拓.這種將曲線向左右延拓的辦法可繼續(xù)進行下去，最后將得到一個解y (x),不能再向左右延拓了 .這個解稱為方程(3.1)的飽和解.推論1對定義在平面區(qū)域G上的初值問題dydX f(X，y) 其中(xo,yo) G y0y(xo)若f (X, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足局部Lipschtiz 條件，則它的任一非飽和解均可延 拓為飽和解. 推論2 設(shè)y (x)是初值問題dy f (x, y)dx其中(xo, yo) GYoy(xo)的一個飽和解，則該飽和解的飽和區(qū)間I一定是開區(qū)間. 證明

24、 若飽和區(qū)間I不是開區(qū)間，不妨設(shè)I (,則(，()G,這樣解y (x)還可以 向右延拓，從而y (x)是非飽和解，矛盾.對I ,)時，同樣討論，即x (或x ) 時，(x, (x) G.推論3如果G是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程(3.1)通過(xo,yo)點的解y (x)可以延拓，以向x增大(減小)一方的延拓來說，有以下兩種情況：(1)解y (x)可以延拓到區(qū)間xo,)(或(，xo)；(2)解y(x)只可延拓到區(qū)間xo,m)(或(m,xo),其中為有限數(shù)，則當(dāng)x m時，或者y (x)無界，或者點(x, (x) G .例1討論方程 雙 亡分別通過點(o,o)和點(ln 2, 3)的

25、解的存在區(qū)間.dx 2y2 1 ,解此方程右端函數(shù)f (x, y)、一在整個xy平面上酒足解的存在唯一性止理及解的延拓定理的條件.易知方程的通解為故通過點(0,0)的解為y (1 ex)/(1ex),這個解的存在區(qū)間為ex),這個解的存在區(qū)間為0 x通過點(ln2, 3)的解為y (1 ex)/(1(如圖所示).注意，過點(ln2, 3)的解為y (1 ex)/(1 ex)向右方可以延拓到，但向左方只能延拓到0,因為當(dāng)x 0時，y例2討論方程dy 1 lnx過(1,0)點的解的存在區(qū)間. dx解 方程右端函數(shù)f(x,y) 1 lnx在右半平面x 0上滿足解的存在唯一性定理及解的 延拓定理的條件

26、.區(qū)域G (右半平面)是無界開域，y軸是它的邊界.易知問題的解為y xlnx,它于區(qū)間0 x上有定義、連續(xù)且當(dāng)x 0時，y 0,即所求問題的解向右方可以延拓到，但向左方只能延拓到0,且當(dāng)x 0時積分曲線上的點(x, y)趨向于區(qū)域G的邊界上的點.例3考慮方程曳(y2 a2)f(x, y),假設(shè)f (x, y)和f y(x, y)在xoy平面上連續(xù)，試證 dx明：對于任意x0及y0a ,方程滿足yd)y0的解都在(，)上存在.證明 根據(jù)題設(shè)，易知方程右端函數(shù)在整個xoy平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.又ya為方程在()上的解，由延拓定理可知，對x0,|y0| a,滿足y（x0）

27、 y0的解y y（x）應(yīng)當(dāng)無限遠離原點，但是，由解的唯一性，y y（x）又不能穿過直線y a,故只能向兩側(cè)延拓，而無限遠離原點，從而解應(yīng)在（，）存在.注：如果函數(shù)f （x, y）于整個xoy平面上定義、連續(xù)和有界，同時存在關(guān)于y的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程（3.1）的任一解均可以延拓到區(qū)間x .練習(xí) 試證對任意x。，y。，方程少 一2滿足初始條件y（x。）y。的解都在dx x y 1（,）上存在.§3解對初值的連續(xù)性和可微性定理在初值問題dx f （x，y）中我們都是把初值（x。, y。）看成是固定的數(shù)值，然后再去討V。 y（x。）論方程dy f（x,y）經(jīng)過點（x0,y。）的解.但是假

28、如（x。，y。）變動，則相應(yīng)初值問題的解也隨 dx之變動，也就是說初值問題的解不僅依賴于自變量x ,還依賴于初值（x。，y。）.例如：f（x,y） y時，方程y' y的解是y cex,將初始條件y（x。） y。帶入，可得y y°ex x。.很顯dy然它是自變量x和初始條件（x。, y。）的函數(shù).因此將對初值問題 晟 f （x，y）的解記為y。 y（x。）y（x,x。, y。）,它滿足 y。（x0,x。, y。）.當(dāng)初值發(fā)生變化時，對應(yīng)的解是如何變化的？當(dāng)初始值微小變動時，方程解的變化是否也很小呢？為此就要討論解對初值的一些性質(zhì) .1、解關(guān)于初值的對稱性設(shè)方程(3.1)滿足初始

29、條件y(xo) yo的解是唯一的，記為y(x,xo,yo),則在此關(guān)系式中，(x,y)與(xo,yo)可以調(diào)換其相對位置.即在解的存在范圍內(nèi)成立關(guān)系式證明 在方程(3.1)滿足初始條件y(xo) yo的解的存在區(qū)間內(nèi)任取一點 為，顯然yi(xi,xo,yo),則由解的唯一性知，過點(xi, yi)的解與過點(x°, yo)的解是同一條積分曲線即此解也可寫為并且，有yo(%, xi, yi).又由(為，yi)是積分曲線上的任一點，因此關(guān)系式y(tǒng)(x0,x,y)對該積分曲線上的任意點均成立.2 、解對初值的連續(xù)依賴性由于實際問題中初始條件一般是由實驗測量得到的，肯定存在誤差.有的時候誤差比

30、較大，有的時候誤差比較小，在實際應(yīng)用中我們當(dāng)然希望誤差較小，也就是說當(dāng)(xo,yo)變動很小的時候，相應(yīng)的方程的解也只有微小的變動，這就是解對初值的連續(xù)依賴性所要 研究的問題：在討論這個問題之前，我們先來看一個引理：引理：如果函數(shù)f(x, y)于某域D內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足Lipschtiz 條件(Lipschtiz 常數(shù)為L),則對方程(3.i )的任意兩個解(x)及(x),在它們公共存在的區(qū)間內(nèi)成立 著不等式I (x)(x)| | (xo)(xo)|eL|xxo1(3.i7)其中xo為所考慮區(qū)域內(nèi)的某一值.證明 設(shè)(x),(x)于區(qū)間a x b上均有定義，令于是 V (x) |V (x)|

31、2| (x)(x)|f(x, ) f(x, )| 2LV(x)從而(V(x)e 2Lx) 0dx所以，對xo a,b,有對于區(qū)間a x x0 ,令x t,并記x° to,則方程(3.1)變?yōu)槎乙阎薪鈟 ( t)和y ( t).類似可得 V(x) V(xo)e2L(x0 x),a x x0因此，V (x) V(x0)e2L|x ",a x b,a x0 b兩邊開平方即得(3.17).利用此引理我們可以證明解對初值的連續(xù)依賴性：解對初值的連續(xù)依賴定理假設(shè)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，如果(x0,y。)G,初工業(yè)f(x,y)-一、一、值問題dx

32、'有斛y(x,x0,y°),匕于區(qū)|可a x b上有止義(a x0 b),則對任Voy(x0)意 0,( ,a,b) 0,使得當(dāng)(無x0)2 (v0 y。)22時，方程(3.1)滿足條件y(x0) Vo的解y (x,%, Vo)在區(qū)間a x b上也有定義，并且有(x,xd, V0)(x,xo,yo),a x b.證明 記積分曲線段S: y (x, Xq, y0)(x), a x b是xy平面上一個有界閉集第一步:找區(qū)域D ,使S D ,而且f (x, y)在D上關(guān)于y滿足Lipschitz 條件.由已知條件，對(x,y) S,存在以它為中心的開圓C,C G,使f(x,y)在其

33、內(nèi)關(guān)于y滿 足Lipschitz條件.因此,根據(jù)有限覆蓋定理，可以找到有限個具有這種性質(zhì)的圓Ci(i 1,2,L , N)(不同的G ,其半徑5和Lipschitz常數(shù)Li的大小可能不同),它們的全體覆 N蓋了整個積分曲線段S,令李UG,則S 冬G,對 0,記 i 1d(皆S), min(,L max(Li,L Ln),則以S上的點為中心，以 為半徑的圓的全 體及其邊界構(gòu)成包含S的有界閉域D G ,且f (x, y)在D上關(guān)于y滿足Lipschitz條 件，Lipschitz 常數(shù)為L .第二步：證明 (，a,b) 0()，使得當(dāng)(& xo)2 (yo y。)22時，解y (x)(x,

34、Xo, y。)在區(qū)間a x b上也有定義.由于D是一個有界閉域，且f(x, y)在其內(nèi)關(guān)于y滿足Lipschitz條件，由解的延拓定理 可知，解y (x)(x,Xo,yo)必能延拓到區(qū)域D的邊界上.設(shè)它在D的邊界上的點為(c, (c)和(d, (d) , c d,這時必有c a,d b .否則設(shè)c a,d b,由引理有利用(x)的連續(xù)性，對i - eL(ba)，必有2 0存在，使當(dāng)|x Xo|2時有2一一 ， 一222| (x)(xo)|1,取 min( 1,2)，則當(dāng)(xoxo)(y。y。)時就有(x)在區(qū)間a,b上有，則方程(3.1)的解I (x)(x)|2 | (x0)(%)|2e2L|

35、x 先12(I (xo)(xo)| | (xo)(xo)|)2e2L|x%2(| (xo)(xo) |2 | (xo)(x0)|2)e2L1x122 2L(b a)2( i |yo yo | )e',2 2L(b a) 24 1 e(c x d)(3.(18)于是對一切x c,d,| (x)(x)| 成立，特別地有| (c)(c)|,| (d)(d)|即點(c, (c)和(d, (d)均落在域D的內(nèi)部，這與假設(shè)矛盾，故解y 定義.第三步 證明| (x)(x)| ,a x b.在不等式(3.18)中將區(qū)間c,d換成a,b,可知當(dāng)(Xo xo)2 (yoyo)22時，就有(x,xo,yo)

36、(x,Xo, yo),a x b.根據(jù)方程解對初值的連續(xù)依賴定理及解對自變量的連續(xù)性有3、解對初值的連續(xù)性定理若函數(shù)f(x, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件 y (x, xo, yo)作為x, xo, yo的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的證明 對 的心)G,方程(3.1)過(Xo,y0)的飽和解y (x,%,yo)定義于仇) x(Xo,yo)上，令下證y(x,Xo, yo)在V上連續(xù).對(X,Xo, yo) V, a,b,使解 y (x, Xo, yo)在a,b上有定義，其中 X,X0 a,b.對 o, 1 o,使得當(dāng)(x。 xo)2 (yo yo)2；時，又y(x, x0,yo)在x a,b上對x連續(xù)，故 2 o,使得當(dāng)|1x| 2時有取 min( 1, 2),則只要(x x)2 (x° xo)2 (yo yo)22 就有從而得知y(x,xo, yo)在V上連續(xù).4、解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理討論含有參數(shù)的微分方程電 f