十、2013年本科生Fourier分析之正交小波構(gòu)造與系數(shù)有理化

1、國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)教案課程名稱：小波分析及應(yīng)用任課單位：理學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)系計算數(shù)學(xué)教研室授課對象：2011級數(shù)學(xué)專業(yè)本科生主講教員：成禮智 教授授課時間：2013年秋季學(xué)期正交小波系數(shù)的有理化國防科技大學(xué)理學(xué)院2013年秋季學(xué)期教案首頁課程名稱Fourier 分析與小波總計：40學(xué)時課程類別選修學(xué)分2講課：40學(xué)時自主學(xué)習(xí)：6學(xué)時任課教師成禮智職稱教授授課對象2011級數(shù)學(xué)專業(yè)本科教材和基本參考資料1 成禮智，王紅霞，羅永，小波的理論與應(yīng)用，科學(xué)出版社，20042 G.Strang,T Q Nguyen, Wavelets and Filter Banks, Welleseley MA:We

2、lleseley-Cambridge Presss,1996，3. S.Mallat, Introduction to Wavelets, SIAM 2002教學(xué)目的任務(wù)本課程是數(shù)學(xué)專業(yè)選修專業(yè)課。本課程以泛函分析與矩陣分析為基礎(chǔ)，主要介紹Fourier變換與小波分析的基礎(chǔ)理論,小波分析的典型應(yīng)用.本課程的教學(xué)目的是在較短的學(xué)時內(nèi)，提供數(shù)學(xué)專業(yè)本科生所需要的基本的小波分析基礎(chǔ)知識知應(yīng)用能力，使學(xué)生在掌握基本理論的基礎(chǔ)上能夠應(yīng)用于解決實際問題.內(nèi)容課時分配章內(nèi)容學(xué)時數(shù)1傅里葉分析與預(yù)備知識82Haar小波分析63多分辨分析與小波構(gòu)造124提升格式小波與整數(shù)變換85小波的典型應(yīng)用6教研室意見教研室

3、主任簽名年月日教案續(xù)頁教學(xué)基本內(nèi)容備注正交小波構(gòu)造與系數(shù)有理化教案課程內(nèi)容：正交小波構(gòu)造與系數(shù)有理化 本次課重點：正交小波構(gòu)造、Daubechies條件、系數(shù)有理化 難點：正交小波構(gòu)造復(fù)習(xí)：（1）雙尺度方程 第一個式子得到低頻分量，第二個式子得到高頻分量，且。在的確定中系數(shù)起到關(guān)鍵作用。（2） 在Mallat算法中，輸入信號，則信號分解為而信號重構(gòu)公式則滿足 上面的兩個式子表明，無論是尺度函數(shù)與小波函數(shù)的計算，還是基于小波Mallat算法的信號分解與重構(gòu)，系數(shù)都起到關(guān)鍵作用。問題：如何確定？引出上次課程得到的定理2，但是僅有定理2是不夠的？需要添加其他條件，引出消失矩概念與性質(zhì)。 正交小波構(gòu)造

4、利用雙尺度方程我們看到，尺度函數(shù)滿足其系數(shù)所決定的非線性方程，另外，由上一講關(guān)于尺度函數(shù)的計算方法表明，只要給定系數(shù)，我們便可以根據(jù)雙尺度方程得到尺度函數(shù)（例如，迭代法、矩陣方程方法以及Fourier變換法等）。因此，本節(jié)將以系數(shù)的求法為重點討論正交小波的構(gòu)造方法。在短時Fourier變換的設(shè)計中我們曾經(jīng)指出， 好的窗口函數(shù)應(yīng)該具有快速衰減特性，函數(shù)的衰減程度通常通過下列不等式來衡量，其中C為與無關(guān)的常數(shù)，的大小體現(xiàn)了函數(shù)衰減的速度，稱之為衰減的階。在小波的構(gòu)造中，消失矩性質(zhì)是一個非常重要的內(nèi)容，下面說明，消失矩的引入事實上是和函數(shù)衰減速度緊密聯(lián)系在一起的。 定理1 設(shè)為定義在R上的函數(shù)，（m

5、階連續(xù)函數(shù)空間）不恒為0，且當(dāng)時的l階導(dǎo)函數(shù)有界，具有如下衰減 ，又設(shè)滿足雙正交關(guān)系 ， ，則具有階消失矩，即 （1）證明 利用歸納法，由于時的證明與下面的證明完全相同，因此只證明時函數(shù)的積分為0即可。任取，在點處對作Taylor展開，得到其中，對任給存在使得當(dāng) 時，此時取，則有（2）因此有，其中（3）以上不等式的推導(dǎo)中利用了初等不等式 對成立。將式（3）代入式（2）中并令，得到 ，因此有，利用點在R上具有稠密性以及函數(shù)連續(xù)非零性質(zhì)，直接推得由歸納法原理結(jié)論成立。將上述定理應(yīng)用到正交小波容易得到推論 1 設(shè)構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交系，對于有界，且，則有 （4）推論1說明了當(dāng)小波函數(shù)具有某種衰減速度時，該

6、函數(shù)的消失矩特性。下面討論在滿足一定消失矩的前提下函數(shù)衰減速度的問題。為此，首先研究消失矩的幾個基本性質(zhì).定理2 低通濾波器響應(yīng)函數(shù)，為雙尺度方程所定義的小波函數(shù)，則下列結(jié)論是等價的：（1） 小波函數(shù)具有m階消失矩； （2）低通濾波器系數(shù)的m和法則：； （5）（3）在處存在m重零點：或者在變換情況下有；（4）矩陣具有個特征值 ，即對于，存在非零向量使得成立；（5） 于任意的，是階多項式。證明（2）和（3）的等價性是很顯然的，因此首先證明（1）與（3）等價。注意到，因此， （6）又條件（1）成立時有 ，代入（6）得到等價公式。另外由得到 因此設(shè)，則?，F(xiàn)歸納假設(shè)成立，利用以及乘積的導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)得到

7、上式中取則當(dāng)時由以及得到，因此有對于恒成立。利用多項式性質(zhì)得到（1）與(3)等價。（3）與（4）等價的證明需要利用矩陣的有關(guān)性質(zhì)，省略（參看教材）。下面利用Daubechies以及前面得到的性質(zhì)討論正交小波的構(gòu)造方法。 基于Daubechies條件的正交小波構(gòu)造。定理3 假設(shè)低通濾波器響應(yīng)函數(shù)滿足以及自然數(shù)使得 （7）成立，記，則有式（7）經(jīng)常稱之為Daubechies條件，它在濾波器是否構(gòu)成小波的判斷中具有非常重要的作用。證明 當(dāng)時，由以及得到 這說明當(dāng)時定理結(jié)論成立。故只需考察時的情形。注意到因此其中。由于故存在，使得，類似于前面的討論并利用，有另外 將上述兩個不等式代入到的表達(dá)式，知當(dāng)時

8、，定理得到證明。定理 4 設(shè)定理3 中的條件滿足，則定義迭代算法序列滿足在中收斂，即存在函數(shù)使得 。當(dāng)?shù)屯V波器系數(shù)為有限非零時，收斂函數(shù)為緊支集的。定理3中給出了對于給定低通濾波器系數(shù)下按照雙尺度方程定義函數(shù)的收斂性，所需要的充分條件為式（7）得到滿足。由于該條件為Daubechies于1988年所提出，因此式（7）也稱為Daubechies條件，而定理3通常稱為Daubechies定理。幾乎與Daubechies定理建立的同時，Mallat與Meyer在1989年提出了一些類似的判斷定理，有興趣的讀者可以參閱有關(guān)文獻。 現(xiàn)在利用正交性條件以及Daubechies條件討論正交小波的構(gòu)造方法。

9、 欲求小波，轉(zhuǎn)而求，而求，通過正交性得到 （8）并解（8）所描述的非線性方程得到。設(shè)為有限系數(shù)，為了保證快速衰減可設(shè)其消失矩已知，即 （9）將（9）代入（8）得到 （10）因此問題歸結(jié)為求三角多項式，其中為實系數(shù)代數(shù)多項式。按照上面的討論，的求解分下列幾步來完成。第一步： 求出注意到，故為關(guān)于的偶函數(shù)，這說明是關(guān)于的多項式，因此也是的多項式，記為，由，得到因此根據(jù)正交性條件，得到上式的求解可以通過Euclidean算法得到。但是由于上式具有較特殊的表達(dá)式，即多項式為特殊形式時，可以不用Euclidean算法去求。事實上，可以上式改寫為先考慮為次多項式的情形。右邊做Taylor展開，則所有次數(shù)的

10、項均消失，因而上式第二項不起作用，右邊第一項的Taylor展式的前項便構(gòu)成，即，對于為一般的多項式時，一般解為，其中是滿足或者的任意多項式。當(dāng)?shù)谝徊酵瓿珊蟮玫降氖牵瑸榍筮€需要實施非負(fù)多項式的開方運算。第二步：利用定理1.6(Riesz引理)，對三角多項式開平方，得到。第三步：驗證按照前面兩步得到的滿足Daubechies不等式，即并且存在自然數(shù)使得 事實上，當(dāng)取時，由于（該不等式為組合不等式，證明省略），滿足Daubechies條件，因此求得多項式再按上述兩步得到的是正交小波。但是，如果P(x)取滿足式的一般多項式，則需要成立。根據(jù)上面的第三步可以看出，當(dāng)小波消失矩給定為N時，按照上述方法得到

11、的多項式為次的，因此得到的響應(yīng)函數(shù)為次的三角多項式，因此按照Daubechies方法事實上得到的是偶數(shù)長、消失矩恰好為濾波器長度一半的正交小波，此時也將之稱之為極大長度小波。略去第一步，得到正交小波的構(gòu)造為：求次三角多項式滿足，則由可以確定出長度為，消失矩為的正交小波。正交小波構(gòu)造舉例根據(jù)上面的討論，下面列舉部分由Daubechies提出的具有緊支集尺度函數(shù)和小波函數(shù)的例子。例1（濾波器長度為4的正交小波:D4小波，1988）長度為4的正交小波構(gòu)造：設(shè)消失矩則。由比較系數(shù)解得對于上述4組解系數(shù)，取第一組解進行討論，其他組解的討論是類似的。另一方面，根據(jù)有限濾波器的構(gòu)造 以及定義求得濾波器系數(shù)滿

12、足因此雙尺度方程為而小波函數(shù)由下式?jīng)Q定所以，尺度函數(shù)和小波函數(shù)都是緊支集的。D4小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)圖像如圖1所示： 圖1D4尺度函數(shù) D4小波函數(shù)例2（濾波器長度為6的正交小波:D6小波）此時消失矩以及，假設(shè)，則同例1的類似做法可以得到多組解。其中一組解滿足 由于有限濾波器滿足，求解上式得到同樣得到具有緊支集的尺度函數(shù)和小波函數(shù)。上述兩個例子分別給出了濾波器長度分別為4和6的正交小波，從構(gòu)造過程容易知道，求解過程需要求解高次方程組，顯然，隨著長度的增加，求解將變得越來越困難。另外，根據(jù)上述過程得到的濾波器系數(shù)不可能通過同時乘上一個因子變成有理系數(shù)，即人們常說的系數(shù)是本質(zhì)上不能有理化的。但

13、是，在實際應(yīng)用中，由于受計算機精度的限制，對于輸入的無理數(shù)必須實現(xiàn)截斷處理，因此，當(dāng)輸入無理數(shù)小波濾波器系數(shù)到計算機上時，經(jīng)過分解（正變換）后的重構(gòu)（逆變換）不可能精確（在計算機實現(xiàn)的意義下），并且當(dāng)系數(shù)的截取位數(shù)較小時，精度更加得不到保證。一個替代辦法就是直接求解可以有理化系數(shù)的小波變換，下面對此作出討論。 有理化系數(shù)緊支集正交小波前面基于Daubechies方法所討論的緊支集正交小波構(gòu)造中，為了得到盡可能高的消失矩，從而使得建立的小波函數(shù)和尺度函數(shù)更快的衰減速度，事實上都要求但這樣得到的濾波器系數(shù)不可能有理化，這增加了計算機實現(xiàn)的算術(shù)復(fù)雜性，不利于硬件的簡單實現(xiàn)，因此有必要研究有理系數(shù)尤其

14、是二進制分?jǐn)?shù)作為系數(shù)的正交小波構(gòu)造問題。為了節(jié)省篇幅，這里只討論長度為4的正交小波的系數(shù)有理化問題。其他長度的正交小波系數(shù)有理化過程其原理是相似的。對于長度為4的正交小波低通濾波器系數(shù)設(shè)為：，其消失矩滿足，顯然，時，從例4.6知道，所求得的系數(shù)不可有理化,為了得到有理化系數(shù)，一個方法是通過降低消失矩次數(shù)出現(xiàn)自由變量,然后對自由變量選取合適的值使得系數(shù)為有理數(shù)，下面通過一個具體的例子說明其過程。例如,取消失矩，代入正交性條件后可以得到參數(shù)應(yīng)滿足如下的方程組：解上述方程組，可以得到含有參數(shù)的四組解，分別如下：（1） （2） （3）（4） 其中為自由變量，而相應(yīng)的長度為4的正交小波濾波器系數(shù)為：（1） （2） （3） （4） 下面將看到，正是因為自由變量的出現(xiàn)使得有可能構(gòu)造出長度為4的緊支集有理系數(shù)正交小波函數(shù)，不失一般性，下面只對第一組系數(shù)進行分析。根據(jù)Daubechies條件(4.61)，可得到嚴(yán)格滿足Daubechies條件的區(qū)間為，即當(dāng)時，根據(jù)第一組系數(shù)可以構(gòu)造出長度為4的正交小波濾波器。關(guān)于自由變量的進一步討論： ，此時長度為4的正交小波退化為長度為2 的Harr小波，這是一個系數(shù)可以有理化的正交小波，遺憾的是其對應(yīng)函數(shù)光滑性能太差； 當(dāng)（即：）的時候，得到D4小