線性系統(tǒng)特征根與零輸入響應(yīng)分析

1、1-11-21-41-51-61-7證明:1）若A矩陣的所有特征根均有負實部，響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)在 時趨近于零,給出例子；2）若A矩陣有正實部特征根時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可能趨近于零，給出正反 兩個例子；3）若A矩陣有實部為零的特征根，而其她特征根的實部均為負，則當純虛根的重數(shù)大于1時,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可能會趨近于零，給出正反兩個例子;（:）4）討論上述各種情況與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零極點對消的關(guān)系，針對所舉的例子作說明。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：X = AX + BU（y = CX + DU當系統(tǒng)的的輸入為零時，則狀態(tài)空間描述可寫為fX = AXly = cx那么該系統(tǒng)的輸出為（t>0）:At1

2、-3而宀l"（S【F“將式1-4代入1-3中有：|y = CL'l<SI-A）_1X（O）設(shè)其拉氏變換為：D（S）D（S）麗=（5 7）（匸）（廠旳）二（戸.1）（5-叫）其中N（s）的階次大于D（s）的階次。那么式1-6可化為：D _P1P.jPn1）由于A矩陣的特征根均有負實部，即叫'叫、吋兔均在復平面的左邊，那么對上式進行拉式反變換有叫、叫、旳 1、均在復平面的左邊N（S廠（s-aj + 侶-旳）+ -碼）+ 壯-嘰 j +CL1當時，'則有當時，*例1：設(shè)有一狀態(tài)空間模型為：rr- M-7.075-5.6251'x =800 X +0u0

3、20 .('川°心°"%的系統(tǒng)。其特征根分別為' 】=-3? 2 =-5卜 3 =-61取初始狀態(tài)為X(O)=M,其零輸入響應(yīng)如圖表1所示:圖表2可以瞧到在時有,其零輸入響應(yīng)趨近于0。2)若A矩陣有正實部特征根時,由式1-7,我們可以取叫有正實部(叫為卩ad勺、勺、勺叫中的某一個數(shù))，那么s叫的拉式反變換為IV上k有正實部卩詳在f時發(fā)散。即該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)在非零狀態(tài)下且時趨近于閡若式1-6可化為D(S)D")(f)N&)(£-珂)點_叫卜.(5-卜.(5-%)©-%)則:2-1可以瞧到極點與零點抵消了，由式2

4、-1與式1-6類似當L叫依然有'orr-32.5 31卩點x =斗0 0X +ufl2 0.o050.25 X例2:設(shè)有一狀態(tài)空間模型為的系統(tǒng)。其特征根分別為=-2,' ?=3、=-41取初始狀態(tài)為X(0)M,其零輸入響應(yīng)如圖表2所示:圖表2 可以瞧到在：TV時有,其零輸入響應(yīng)趨近于8。例3:設(shè)有一狀態(tài)空間模型為：Fr-3 2.5 31 I ax =400X +u(1 2 0 ° y = 。0.25-O375X的系統(tǒng)。其特征根分別為5=才2=3“=-43 所示:!取初始狀態(tài)為X(0)=-,其零輸入響應(yīng)如圖表3-2圖表3可以瞧到在卜七'時有，其零輸入響應(yīng)趨近于

5、0。例2,例3系統(tǒng)的特征根相同，但就是她們同狀 態(tài)下的響應(yīng)卻不同，前者在 V 時其零輸入響應(yīng)趨近于a,而后者在時其零輸入響應(yīng)趨近于0。由于例3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為y f *加-恥卜I；,顯然s-3項上下抵消，所以該系統(tǒng)等效的傳遞函數(shù)為y=科呢匚可，此時特征根3并不影響系統(tǒng)的輸出。3）若A矩陣有實部為零的特征根，而其她特征根的實部均為負，且純虛根的重數(shù)大于1。我們以純虛根的重數(shù)等于2為例/為正實數(shù)，那么式1-6可寫為:D(S)D(S)3-1“(s一 幻)6一幻)(s2 4- aJ (s- %. JG一%)其中a，b，'均為常數(shù)，a、。當【I制時，at，所以有 可能趨近于 恫（在處震蕩）。而當

6、式3-1能化為：D2DS)(S2 + ak)NCs)_(S-(x1)(S-aJ(S* + 叫)(S-CtJ3-3可以瞧出重根項可以被消除，則式3-3可寫為：(S- ot1)(S-oc2y- (S-an_I)(S -otj3-4a（1-««由1）可得：當lT«J時Q " T。,則有當tTQC時y斗0例4：設(shè)有一狀態(tài)空間模型為15- 2.5- 1.250. 8750, 6250,訝可4000001 -010000X 00V00X +0U00010001 000010 J1 Q|y = ( 00 0 0.125(1.125JX的系統(tǒng)。其特征根分別為=-2

7、9;?=-3/ 3=4X .=、冊i X e鼻、*=-個 X $ =一品圖表4可以瞧到在時有,其零輸入響應(yīng)趨近于R（在處震蕩）。例5:設(shè)有一狀態(tài)空間模型為：-5-2.7- 2.53,5-2.5- 3i補A0Q0000(200000001000x +0:00010011000010y =0.50.1250.250.250.25的系統(tǒng)。其特征根分別為i=-2, P=-3取初始狀態(tài)為X(0)=,其零輸入響應(yīng)如圖表5所示:圖表5可以瞧到在時有,其零輸入響應(yīng)趨近于0。例4,例5系統(tǒng)的特征根相同，但就是她們同狀時其零輸入響應(yīng)趨近于士 s,而后者在態(tài)下的響應(yīng)卻不同，前者在： 趨近于0。時其零輸入響應(yīng)由于例5

8、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為i)(s34-2)y =2(H 1 2)(/* 2)(s ",顯然s-3項上下抵消，所以該系統(tǒng)等效的傳遞函數(shù)為此時重虛根并不影響系統(tǒng)的輸出。4)當A矩陣的所有特征根均有負實部，響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)在時趨近于零，系統(tǒng)穩(wěn)定;如例1所示。當A矩陣有正實部特征根時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可能趨近于零，此時系統(tǒng)部 分狀態(tài)不穩(wěn)定。由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可能存在系統(tǒng)的輸出與這部分不穩(wěn)定的狀態(tài)無 關(guān)，即存在零極點對消的情況，把正實部特征根抵消了。那么系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。如例 2、例 3 所示、當A矩陣有實部為零的特征根，而其她特征根的實部均為負，則當純虛根的 重數(shù)大于 1 時,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可能會趨近于零。 1、當它的重數(shù)為 1 時, 其它特征根均有負實部 ,且沒有被零點抵消 ,此時系統(tǒng)狀態(tài)臨界穩(wěn)定 ,系統(tǒng)輸出 臨界穩(wěn)定。 2、當存在零極點對消 ,把純虛根抵消了 ,此時系統(tǒng)的輸出與該特征 根無關(guān),系統(tǒng)狀態(tài)臨界穩(wěn)定 ,系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。 3、 當它的重數(shù)為 2 時,其它特征 根均有負實部 ,且沒有被零點抵消 ,此時