第9章_散射理論

1、自主學(xué)習(xí)01 教材內(nèi)容第九章 散射理論知識(shí)框架 重點(diǎn)難點(diǎn) 第一節(jié) 第二節(jié) 第三節(jié) 第四節(jié)本章習(xí)題 本章自測(cè) 知識(shí)框架散射射散射基本描述物理量全同粒子散射處理散射的基本方法海爾曼-費(fèi)曼定理波恩近似法分波法相移散射振幅散射截面本章目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)，理解散射截面和相移的物理含義，掌握處理散射問題中常用的分波法和波恩近似法，并能熟練運(yùn)用這些方法處理一些簡(jiǎn)單的勢(shì)場(chǎng)散射問題，了解全同粒子散射中的一些基本性質(zhì)。重點(diǎn)難點(diǎn)1、掌握求解散射截面和相移的分波法和波恩近似法2、能應(yīng)用分波法、波恩近似法于一些勢(shì)場(chǎng)散射問題的求解3、了解全同粒子的散射9.1 散射現(xiàn)象的一般描述本節(jié)目標(biāo)：掌握散射截面與振幅的物理意義，能從基本

2、關(guān)系推導(dǎo)得出散射振幅重點(diǎn)難點(diǎn)：1、散射振幅的物理意義2、明確散射振幅與截面的關(guān)系 本節(jié)內(nèi)容：在近代物理研究中，研究一個(gè)粒子或多個(gè)粒子與散射中心作用是很重要的。原子和分子物理，原子核物理以及粒子物理的建立和發(fā)展，都離不開散射實(shí)驗(yàn)及其理論分析。著名的Rutherford的粒子對(duì)原子的散射實(shí)驗(yàn)，肯定了原子有一個(gè)核，即原子核，從此揭開了人類研究原子結(jié)構(gòu)的新領(lǐng)域。50年代后，高能電子散射對(duì)研究原子核及核子的電荷分布都取得了重要成果。 如用散射資料推出核力的一些知識(shí)，如強(qiáng)子結(jié)構(gòu)，原子核和基本粒子的電荷分布等等，甚至給出核子或核子對(duì)處于原子核某狀態(tài)的幾率。在束縛態(tài)問題中，我們是解本征值問題，以期與

3、實(shí)驗(yàn)比較。而在散射問題中，能量是連續(xù)的，初始能量是我們給定的（還有極化），這時(shí)有興趣的問題是粒子分布（即散射到各個(gè)方向的強(qiáng)度）。所以散射問題（特別是彈性散射），主要關(guān)心的是散射強(qiáng)度，即關(guān)心遠(yuǎn)處的波函數(shù)。1.散射截面定義：用散射截面來描述粒子被一力場(chǎng)或靶散射作用是很方便的。反之，知道散射截面的性質(zhì)，可以推出力場(chǎng)的許多性質(zhì)。而我們對(duì)原子核和基本粒子性質(zhì)，很多是這樣推出的。這也是量子力學(xué)中的逆問題。一束不寬的（與散射區(qū)域比較），具有一定能量的粒子，轟擊到一個(gè)靶上（當(dāng)然與散射中心尺度比較起來，是寬的）。為簡(jiǎn)單起見，達(dá)到散射中心時(shí)，可用一平面波描述。設(shè)：入射粒子通量為（單位時(shí)間，通過與靶相對(duì)靜止的垂直于

4、傳播方向上的單位面積的入射粒子數(shù)）（對(duì)于單粒子，顯然即為幾率流密度）。這時(shí)，單位時(shí)間，經(jīng)散射而到達(dá)方向中的粒子數(shù)                                          &#

5、160;         （1）即                                        

6、60; （2）比例常數(shù)一般是的函數(shù)；如入射方向?yàn)檩S（且束和靶都不極化），僅為的函數(shù)，它的量綱為，即面積量綱                                （3）散射截面定義：在單位時(shí)間內(nèi)，單個(gè)散射中心將入射粒子散射到方向上的單位立體角中的粒子數(shù)與入射粒子的相對(duì)通量

7、（幾率流密度）之比。                                                 （

8、4）而散射總截面                                             （5）對(duì)于固定散射中心，實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系和質(zhì)心坐標(biāo)系是一樣

9、的。但如果兩個(gè)粒子散射，則不一樣，理論上處理問題一般在質(zhì)心坐標(biāo)系（較簡(jiǎn)單），而實(shí)驗(yàn)上常常靶是靜止的。所以在比較時(shí)，需要將這兩個(gè)坐標(biāo)系進(jìn)行換算。2散射振幅：我們現(xiàn)在討論一種穩(wěn)定情況，即入射束的粒子不斷入射，長(zhǎng)時(shí)間后體系達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的情況?？紤]一個(gè)質(zhì)量為的粒子被一位勢(shì)散射（當(dāng)，趨向0比快）。感興趣的是滿足這一條件的物理問題，至于庫侖散射這里不討論。我們知道，薛定方程                    

10、60;       （6）其定態(tài)解為                                          

11、 （7）（如是兩粒子散射，則為約化質(zhì)量，為實(shí)驗(yàn)室系的初動(dòng)能，為入射粒子質(zhì)量。）當(dāng)粒子以一定動(dòng)量入射，經(jīng)位勢(shì)散射后，在很大處，解的漸近形式（彈性散射）                         （8）這時(shí)，被稱為定態(tài)散射波函數(shù)。事實(shí)上，將其代入的本征方程，在很大時(shí)，保留次冪      

12、                  保留到，           （比快） 即                    &

13、#160; （保留到）我們稱為散射振幅（為散射波）。當(dāng)入射粒子沿方向入射，則散射與無關(guān)（束、靶都是非極化），即                 下面我們給出的物理意義：對(duì)于漸近解的通量（對(duì)單粒子，即為幾率流密度）                   

14、                                                    

15、60;  應(yīng)注意，我們是在很遠(yuǎn)地方測(cè)量（），而且測(cè)量始終是在一個(gè)小的，但是有一定大小的立體角進(jìn)行。因此，上式的一些項(xiàng)的貢獻(xiàn)可表為                當(dāng)r很大時(shí)，振蕩很快，而是一光滑函數(shù)，這一積分比快。所以包含這一因子的項(xiàng)比快?？梢宰C明：在遠(yuǎn)處，對(duì)于漸近解的幾率流密度      （，即方向）而當(dāng)無位勢(shì)時(shí)，無散射，僅有沿方向的平面波。大處，在漸近區(qū)域?qū)较蛲繘]貢獻(xiàn)。在

16、遠(yuǎn)處，單位時(shí)間散射到方向上立體角中的幾率為     （為所張立體角對(duì)應(yīng)的面積）于是            所以， 散射振幅的模的平方，即為散射微分截面。而散射總截面為  現(xiàn)在問題是要從 出發(fā)，求具有很遠(yuǎn)處的漸近形式為 的解，從而獲得 。9.2分波法本節(jié)目標(biāo)：掌握分波法的處理思路，理解光學(xué)定理，明確散射截面與相移的關(guān)系重點(diǎn)難點(diǎn)：分波法的處理思路，如何靈活運(yùn)用關(guān)學(xué)定理處理問題本節(jié)內(nèi)容：本節(jié)將給出在中心力作用下粒子散射截面的一個(gè)普遍計(jì)算方法-

17、分波法。從原則上講，分波法是一個(gè)嚴(yán)格的處理方法，但在實(shí)際的應(yīng)用中，不可能把一切分波都考慮在內(nèi)，而只能根據(jù)具體情況考慮一些重要的分波，因而仍然是一種近似處理。當(dāng)位勢(shì)是有心勢(shì)時(shí)，粒子在中心力場(chǎng)作用下，角動(dòng)量是運(yùn)動(dòng)常數(shù)（散射前后）。因此，入射波和被散射的波可由角動(dòng)量本征態(tài)疊加而成，而每一個(gè)波（本征態(tài)）分別被位勢(shì)散射，彼此互不相干。1散射截面和相移當(dāng)入射粒子方向取為軸，則入射（無自旋）是對(duì)對(duì)稱，即與無關(guān)，而相互作用勢(shì)是各向同性。因此，經(jīng)作用后也與無關(guān)             

18、;     （在方向）代入方程得    ，    其漸近解，在時(shí)有           所以，在有心勢(shì)存在時(shí)，具有確定（在方向）的解為              當(dāng)位勢(shì)不存在時(shí)，解為       與比較，入射波應(yīng)相同&#

19、160;       （球面入射波系數(shù)應(yīng)同）              顯然，對(duì)每一個(gè)分波，它們都是一個(gè)入射球面波和一個(gè)出射球面波（同強(qiáng)度）的疊加，但定態(tài)散射解中的出射波和平面波的出射波差相因子。這表明：散射位勢(shì)的效應(yīng)是使每一個(gè)出射分波有一相移，相應(yīng)于相因子為。因              

20、;所以，散射振幅     散射微分截面                                              

21、  其中每一項(xiàng)代表相應(yīng)的角動(dòng)量為的分波對(duì)散射截面的貢獻(xiàn)    當(dāng)  （），達(dá)極大。與散射振幅比較得                     這稱為光學(xué)定理。2一些討論1分波法的適用性a. 中心力場(chǎng)b. 不為的數(shù)要少，即或?qū)Φ氖諗亢芸觳判?。若相互作用力程為，處于分波l的粒子，其運(yùn)動(dòng)區(qū)域    

22、0;           分波l的粒子運(yùn)動(dòng)區(qū)域r應(yīng)滿足。        如果，則表明，這一分波不能進(jìn)入相互作用的力程內(nèi)，也即在力程之外，所以很小時(shí)，僅，即；或很小，即低能散射。2相移符號(hào)：自由粒子為，有位勢(shì)時(shí)為前者波節(jié)在，后者。排斥勢(shì)是將粒子向外推，所以應(yīng)大，即。而對(duì)吸引勢(shì)。例1：方位阱散射（一維）            

23、60;                       在a點(diǎn)連續(xù)                      所以在給定下，僅依賴于能量（或）例2：鋼球散射     

24、;                            有解  ，             其漸近解     而 ，     &

25、#160;         ，                  由連續(xù)性，得 低能極限，利用 （注意，） 由于    僅 分波的相移重要。              即   &#

26、160;（排斥力）總截面        角分布各向同性，總截面與鋼球表面積相等。 高能極限（）      （因被散射的分波有條件，所以高于的，對(duì)總散射截面無貢獻(xiàn)，所以求和至附近的整數(shù)）                  當(dāng)ka很大，則      &#

27、160;           當(dāng)為偶    當(dāng)為奇                 當(dāng)         9.3波恩近似法本節(jié)目標(biāo)：運(yùn)用波恩近似求解散射截面，處理簡(jiǎn)單的散射問題重點(diǎn)難點(diǎn)：波恩近似法的處理思路本節(jié)內(nèi)容：現(xiàn)在討論如何近似求解，以至

28、。假設(shè)產(chǎn)生一個(gè)散射（對(duì)自由粒子）根據(jù)Fermis Golden Rule，從開始為動(dòng)量本征態(tài)躍遷到末態(tài)動(dòng)量本征態(tài)的躍遷率為             由于平面波是取為  （）                  因此        &

29、#160;  即密度為   （在空間）于是    對(duì)于躍遷到中的躍遷率為            而入射粒子通量為（ 入射波函數(shù)為 ）所以，散射微分截面        稱為散射振幅的一級(jí)玻恩近似。（這一迭代可繼續(xù)進(jìn)行下   ）當(dāng)為有心勢(shì)    令     

30、60;  （轉(zhuǎn)移波矢）            則      （計(jì)算時(shí)，取方向?yàn)檩S）     若為有心勢(shì)                        

31、為方向由于一級(jí)玻恩近似是處理位勢(shì)作為自由粒子哈密頓量的一個(gè)微擾，所以要求粒子動(dòng)能比位能大，即要求高能。例：注意到，不能利用Born近似處理庫侖勢(shì)，因上述表示的積分不能積出，但能用于Screened Coulomb potential            這近似描述電子入射到多電子的原子，這些電子的電荷分布屏蔽了原子核的作用。（長(zhǎng)度的近似值 ）    所以，散射微分截面       &#

32、160;          高能時(shí)，         則                      由          

33、0;             這時(shí)意味著，即很大，也就是相當(dāng)于大多數(shù)的散射是在原子核附近發(fā)生。這時(shí)位勢(shì)最強(qiáng)，幾乎無屏蔽。（只要上述公式中改成，就是Rutherford用經(jīng)典力學(xué)推出的Rutherford散射微分截面公式。）9.4全同粒子的散射本節(jié)目標(biāo)：了解對(duì)稱微分截面與反對(duì)稱微分截面，掌握基本的全同粒子散射的知識(shí)重點(diǎn)難點(diǎn)：全同粒子散射特性本節(jié)內(nèi)容：在討論自旋一章時(shí)，我們討論了全同粒子的對(duì)稱性。我們知道，對(duì)于兩個(gè)全同費(fèi)米子（自旋為半整數(shù)）的波函數(shù)，必須反對(duì)稱（自旋，坐標(biāo)交換）而

34、對(duì)于二個(gè)全同玻色子體系波函數(shù)必須對(duì)稱。1對(duì)稱微分截面和反對(duì)稱微分截面當(dāng)二個(gè)具有自旋為的粒子，如在總自旋表象中，總自旋波函數(shù)的對(duì)稱性為            因此，二個(gè)全同粒子的空間波函數(shù)的對(duì)稱性取決于它們總自旋的奇、偶性，也就是說                     

35、60;   即為偶。即描述二全同粒子散射的空間波函數(shù)必須是對(duì)稱或反對(duì)稱。（這時(shí)，由于自旋波函數(shù)已按對(duì)稱，反對(duì)稱分類）在質(zhì)心坐標(biāo)系中，所以交換粒子，相應(yīng)于，即                                    對(duì)于沿軸入射

36、的三態(tài)散射波函數(shù)            （因是相對(duì)通量，仍為）即散射微分截面為  （空間對(duì)稱，總自旋為偶） （空間反對(duì)稱，總自旋為奇）具體對(duì)分波法而言   而當(dāng)，                         

37、;          (由于全同粒子交換不變性，所以應(yīng)對(duì)物理量的結(jié)果不變。所以導(dǎo)致微分截面求和要么為奇，要么為偶，使求和的平方在下不變。)2具有自旋為的粒子非極化散射對(duì)于自旋為的粒子，它的自旋態(tài)可為，所以有個(gè)態(tài)。因此，這兩個(gè)全同粒子共有個(gè)態(tài)，。如按對(duì)稱性來分類：   有個(gè)是對(duì)稱的。 而  可組成個(gè)態(tài)，顯然，個(gè)是對(duì)稱的，個(gè)是反對(duì)稱的。所以，對(duì)稱態(tài)有，反對(duì)稱態(tài)有。當(dāng)二個(gè)這樣的全同粒子發(fā)生散射時(shí)，由于是非極化的，所以：    

38、60; 取那一種態(tài)的機(jī)會(huì)都一樣，      由于非極化散射，則散射截面與總自旋的分量無關(guān)。因此，為半整數(shù)時(shí)，散射微分截面為因自旋對(duì)稱的幾率為   自旋反對(duì)稱的幾率為 當(dāng)為整數(shù)時(shí)，散射微分截面為   本章練習(xí)6.1 粒子受到勢(shì)能為的場(chǎng)的散射，求分波的微分散射截面。6.2 慢速粒子受到勢(shì)能為的場(chǎng)的散射，若，求散射截面。6.3 只考慮分波，求慢速粒子受到勢(shì)能的場(chǎng)散射時(shí)的散射截面。6.4 用玻恩近似法求粒子在勢(shì)能 場(chǎng)中散射時(shí)的散射截面。6.5 用玻恩近似法求粒子在勢(shì)能場(chǎng)中散射的微分散射截面，式中。6.6

39、 用玻恩近似法求在勢(shì)能場(chǎng)中散射時(shí)的微分散射截面，并討論在什么條件下，可以應(yīng)用玻恩近似性。本章自測(cè)一、單項(xiàng)選擇題（總分20，每題4分）  1、題目：在勢(shì)壘中玻恩近似法的適用條件是（B、C）    A.低能散射   B. 高能散射 C.入射粒子能量很高 D. 入射粒子能量很低   2、題目：分波法適用的條件是（A、D）    A.低能散射   B. 高能散射 C.入射粒子能量很高 D. 入射粒子能量很低  3、下列哪個(gè)描述散射（A、B）   

40、; A. Breit-Wigner近似              B. Lippman-Schwinger方程 C.Thomas-Fermi近似              D. Hellman-Feynman定理  4、在核子-核子散射中，以下能區(qū)不利于研究彈性散射（C、D）    A. 0-300

41、MeV B. 300MeV-500MeV  C. 500MeV-800MeV  D. 800MeV以上  5、對(duì)庫侖散射描述正確的是（A、B、C、D）    A.主要集中在小角度(附近)    B.截面與入射粒子能量平方成反比C. Born近似條件不成立           D. 分波法處理不方便二、判斷題（總分20，每題4分）  1、Born近似對(duì)低能散射可能有效。（對(duì)）  2、Lippman-Schwinger方程按照微擾論作近似，就是Born近似（對(duì)）  3、在質(zhì)心系中，全同粒子的散射截面角是對(duì)稱的，但不包括自旋為 的粒子。（錯(cuò)）  4、通過散射，我們?yōu)榱说玫搅Ｗ拥慕欠植迹顷P(guān)聯(lián)，極化等，以及能量本征值。（錯(cuò)）  5、在研究低能散射中，一種方便的方法把散射實(shí)驗(yàn)結(jié)果與某種量子力學(xué)算符聯(lián)系起來：T矩陣