高中北師大版數學選修2-1 綜合檢測2

1、綜合檢測(二)第二章空間向量與立體幾何(時間：90分鐘滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每個題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的)1已知向量a(2，3,5)與向量b(4，x，y)平行，則x，y的值分別是()A6和10B6和10C6和10 D6和10【解析】由ab，得，x6，y10.【答案】A2已知直線a的方向向量為a，平面的法向量為n，下列結論成立的是()A若an，則a B若a·n0，則aC若an，則a D若a·n0，則a【解析】由直線的方向向量與平面的法向量的定義知應選C，對于選項D，直線a在平面內，也滿足a·n0.

2、【答案】C3平面的一個法向量n(1，1,0)，則y軸與平面所成的角的大小為()A.BC.D【解析】y軸的方向向量s(0,1,0)，cosn，s，即y軸與平面所成角的正弦值是，故其所成的角是.【答案】B4平行六面體ABCDA1B1C1D1，向量A、A、兩兩的夾角均為60°，且|A|1，|A|2，|3，則|等于()A5 B6 C4 D8【解析】設Aa，Ab，c，則abc，a2b2c22a·b2b·c2c·a25，因此|5.【答案】A5已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，則實數等于()A. B C. D【解析】a，b

3、不共線，存在x，y，使cxayB解得.【答案】D6已知平面，是兩個不重合的平面，其法向量分別為n1，n2，給出下列結論：若n1n2，則；若n1n2，則；若n1·n20，則；若n1·n20，則.其中正確的是()A B C D【解析】由平面的法向量的定義知正確【答案】A7正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點，則sinC，的值為()A. B C. D【解析】設正方體棱長2，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系(如圖)，可知C(2，2,1)，(2,2，1)，cosC，sinC，.【答案】B8點M在z軸上，它與

4、經過坐標原點且方向向量為s(1，1,1)的直線l的距離為，則點M的坐標是()A(0,0，±2) B(0,0，±3)C(0,0，±) D(0,0，±1)【解析】設M(0,0，z)，直線的一個單位方向向量s0(，)，故點M到直線l的距離d，解得z±3.【答案】B9. 如圖1，在四棱錐PABCD中，側面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側面PAD底面ABCD，M為底面ABCD內的一個動點，且滿足MPMC.則點M在正方形ABCD內的軌跡為()圖1【解析】如圖，以D為原點，DA、DC分別為x，y軸建立如圖所示空間直角坐標系，設M(x，y,0)，設正

5、方形邊長為a，則P(，0，a)，C(0，a,0)，則|MC|，|MP|.由|MP|MC|得x2y，所以M在正方形ABCD內的軌跡為一條直線yx.【答案】A10. 如圖2，在正三棱錐PABC中，D是側棱PA的中點，O是底面ABC的中心，則下列四個結論中正確的是()圖2AOD平面PBCBODPACODACDPA2OD【解析】連接AO、PO，依題意POAO，即POA90°.D為PA的中點，點O在以PA為直徑的圓上，ODDADP，即PA2OD【答案】D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)11若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，滿足

6、條件(ca)·(2b)2，則x_.【解析】c(1,1,1)，a(1,1，x)，ca(0,0,1x)，(ca)·(2b)(0,0,1x)(2,4,2)2(1x)2，x2.【答案】212若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面所成的角為_【解析】由題設，l與所成的角90°(180°120°)30°.【答案】30°13平面經過點A(0,0,2)且一個法向量n(1，1，1)，則x軸與平面的交點坐標是_【解析】設交點M(x,0,0)，A(x,0，2)，平面的一個單位法向量是n0(，)，點M到平面的距

7、離d|A·n0|x|0，得x2，故x軸與平面的交點坐標是(2,0,0)【答案】(2,0,0)14已知三棱錐PABC各頂點的坐標分別是P(1,0,0)，A(0,1,0)，B(4,0,0)，C(0,0,2)，則該三棱錐底面ABC上的高h_.【解析】由已知，A(1，1,0)，A(4，1,0)，A(0，1,2)設平面ABC的法向量n(x，y，z)，則取x1，得n(1,4,2)則h.【答案】三、解答題(本大題4小題，共50分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小滿分12分)如圖3，在ABC中，ABC60°，BAC90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使

8、BDC90°.(1)證明：平面ADB平面BDC；(2)設E為BC的中點，求A與D夾角的余弦值圖3【解】(1)證明：折起前AD是BC邊上的高，當ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由BDC90°及(1)知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設|DB|1，以D為坐標原點，以D，D，D所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易得：D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E(，0)，所以A(，)，D(1,0,0)，cos<A，D>，所以A與D夾角的余弦值是.16(

9、本小題滿分12分)如圖4，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點圖4(1)證明：ADD1F；(2)求AE與D1F所成的角；(3)證明：面AED面A1FD1.【解】以D為原點，DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標系設正方體的棱長為1，則有A(1,0,0)，E(1,1，)，F(0，0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)(1)證明：由A(1,0,0)，(0，1)，A·0，ADD1F.(2)A(0,1，)，A·0，AED1F，AE與D1F所成的角為90°.(3)證明：由以上可知D1F平面AED，又D1F在平面A1FD1內，面A

10、ED面A1FD1.17. (本小題滿分12分)如圖5所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點證明：圖5(1)AECD；(2)PD平面ABE.【證明】AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，設PAABBC1，則P(0,0,1)，(1)ABC60°，ABC為正三角形，C(，0)，E(，)，設D(0，y,0)，由ACCD，得A·C0，即y，則D(0，0)，C(，0)，又A(，)，A·C××0，AC，即AECD(2)法一P(0,0,1)，P(0，1)，又A&#

11、183;P××(1)0，PA，即PDAE，A(1,0,0)，P·A0，PDAB，又ABAEA，PD平面AEB法二A(1,0,0)，A(，)，設平面ABE的一個法向量為n(x，y，z)，則令y2，則z，n(0,2，)，P(0，1)，顯然Pn.Pn，P平面ABE，即PD平面ABE.18(2013·遼寧高考)(本小題滿分12分)如圖6，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點圖6(1)求證：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值【解】(1)證明：由AB是圓的直徑，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因為BC平面PBC.所以平面PBC平面PAC.(2)過C作CMAP，則CM平面ABC.如圖(1)，以點C為坐標原點，分別以直線CB，CA，CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系在RtABC中，因為AB2，AC1，所以BC.又因為PA1，所以A(0