最短路徑問題專項(xiàng)練習(xí)題

1、范文范例學(xué)習(xí)參考最短路徑問題專項(xiàng)練習(xí)共13頁,全面復(fù)習(xí)與聯(lián)系最短路徑問題一、具體內(nèi)容包括：螞蟻沿正方體、長方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食問題；線段(之和)最短問題；二、原理：兩點(diǎn)之間,線段最短；垂線段最短.(構(gòu)建“對(duì)稱模型實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化)1 .最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題,只要連接這兩點(diǎn),與直線的交點(diǎn)即為所求.如下圖,點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使CA+CB最短,這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn).(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題,只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn),連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn),那么與該直線的交點(diǎn)即為所求.如

2、下圖,點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使CA+CB最短,這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B,那么點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn).B【例1】在圖中直線l上找到一點(diǎn)M,使它到A,B兩點(diǎn)的距離和最小.分析：先確定其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn),與直線l的交點(diǎn)M即-為所求的點(diǎn).解：如下圖：(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B;(2)連接AB交直線l于點(diǎn)M.(3)那么點(diǎn)M即為所求的點(diǎn).點(diǎn)撥：運(yùn)用軸對(duì)稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上,然后用“兩點(diǎn)之間線為了證實(shí)點(diǎn)C的位置即為所求,BC,證實(shí)AC+CBvAC+C證實(shí)：由作圖可知,點(diǎn)所以直線l是線段BB由于

3、點(diǎn)C與C在直線所以BC=BC,BC在ABC中,ABB和B我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C,連接AC,BC,B.如下：關(guān)于直線l對(duì)稱,所以所以AC+BCvAC的垂直平分線.l上,=BC.vAC+BC,+BC,AC+BCvAC+CB.A段最短解決問題.精品資料整理范文范例學(xué)習(xí)參考2.運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離最短問題運(yùn)用軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì),將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長,是解決距離之和最小問題的根本思路,不管題目如何變化,運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn),這兩點(diǎn),到直線上某點(diǎn)的距離和最小這個(gè)核心,所有作法都相同.警誤區(qū)利用軸對(duì)稱解決最值問題應(yīng)注意題目要.求根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系,通過

4、比擬來說明最值問題是常用的一種方法.解決這類最值問題時(shí),要認(rèn)真審題,不要只注意圖形而忽略題意要求,審題不清導(dǎo)致答非所問.3 .利用平移確定最短路徑選址選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上.如果兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)時(shí),過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成線段的差最大,如果兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)時(shí),過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小,都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明,通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)來解決.解決連接河兩岸,的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問題時(shí),可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱?轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題.在解決最短路徑問題時(shí),我們

5、通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上,從而作出最短路徑的方法來解決問題.【例2】如圖,小河邊有兩個(gè)村莊A,B,要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水.(1)假設(shè)要使廠部到A,B村的距離相等,那么應(yīng)選擇在哪建廠？(2)假設(shè)要使廠部到A,B兩村的水管最短,應(yīng)建在什么地方？分析：(1)到A,B兩點(diǎn)距離相等,可聯(lián)想到“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,又要在河邊,所以作AB的垂直平分線,與EF的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn).(2)要使廠部到A村、B村的距離之和最短,可聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間線段最短:作A(或B)點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn),連接對(duì)稱點(diǎn)與B點(diǎn),與EF的交點(diǎn)即為所求.解：(

6、1)如圖1,取線段AB的中點(diǎn)G,過中點(diǎn)G畫AB的垂線,交EF于P,那么P到A,B1的距離相等.也可分別以A、B為圓心,以大于2AB為半徑回弧,兩弧交于兩點(diǎn),過這兩點(diǎn)作直線,與EF的交點(diǎn)P即為所求.(2)如圖2,畫出點(diǎn)A關(guān)于河岸EF的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB交EF于R,那么P至UA,B的距離和最短.【例3】如圖,從A地到B地經(jīng)過一條小河(河岸平行),今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋,應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？思路導(dǎo)引：從A至ijB要走的路線是A-M-N-B,如下圖,而MN是定值,于是要使路程最短,只要AM+BN最短即可.此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上,平移MN到AC,從C到B應(yīng)是余下

7、的路程,連接BC的線段即為最短的,此時(shí)不難說明點(diǎn)N即為建橋位置,MN即為所建的橋.精品資料整理范文范例學(xué)習(xí)參考解：1如圖2,過點(diǎn)A作AC垂直于河岸,且使AC等于河寬.2r連接BC與河岸的一邊交于點(diǎn)N.3過點(diǎn)N作河岸的垂線交另一條河岸于點(diǎn).M.那么MN為所建的橋的位置.思維拓展例新應(yīng)用捫T力“,rif.t7刈：平nM4 .生活中的距離最短問題由兩點(diǎn)之間線段最短或三角形兩邊之和大于第三邊可知,求距離之和最小問題,就是運(yùn)用等量代換的方式,把幾條線段的和想方法轉(zhuǎn)化在一條線段上,從而解決這個(gè)問題,運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì),能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段,如圖,AO+BO=AC的長.所以作點(diǎn)關(guān)于

8、某直線的對(duì)稱點(diǎn)是解決這類問題的根本方法.【例4】實(shí)際應(yīng)用題茅坪民族中學(xué)八2班舉行文藝晚會(huì),桌子擺成如圖a所示兩直排圖中的AO,BO,AO桌面上擺滿了橘子,OB桌面上擺滿了糖果,站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D處座位上,請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線,使其所走的總路程最短？解：如圖b.1作C點(diǎn)關(guān)于OA的,對(duì)稱點(diǎn)Ci,作D點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Di,2連接CiDi,分別交OA,OB于P,Q,那么小明沿C-PQ-D的路線行走,所走的總路程最短.5.運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離之差最大問題利用軸對(duì)稱和三角形的三邊關(guān)系是解決幾何中的最大值問題的關(guān)鍵.先做出其中一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn),

9、所得直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn),即為所求.根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證實(shí)這就是最大值.破疑點(diǎn)解決距離的最值問題的關(guān)鍵運(yùn)用軸對(duì)稱變換及三角形三邊關(guān)系是解決一些距離的最值問題的有效方法.【例5】如下圖,A,B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè),在l上找一點(diǎn)C,使點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距離之差最大.公分析：此題的突破點(diǎn)是作點(diǎn)A或B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A或B,作直線ABAB與直線l交于點(diǎn)C,把問題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三.邊來解決.解：如下圖,以直線l為對(duì)稱軸,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A,AB的連線交l于點(diǎn)C,那么點(diǎn)C即為所求.理由：在直線l上任找一點(diǎn)C異于點(diǎn)C,連接CA,CA,CA,CB.由于點(diǎn)A,

10、A關(guān)于直線l對(duì)稱,所以l為線段AA的垂直平分線,那么有CA=CA,所以CACB=CACB=AB.又由于點(diǎn)C在l上,所以CA=CA.在AABC中,CA-CB=CA-CBvAB,所以CA-CBCA-CB.點(diǎn)撥：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系,通過比擬來說明最值問題是常用的一種方法.BR圖a圖b精品資料整理三、例題:例1、如右圖是一個(gè)棱長為4的正方體木塊,一只螞蟻要從木塊的點(diǎn)A沿木塊側(cè)面爬到點(diǎn)B處,那么它爬行的最短路徑是如右圖是一個(gè)長方體木塊,AB=3,BC=4,CD=2假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn)A處,它例2、如圖,要在河邊修建一個(gè)水泵站,分別向張村、李莊送水,水泵站修在河邊什么地方可使所用的水管最短

11、.李莊B張村AL如圖,直線L同側(cè)有兩點(diǎn)AB,A、B到直線L的垂直距離分別為1和3,兩點(diǎn)的水平距離為3,要在直線L上找一個(gè)點(diǎn)P,使PA+PB勺和最小.請(qǐng)?jiān)趫D中找出點(diǎn)P的位置,并計(jì)算PA+PB勺最小值.要在河邊修建一個(gè)水泵站,向張村、李莊鋪設(shè)管道送水,假設(shè)張村、李莊到河邊的垂直距離分別為IKmffi3Km張村與李莊白水平距離為3Km那么所用水管最短長度為張村.四、練習(xí)題穩(wěn)固提升一1、 如圖是一個(gè)長方體木塊,AB=5,BC=3,CD=4假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn)A處,它要沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn)D處,那么螞蟻爬行的最短路徑是.2、現(xiàn)要在如下圖的圓柱體側(cè)面A點(diǎn)與B點(diǎn)之間纏一條金絲帶金絲帶的寬度忽略不計(jì),圓柱體高為6c

12、m,底面圓周長為16cm,那么所纏金絲帶長度的最小值為0范文范例學(xué)習(xí)參考要沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn)D處,那么螞蟻爬行的最短路徑是李莊D3、如圖是一個(gè)圓柱體木塊,一只螞蟻要沿圓柱體的外表從A點(diǎn)爬到點(diǎn)B處吃到食精品資料整理范文范例學(xué)習(xí)參考物,知圓柱體的高為5cm,底面圓的周長為24cm,那么螞蟻爬行的最短路徑為o4、正方形ABCD勺邊長為8,M在DC上,且DW2,N是AC上的一動(dòng)點(diǎn),DWMN5、 在菱形ABCm,AB=2/BAD=60,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么PE+PB勺最小值為.6、如圖,在ABC,AOBO2,/AC氏90,D是BC邊的中點(diǎn),E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),那么EJED的

13、最小值為.7、AB是.的直徑,AB=ZOC是.的半徑,OCLAB,點(diǎn)D在AC上,AD=2c0點(diǎn)P是半徑OC的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么AP+PD勺最小值為.(二)8、 如圖,點(diǎn)P關(guān)于OAOB的對(duì)稱點(diǎn)分別為GD,連接CD交OA于M交OB于N,假設(shè)C518cm,那么PMN勺周長為.9、 ,如圖DE是4ABC的邊AB的垂直平分線,D為垂足,DEiBC于E,且AC=5,BO8,那么4AEC的周長為.10、 ,如圖,在ABC中,ABACBC邊上的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,AO8,ABE的周長為14,那么AB的長.MN分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),那么BM+MINJ最小值是.12、在平面直角坐標(biāo)系中,有A

14、(3,2),B(4,2)兩點(diǎn),現(xiàn)另取一點(diǎn)C(1,n),當(dāng)n=時(shí),AC+BC的值最小.第14題第15題11、如圖,在銳角ABC中,AB=4M2,ZBAC=45,/BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,第11題精品資料整理范文范例學(xué)習(xí)參考13、ABC中,/C=90,AB=10,AC=6,BC=8過AB邊上一點(diǎn)P作PELAC于E,PF,BC于F,E、F是垂足,那么EF的最小值等于.14、如圖,菱形ABCE,AB=2,/BAD=60,點(diǎn)E、F、P分別是ABBCAC上的動(dòng)點(diǎn),那么PE+PFF勺最小值為15、如圖,村莊A、B位于一條小河的兩側(cè),假設(shè)河岸a、b彼此平行,現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD問橋址應(yīng)如何選擇

15、,才能使A村到B村的路程最近？16、一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A(2,0),B(0,4).(1)求該函數(shù)的解析式；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)OAAB的中點(diǎn)分別為C、D,P為OB上一動(dòng)點(diǎn),求PC+PD(三)16、如圖,/AO時(shí)有一點(diǎn)P,試分別在邊OA?口OB上各找一點(diǎn)E、F,使得4PEF的周長最小.試畫出圖形,并說明理由.17、如圖,直線l是第一、三象限的角平分線.實(shí)驗(yàn)與探究：(1)由圖觀察易知A(0,2)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B(5,3)、C(2,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B、C的位置,并寫出他們的坐標(biāo)：B、C;歸納與發(fā)現(xiàn)：(2)結(jié)合以上三組點(diǎn)的坐

16、標(biāo),你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為;運(yùn)用與拓廣：(3)兩點(diǎn)D(1,3)、E(-1,4),試在直線l上確定一點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q到DE兩點(diǎn)的距離之和最小,并求出Q點(diǎn)坐標(biāo).18、幾何模型：條件：如圖,A、B是直線L同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問題：在直線L上確定一點(diǎn)P,使PA+PB勺值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A,連結(jié)AB交l于點(diǎn)P,那么PAPBAB的值最小(不必證實(shí)).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點(diǎn),P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連結(jié)BD,由正方形對(duì)稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連結(jié)ED交AC于P,那么PBPE的最小值是；(2

17、)如圖2,.的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在.上,OAOB,AOC60.,P是OB上一動(dòng)點(diǎn),求PAPC的最小值；精品資料整理的最小值,并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).范文范例學(xué)習(xí)參考(3)如圖3,/AOB=45,P是/AOEft一點(diǎn),PO=1QQR分別是OAOB上的動(dòng)點(diǎn),求PQRH長的最小值.AB10cm,E為邊BC的中點(diǎn),P為BDAB10cm,ABC45,E為邊BC上問題解決(3)如圖,假設(shè)四邊形ABCD矩形,AB10cm,BC20cm,E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PCPE的最小值；20.如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),連結(jié)0A,將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120,得

18、到線段OB.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A、OB三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C,使BOC勺周長最?。考僭O(shè)存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由.(注意：此題中的結(jié)果均保存根號(hào))解：(1)過點(diǎn)B作BDLx軸于點(diǎn)D,中,/ODB=90/OBD=30.OD=1DB=3點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,褥).(2)設(shè)所求拋物線的解析式為 y知可得：c0abc34a2bc0解得：a,b70.33所求拋物線解析式為 y3x223x.33的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PCPE的最小值;2.axbx(1)如圖,四邊形ABCD是正方形,上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PCPE的最小值；(2)

19、如圖,假設(shè)四邊形ABCD是菱形,由可得：OB=OA=2/BOD=60.在RtAOBDc,精品資料整理范文范例學(xué)習(xí)參考(3)存在.由 y 理 x2述 x 配方后得：yY3x12巫3333,拋物線的對(duì)稱軸為 x=-1.(也寫用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出).OB=2要使BOC勺周長最小,必須BC+CCM小.點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于直線 x=1對(duì)稱,有CO=CA.BOC勺周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA.當(dāng)AGB三點(diǎn)共線,即點(diǎn)C為直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí),BC+CAft小,此時(shí)BOC勺周長最小.(列出方程組給1分,解出給2分)拋物線的解析式為 yx23設(shè)直線AB的解析式為 ykxb,那么有kb.32kb0解

20、得:k裊.直線AB的解析式為 yx店33當(dāng) x=1時(shí),y；所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(一1,蟲321、如圖,拋物線 yax2bxc 的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為431,3,交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn) C(0,圾.(1)求拋物線的表達(dá)式.(2)把ABCggAB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180,得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBC勺形狀,并說明理由.(3)試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)F,使得FBD的周長最小,假設(shè)存在,請(qǐng)寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由.解：(1)由題意知3分精品資料整理范文范例學(xué)習(xí)參考(2)設(shè)點(diǎn)A(xi,0),B(X2,0),那么史x2紀(jì)3xM0,33解得 Xi1,X235分IOAI=1,IOBI=3.又.tan/OC&tOBJ庭|OC|/OC比60,同理可求/OC號(hào)30.;/AC氏9006分由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知A捻BD,BG=AD四邊形ADB久平行四邊形7分又/AC&900.四邊形ADBC1矩形8分(3)延長BC至N,使CNCB.假設(shè)存在一點(diǎn)F,使