電磁學(xué)答案第3章

1、第三章 靜電場的電介質(zhì) 3.2.1 偶極矩為=q的電偶極子，處于場強(qiáng)為的外電場中， 與的夾角為。（1） 若是均勻的，為什么值時(shí)，電偶極子達(dá)到平衡？（2）如果E是不均勻的，電偶極子能否達(dá)到平衡？ 解： （1）偶極子受的力： F =F=qE 因而=- 偶極子 受合力為零。偶極子受的力矩 = 即 T=qEsin當(dāng) T=0時(shí)，偶極子達(dá)到平衡， pEsin=0 0 0 =0 , =0這種平衡是穩(wěn)定平衡。=是不穩(wěn)定平衡。（2） 當(dāng)不是均勻電場時(shí)，偶極子除受力矩外還將受一個(gè)力（作用在兩個(gè)點(diǎn)電荷的電場力的合力）。所以不能達(dá)到平衡。3.2.2 兩電偶極子和在同一直線上，所以它們之間距r比它們自己的線度大的很多。

2、證明：它們的相互作用力的大小為F=，力的方向是： 與同方向時(shí)互相吸引，反方向時(shí)互相排斥。 證： 已知當(dāng)r >>l時(shí)，偶極子在其延長線上 一點(diǎn)的場強(qiáng)： = 當(dāng) 與 同方向時(shí)，如圖 所受的力的大?。?=q= = -q= = += = 略去 及 等高級小量。 =- = - 當(dāng) 與 反方向時(shí)（如圖），同理： = = 略去高級小量得：=3.2.3 一電偶極子處在外電場中，其電偶極矩為，其所在處的電場強(qiáng)度為 。（1） 求電偶極子在該處的電位能，（2） 在什么情況下電偶極子的電位能最??？其值是 多少？（3） 在什么情況下電偶極子的電位能最大？其值是 多少？ 解： （1）電位能： W=q-q=q

3、又由于= -，lcos(是與間夾角) W= -qElcos = - （2）當(dāng)與一致時(shí)，W= -pE.即=0時(shí)電位能最小。 （3）當(dāng)與方向相反時(shí)， W= pE. 即=時(shí)電位能最大。 3.2.4 一電偶極子，由q=1.010（庫）的兩個(gè)異號電荷所組成，這兩個(gè)電荷相距為l=2.0（厘米），把這電偶極子放在1.010牛頓/庫倫的均勻外場中，（1） 外電場作用于電偶極子上最大轉(zhuǎn)矩的多大？（2） 把偶極子從原來的位置（）轉(zhuǎn)到最大轉(zhuǎn)矩時(shí)，外力所作的功是多大？ 解： （1）外電場是勻強(qiáng)電場時(shí)，偶極子受的力矩為： T=pEsin 當(dāng)時(shí)=時(shí)，力矩最大， T=pE=qlE=1021010 =210 (牛頓米)（2）

4、把偶極子從原來的位置（）轉(zhuǎn)到最大轉(zhuǎn)矩時(shí)，外力 所做的功： A= =pE=210(牛頓米)3·4·1 一平行板電容器面積為S，面板間距離為d，中間充滿均勻電介質(zhì)，已知當(dāng)一板上自己電荷為Q時(shí)，整塊介質(zhì)的總偶極矩為 總, 求電容器中的電場強(qiáng)度。 整塊介質(zhì)的總偶極矩為 總 極化強(qiáng)度 = 設(shè) 上、 下是介質(zhì)上下兩面的外法線， 上= · 上= Pn= P 下= · 下= Pn= P 自由電荷激發(fā)的場強(qiáng)： AB= AB 極化電荷激發(fā)的場強(qiáng)： BA= AB= AB= AB 電容器中電場強(qiáng)度： AB = AB 3·4·2 一半徑為R，厚度為d的均勻介質(zhì)

5、圓板（R d）被均勻極化，其極化強(qiáng)度為P，且 平行于板畫（如圖所示），求極化電荷在圓板中心產(chǎn)生的電場強(qiáng)度。 解：如圖所示，在柱坐標(biāo)系中： 是面元法線與極化強(qiáng)度 為夾角 其中 根據(jù)對稱性分析,極化電荷在圓板中心產(chǎn)生的電場強(qiáng)度只有y方向分量(y軸與 反方向), 當(dāng)R>>d時(shí),略去高級小量 得: 3·4·3 在圖中A為一塊金屬,其外部充滿均勻介質(zhì),其極化率為x,已知交界面上某點(diǎn)的極化電荷面密度為 ,求該點(diǎn)的自由電荷面密度。 解: 在靜點(diǎn)平衡時(shí),利用高斯定理可得,導(dǎo)體外(即介質(zhì)內(nèi))緊靠導(dǎo)體表面一點(diǎn)的場強(qiáng)為: = =- 與 反方向,如圖所示, 是介質(zhì)表面外法線. 又由于在

6、介質(zhì)內(nèi): = ; · = =- = 求一均勻極化的電介質(zhì)球表面上極化電荷的分布,已知極化強(qiáng)度為 ,如圖所示. 解: 取球心Q為原點(diǎn),極軸與 平行的球坐標(biāo),由于軸對稱性,表面上任一點(diǎn)A的極化電荷密度 只與 角有關(guān).著也是A 點(diǎn)外法線 與 的夾角,故 這表明：在右半球 為正，左半球 為負(fù)；在兩半球分界線面上， 在 3·4·5 圖中沿x軸放置的介質(zhì)圓柱，地面積為S，周圍是真空，已知介質(zhì)內(nèi)個(gè)點(diǎn)極化矢量 （為常數(shù)） （1）求圓柱兩底面上的極化電荷密度 及 ； （2）求出圓柱內(nèi)體電荷密度 。 解：（1） （2）由定義得： 3.4.6平行板電容器充滿了極化率為新的均勻電介質(zhì)，已

7、知充電后金屬板極板上的自由電荷面密度為，求電容器的電容與沒有電介質(zhì)時(shí)的電容之比。解：極化電荷的場強(qiáng)：自由電荷的場強(qiáng)：與反方向，3.4.7一空氣平行板電容器，面積S=0.2()，d=1.0(厘米)，充電后斷開電源，其電位差，當(dāng)電介質(zhì)充滿兩版間以后，則電壓降至1000伏，試計(jì)算：(1)原電容；(2)每一個(gè)導(dǎo)體板上的電量Q；(3)放入電介質(zhì)后的電容C；(4)兩板間的原電場強(qiáng)度；(5)放入電介質(zhì)后的電場強(qiáng)度；(6)電介質(zhì)每一面上的極化電荷；(7)電介質(zhì)的相對介電常數(shù)提示。解： 3.4.8 兩相距為5.0毫米的平行導(dǎo)體板間均勻充滿相對介電常數(shù)的電介質(zhì)，其介質(zhì)內(nèi)的電場強(qiáng)度是伏/米。試求：（1）在導(dǎo)體板上的

8、面電荷密度；（2）在電介質(zhì)面上的極化面電荷密度解：（1）利用3.4.6題結(jié)論： 又由于 3.4.9在相對介電常數(shù)為的電介質(zhì)中有一強(qiáng)度為的均勻電場。在介質(zhì)內(nèi)有一球形空腔。求球面上的極化電荷在球心產(chǎn)生的電場強(qiáng)度。解：如圖所示，在均勻電介質(zhì)中： 是介質(zhì)表面的外法線即指向球心。 根據(jù)對稱性分析可得，只有z方向分量，=E 3.5.1 兩平行導(dǎo)體板相距5.0毫米，帶有等量異號電荷，面密度為20微庫/米，其間有兩片電介質(zhì)，一片厚2.0毫米，=3.0毫米，=4.0。略去邊緣效應(yīng)，求各介質(zhì)內(nèi)的D、E和介質(zhì)表面的。解：如圖所示，作一個(gè)底在導(dǎo)體內(nèi)，另一底平行于極板的封閉圓柱形高斯面。根據(jù)高斯定理得：D=2(庫/米)

9、D=D=2(庫/米)在介質(zhì)1中的場強(qiáng)：E=7.5（伏/米）在介質(zhì)2中的場強(qiáng)：E=5.65（伏/米）= =-=-（-1）=- =-=-（庫/米）= =（庫/米） =-或3.5.2 一無限大均勻介質(zhì)平板，厚度為d，相對介電常數(shù)為，其中有密度均勻的自由電荷，體密度為，求板內(nèi)、外的、。解： 作如圖所示的高斯面，由高斯定理得（其中x是場點(diǎn)在x軸的坐標(biāo)，原點(diǎn)在介質(zhì)板的對稱面上）。 板內(nèi)： =在板外： 3.5.3 如圖所示，一平行板電容器兩極板相距為d，面積為S，其中放有一層厚為t的電介質(zhì)，相對介電常數(shù)為，介質(zhì)兩邊都是空氣。設(shè)兩極板間電位差為U，略去邊緣效應(yīng)。試求：（1） 介質(zhì)中的電場強(qiáng)度E，電位移D和極化

10、強(qiáng)度P；（2） 極板上的電量Q；（3） 極板和介質(zhì)間隙中的場強(qiáng)；（4） 電容C。解： （1）設(shè)空氣中的場強(qiáng)為； U=x+Et+(d-x-t) =(d-t)+Et 由高定斯理可知，在兩板間處處相等， （5）畫出電力線和電位移線。解 （1）利用高斯定理求出： D=0 （） () () (r<R) () () r=15(厘米)時(shí)： （庫/米） （牛/庫） （厘米）時(shí)： （厘米）時(shí)： （庫/米） （牛/庫）（1） （） （） （） r=15(厘米)時(shí)：（伏）（厘米）時(shí)：=（伏）（厘米）撕：（伏）（3） 同理： （是介質(zhì)1內(nèi)表面的外法線指向球心）（庫/米）兩種介質(zhì)分界面上的極化電荷面密度： （也是

11、指向球心） （米/庫）（4）畫出、E（r）、U（r）曲線。（5）畫出電力線和電位移線電位移線與電力線做圖比例不同。表示電位線表示電力線359 一金屬球帶有電量Q，其半徑為，球外有一內(nèi)半徑為的同心金屬=球殼，球殼接地，球與殼間充滿介質(zhì)，其相對介電常數(shù)與到球心的距離的關(guān)系：，式中K是常數(shù)。證明：在介質(zhì)中，離球心為rE= =界面兩側(cè)的電場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，即： E=E=E =（ = = =769（伏/米）363在相對介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)與真空的交界面為一平面。已知真空中均勻場強(qiáng)與界面法線夾角為，試計(jì)算：（1）以界面上一點(diǎn)為球心，R為半徑的球面上場強(qiáng)的通量。 （2）如圖所示，兩邊與界面平行的一矩

12、形積分路徑。解：（1） E因?yàn)樵诮橘|(zhì)的界面上無自由電荷存在，即： =（2）場強(qiáng)的切線分量連續(xù)： =l3.6.4如圖所示，A在介質(zhì)中離電介質(zhì)邊界極近的一點(diǎn)。已知電介質(zhì)外真空中的場強(qiáng)為，其方向與界面法線夾角為。求：（1）A點(diǎn)的場強(qiáng)大小與方向；（2）A點(diǎn)附近介質(zhì)的極化電荷密度。介質(zhì)的相對介電常數(shù)為解：（1），在介質(zhì)的界面上無自由電荷存在時(shí)，電位移矢量法向分量連續(xù)。即 =方向： tg(2)3.7.1 將平行板空氣電容器充電至電位差U，然后斷開電源，電容器極板的面積為S，極板間的距離為d，兩極板是豎直放置的。使電容器有一半放在相對介電常數(shù)為的液體中，試求：（1）電容C；（2）極板上自由電荷密度的分布；（

13、3）兩極板間空氣中及介質(zhì)中的電場強(qiáng)度；（40放入液體后，電容器的能量比原來電容器的能量減少多少？解：（1）C等效成兩個(gè)電容器的并聯(lián)： C= =（1+（2）設(shè)d即： 設(shè)放在液體中的那部分極板上的電荷面密度為，沒有放在液體中的那部分極板上的電荷面密度為 對平行板電容器： 電容器所帶總電量 總電量不變Q=+=Ed=EdE=E=沒浸入液體前電容的能量：W=CU=浸入液體中以后電容器的能量：W= =能量變化：=W-W=-372平行板電容器極板的面積為200厘米，極板間的距離為1.0毫米，在電容器內(nèi)有一塊玻璃板充滿兩極板間的全部空間，求在下面的情況下，若玻璃板移開，電容器的能量的變化？將電容與電動勢為300伏的電源相連。充電后，將電源斷開在抽出玻璃板。解：電容器與電動勢為300伏的電源相連時(shí)，保持電容器兩端電壓不變。在無玻璃板與有玻璃板兩種情況下，電容器的電容：C=