2013理科數(shù)學(四川卷)

1、2013年普通高等學校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類(四川卷)本試題卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)第卷1至2頁，第卷3至4頁，共4頁考生作答時，須將答案答在答題卡上在本試題卷、草稿紙上答題無效滿分150分考試時間120分鐘考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回第卷(選擇題共50分)注意事項：必須使用2B鉛筆在答題卡上將所選答案對應的標號涂黑一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的1(2013四川，理1)設集合Ax|x20，集合Bx|x240，則AB()A2 B2C2,2 D答案：A解析：由題意可得，A2，B2,2，AB2故選

2、A2(2013四川，理2)如圖，在復平面內(nèi)，點A表示復數(shù)z，則圖中表示z的共軛復數(shù)的點是()AA BBCC DD答案：B解析：復數(shù)z表示的點與其共軛復數(shù)表示的點關于實軸對稱3(2013四川，理3)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()答案：D解析：由三視圖可知該幾何體為一個上部為圓臺、下部為圓柱的組合體，故選D4(2013四川，理4)設xZ，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集若命題p：xA,2xB，則()Ap：xA,2xBBp：xA,2xBCp：xA,2xBDp：xA,2xB答案：D5(2013四川，理5)函數(shù)f(x)2sin(x)的部分圖象如圖所示，則，的值分別是()A2， B

3、2，C4， D4，答案：A解析：由圖象可得，T，則2，再將點代入f(x)2sin(2x)中得，令2k，kZ，解得，2k，kZ，又，則取k0，.故選A6(2013四川，理6)拋物線y24x的焦點到雙曲線x21的漸近線的距離是()A B C1 D答案：B解析：由題意可得，拋物線的焦點為(1,0)，雙曲線的漸近線方程為，即xy0，由點到直線的距離公式可得拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離.7(2013四川，理7)函數(shù)的圖象大致是()答案：C解析：由函數(shù)解析式可得，該函數(shù)定義域為(，0)(0，)，故排除A；取x1，y0，故再排除B；當x時，3x1遠遠大于x3的值且都為正，故0且大于0，故排除D，選C8

4、(2013四川，理8)從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個數(shù)是()A9 B10 C18 D20答案：C解析：記基本事件為(a，b)，則基本事件空間(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)共有20個基本事件，而lg alg b，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使的值相等，則不同值的個數(shù)為20218(個)，故選

5、C9(2013四川，理9)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()A B C D答案：C解析：設兩串彩燈第一次閃亮的時刻分別為x，y，則由題意可得，0x4,0y4；而所求事件“兩串彩燈同時通電后，第一次閃亮相差不超過2秒”(x，y)|xy|2，由圖示得，該事件概率.10(2013四川，理10)設函數(shù)f(x)(aR，e為自然對數(shù)的底數(shù))，若曲線ysin x上存在點(x0，y0)使得f(f(y0)y0，則a的取值范圍是()A1，

6、e Be11,1C1，e1 De11，e1答案：A解析：由題意可得，y0sin x01,1，而由f(x)可知y00,1，當a0時，f(x)為增函數(shù)，y00,1時，f(y0)1，f(f(y0)1.不存在y00,1使f(f(y0)y0成立，故B，D錯；當ae1時，f(x)，當y00,1時，只有y01時f(x)才有意義，而f(1)0，f(f(1)f(0)，顯然無意義，故C錯故選A第卷(非選擇題共100分)注意事項：必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無效二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，

7、共25分11(2013四川，理11)二項式(xy)5的展開式中，含x2y3的項的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)答案：10解析：由二項式展開系數(shù)可得，x2y3的系數(shù)為10.12(2013四川，理12)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，則_.答案：2解析：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，2，2.13(2013四川，理13)設sin 2sin ，則tan 2的值是_答案：解析：sin 2sin ，2sin cos sin .又，cos .sin .sin 2，cos 22cos21.tan 2.14(2013四川，理14)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當x0時，f(x)x24x，那么，

8、不等式f(x2)5的解集是_答案：(7,3)解析：當x0時，令x24x5，解得，0x5.又因為f(x)為定義域為R的偶函數(shù)，則不等式f(x2)5等價于5x25，即7x3；故解集為(7,3)15(2013四川，理15)設P1，P2，Pn為平面內(nèi)的n個點，在平面內(nèi)的所有點中，若點P到點P1，P2，Pn的距離之和最小，則稱點P為點P1，P2，Pn的一個“中位點”，例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點，現(xiàn)有下列命題：若三個點A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；若四個點A，B，C，D共線，則它們的中位點存在且唯一；梯形對

9、角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點其中的真命題是_(寫出所有真命題的序號)答案：解析：由“中位點”可知，若C在線段AB上，則線段AB上任一點都為“中位點”，C也不例外，故正確；對于假設在等腰RtABC中，ACB90°，如圖所示，點P為斜邊AB中點，設腰長為2，則|PA|PB|PC|AB|，而若C為“中位點”，則|CB|CA|4，故錯；對于，若B，C三等分AD，若設|AB|BC|CD|1，則|BA|BC|BD|4|CA|CB|CD|，故錯；對于，在梯形ABCD中，對角線AC與BD的交點為O，在梯形ABCD內(nèi)任取不同于點O的一點M，則在MAC中，|MA|MC|AC|OA|OC|，同理

10、在MBD中，|MB|MD|BD|OB|OD|，則得，|MA|MB|MC|MD|OA|OB|OC|OD|，故O為梯形內(nèi)唯一中位點是正確的三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟16(2013四川，理16)(本小題滿分12分)在等差數(shù)列an中，a1a38，且a4為a2和a9的等比中項，求數(shù)列an的首項、公差及前n項和解：設該數(shù)列公差為d，前n項和為Sn.由已知，可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)所以，a1d4，d(d3a1)0，解得a14，d0，或a11，d3，即數(shù)列an的首項為4，公差為0，或首項為1，公差為3.所以，數(shù)列的前n項和Sn4n或

11、Sn.17(2013四川，理17)(本小題滿分12分)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，(1)求cos A的值；(2)若，b5，求向量在方向上的投影解：(1)由2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.則cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0A，得sin A，由正弦定理，有，所以，sin B.由題知ab，則AB，故.根據(jù)余弦定理，有52c22×5c×，解得c1或c7(

12、舍去)故向量在方向上的投影為|cos B.18(2013四川，理18)(本小題滿分12分)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1,2,3，24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i1,2,3)；(2)甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復運行n次后，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i1,2,3)的頻數(shù)，以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù)甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30146102 1001 027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的

13、頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30121172 1001 051696353當n2 100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1,2,3)的頻率(用分數(shù)表示)，并判斷兩位同學中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大；(3)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學期望解：(1)變量x是在1,2,3，24這24個整數(shù)中隨機產(chǎn)生的一個數(shù)，共有24種可能當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故P1；當x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出

14、y的值為2，故P2；當x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故P3.所以，輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為.(2)當n2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1,2,3)的頻率如下：輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率甲乙比較頻率趨勢與概率，可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大(3)隨機變量可能的取值為0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，故的分布列為0123P所以，E0×1×2×3×1.即的數(shù)學期望為1.19(2013四川，理19)(本小

15、題滿分12分)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點，P是線段AD的中點(1)在平面ABC內(nèi)，試作出過點P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l平面ADD1A1；(2)設(1)中的直線l交AB于點M，交AC于點N，求二面角AA1MN的余弦值解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過點P作直線lBC，因為l在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l平面A1BC由已知，ABAC，D是BC的中點，所以，BCAD，則直線lAD因為AA1平面ABC，所以AA1直線l.

16、又因為AD，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交，所以直線l平面ADD1A1.(2)解法一：連接A1P，過A作AEA1P于E，過E作EFA1M于F，連接AF.由(1)知，MN平面AEA1，所以平面AEA1平面A1MN.所以AE平面A1MN，則A1MAE.所以A1M平面AEF，則A1MAF.故AFE為二面角AA1MN的平面角(設為)設AA11，則由ABAC2AA1，BAC120°，有BAD60°，AB2，AD1.又P為AD的中點，所以M為AB中點，且AP，AM1，所以，在RtAA1P中，A1P；在RtA1AM中，A1M.從而，.所以sin .所以cos .故二面角A

17、A1MN的余弦值為.解法二：設A1A1.如圖，過A1作A1E平行于B1C1，以A1為坐標原點，分別以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系Oxyz(點O與點A1重合)則A1(0,0,0)，A(0,0,1)因為P為AD的中點，所以M，N分別為AB，AC的中點故M，N.所以，(0,0,1)，(，0,0)設平面AA1M的一個法向量為n1(x1，y1，z1)，則即故有從而取x11，則y1，所以n1(1，0)設平面A1MN的一個法向量為n2(x2，y2，z2)，則即故有從而取y22，則z21，所以n2(0,2，1)設二面角AA1MN的平面角為，又為銳角，則cos .故二面角AA1MN的余

18、弦值為.20(2013四川，理20)(本小題滿分13分)已知橢圓C：(ab0)的兩個焦點分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且橢圓C經(jīng)過點P.(1)求橢圓C的離心率；(2)設過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程解：(1)由橢圓定義知，2a|PF1|PF2|，所以.又由已知，c1.所以橢圓C的離心率.(2)由(1)知，橢圓C的方程為y21.設點Q的坐標為(x，y)(1)當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，1)兩點，此時點Q的坐標為.(2)當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為ykx2.因為M，N在直線l上，可設點M，

19、N的坐標分別為(x1，kx12)，(x2，kx22)，則|AM|2(1k2)x12，|AN|2(1k2)x22.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即.將ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24×(2k21)×60，得k2.由可知，x1x2，x1x2，代入中并化簡，得.因為點Q在直線ykx2上，所以，代入中并化簡，得10(y2)23x218.由及k2，可知0x2，即x.又滿足10(y2)23x218，故x.由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以1y1.又由10(y2)2183x2有(y2)2且1y1，則y.所以，點Q的軌跡方程為10(y2)23x218，其中x，y.21(2013四川，理21)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)其中a是實數(shù)設A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)為該函數(shù)圖象上的兩點，且x1x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；(3)若函數(shù)f(x)的