高等數(shù)學(xué)備課資料：第十二章 無窮級(jí)數(shù) 03 第三節(jié)一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、第三節(jié) 一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 上節(jié)我們討論了關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，本節(jié)我們要進(jìn)一步討論關(guān)于一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，這里所謂“一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)”是指級(jí)數(shù)的各項(xiàng)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零. 先來討論一種特殊的級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，然后再討論一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).分布圖示 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 例1 例2 絕對收斂與條件收斂 例3 例4 例5 例6 例7 絕對收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)（1） 絕對收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)（2） 例8 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題12-3 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的判別法； 二、絕對收斂：如果收斂，則稱為絕對收斂；根據(jù)這個(gè)結(jié)果，我們可以將許多一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別問題轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別問題； 條件收斂

2、：如果發(fā)散，但收斂，則稱條件收斂. 三、了解絕對收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)：絕對收斂的級(jí)數(shù)重排后得到的新級(jí)數(shù)也絕對收斂，且其和相等；四、級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算：按“對角線法”排列所組成的級(jí)數(shù) 稱為級(jí)數(shù)與的柯西乘積.例題選講交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法的應(yīng)用例1（E01）判斷級(jí)數(shù)的收斂性.解 易見題設(shè)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)滿足: 所以級(jí)數(shù)收斂,其和用近似產(chǎn)生的誤差 注：判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)（其中）的收斂性時(shí)，如果數(shù)列單調(diào)減少不容易判斷，可通過驗(yàn)證當(dāng)充分大時(shí)，來判斷當(dāng)充分大時(shí)數(shù)列的單調(diào)減少；如果直接求極限有困難，亦可通過求（假定它存在）來求.例2（E02）判斷的收斂性. 解 由于所以是交錯(cuò)級(jí)數(shù).令有即時(shí)，是遞減數(shù)列,又利用洛必達(dá)法則有 則由萊布尼茨

3、定理知該級(jí)數(shù)收斂.絕對收斂與條件收斂例3（E03）判別級(jí)數(shù)的收斂性.解 由易見當(dāng)時(shí)，題設(shè)級(jí)數(shù)絕對收斂;當(dāng)時(shí)，由萊布尼茨定理知收斂，但發(fā)散，故題設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂.例4（E04）判別級(jí)數(shù)的收斂性.解 而收斂,收斂,故由定理知原級(jí)數(shù)絕對收斂.例5 判定級(jí)數(shù)的收斂性.解 由有 而可知因此所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 例6（E05）判別級(jí)數(shù)的收斂性.解 這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),令考察級(jí)數(shù)是否絕對收斂,采用比值審斂法:所以原級(jí)數(shù)非絕對收斂.由可知當(dāng)充分大時(shí),有故所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.例7 判別級(jí)數(shù)的收斂性.解 因?yàn)?即且由交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法，原級(jí)數(shù)收斂.另一方面,而發(fā)散,故發(fā)散.于是級(jí)數(shù)是條件收斂的.柯西乘積的應(yīng)用例8（E06）證明 證 由知級(jí)數(shù)絕對收斂，故可寫成 其中由定理 6,得課堂練