精講精練：因式分解方法分類總結(jié)材料-培優(yōu)含問(wèn)題詳解

1、因式分解提公因式法【知識(shí)精讀】如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算,可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式.提公因式法是因式分解的最根本也是最常用的方法.它的理論依據(jù)就是乘法分配律.多項(xiàng)式的公因式確實(shí)定方法是：(1)(1)當(dāng)多項(xiàng)式有相同字母時(shí),取相同字母的最低次哥.(2)(2)系數(shù)和各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù),公因式可以是數(shù)、單項(xiàng)式,也可以是多項(xiàng)式.下面我們通過(guò)例題進(jìn)一步學(xué)習(xí)用提公因式法因式分解【分類解析】1 1 . .把以下各式因式分解(1)(1)分析： (1)(1)假設(shè)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù),一般要提出“號(hào),使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)是正數(shù),在提出號(hào)后,多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要

2、變號(hào).解：(2)(2)有時(shí)將因式經(jīng)過(guò)符號(hào)變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?如：當(dāng) n n為自然數(shù)時(shí),是在因式分解過(guò)程中常用的因式變換.文案大全=a(a-b)32a2(a-b)22ab(a-b)二a(a-b)(a-b)22a(a-b)-2b二a(a-b)(3a2-4abb22b)2 2. .利用提公因式法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程一987一987987一987例：計(jì)算123出87268旦745687521871368136813681368分析：算式中每一項(xiàng)都含有,可以把它看成公因式提取出來(lái),再算出結(jié)果.987-、解：原式=父(123+268+456+521)13683 3. .在多項(xiàng)式恒等變形中的應(yīng)用例：

3、不解方程組,求代數(shù)式的值.分析：不要求解方程組,我們可以把和看成整體,它們的值分別是 3 3 和,觀察代數(shù)式,發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都含有,利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形,化為含有和的式子,即可求出結(jié)果.解：實(shí)用文案解:把和分別為 3 3 和帶入上式,求得代數(shù)式的值是.4 4. .在代數(shù)證實(shí)題中的應(yīng)用例：證實(shí)：對(duì)于任意自然數(shù) n,n,一定是 1010 的倍數(shù).分析：首先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形,接著只需證實(shí)每一項(xiàng)都是 1010 的倍數(shù)即可.對(duì)任意自然數(shù) n,n,和都是 1010 的倍數(shù).一定是 1010 的倍數(shù)例 2 2. .分解因式：解：說(shuō)明：在用提公因式法分解因式前,必須對(duì)原式進(jìn)行變形得到公因式,

4、同時(shí)一定要注意符號(hào),提取公因式后,剩下的因式應(yīng)注意化簡(jiǎn).題型展示：例 1.1.計(jì)算：精析與解答：設(shè),貝U5 5、中考點(diǎn)撥：例 1 1.因式分解解：說(shuō)明：此題是一個(gè)有規(guī)律的大數(shù)字的運(yùn)算,假設(shè)直接計(jì)算,運(yùn)算量必然很大.其中 20002000、20012001 重復(fù)出現(xiàn),又有的特點(diǎn),可通過(guò)設(shè)未知數(shù),將復(fù)雜數(shù)字間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式,再利用多項(xiàng)式的因式分解化簡(jiǎn)求值,從而簡(jiǎn)化計(jì)算.說(shuō)明：因式分解時(shí),應(yīng)先觀察有沒(méi)有公因式,假設(shè)沒(méi)有,看是否能通過(guò)變形轉(zhuǎn)換得到.文案大全例 2.2.:b b、c c 為整數(shù)是實(shí)用文案的公因式,求 b b、c c 的值.分析：常規(guī)解法是分別將兩個(gè)多項(xiàng)式分解因式,求得公因式后可求 b

5、 b、c,c,但比擬麻煩.注意到是及的因式.因而也是的因式,所求問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為求這個(gè)多項(xiàng)式的二次因式.解：是及的公因式也是多項(xiàng)式的二次因式而b b、c c 為整數(shù)得：說(shuō)明：這是對(duì)原命題進(jìn)行演繹推理后,轉(zhuǎn)化為解多項(xiàng)式,從而簡(jiǎn)便求得.例 3.3.設(shè) x x 為整數(shù),試判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由.解：都是大于 1 1 的自然數(shù)是合數(shù)說(shuō)明：在大于 1 1 的正數(shù)中,除了 1 1 和這個(gè)數(shù)本身,還能被其它正整數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù).只能被 1 1 和本身整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù).【實(shí)戰(zhàn)模擬】1 1 . .分解因式：(1)(1)(2)(2)(n(n 為正整數(shù))(3)(3)2 2. .計(jì)算：的結(jié)果是()A.B.C.D.

6、A.B.C.D.3 3.x.x、y y 都是正整數(shù),且,求 x x、y y.4 4. .證實(shí)：能被 4545 整除.5 5. .化簡(jiǎn)：,且當(dāng)時(shí),求原式實(shí)用文案文案大全的值.注意：結(jié)果多項(xiàng)因式要化簡(jiǎn),同時(shí)要分解徹底.2.2. B B3.3.是正整數(shù)分解成又與奇偶性相同,且文案大全實(shí)用文案試題答案1 1. .分析與解答:(1)(1)說(shuō)明：求不定方程的整數(shù)解,經(jīng)常運(yùn)用因式分解來(lái)解決.4.4.證實(shí)：(3)(3)原式能被 4545 整除5.5.解：逐次分解：原式時(shí),原式因式分解公式法【知識(shí)精讀】把乘法公式反過(guò)來(lái),就可以得到因式分解的公式.主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式補(bǔ)充：歐拉公式：特

7、別地：1 1當(dāng)時(shí),有2 2當(dāng)時(shí),歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式.運(yùn)用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個(gè)公式的形式和特點(diǎn),熟練地掌握公式.但有時(shí)需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合、變形后,方可使用公式.用公式法因式分解在求代數(shù)式的值,解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應(yīng)用.因此,正確掌握公式法因式分解,熟練靈活地運(yùn)用它,對(duì)今后的學(xué)習(xí)很有幫助.下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)用公式法進(jìn)行因式分解【分類解析】1 1 . .把分解因式的結(jié)果是A.B.A.B.C.D.C.D.分析：再利用平方差公式進(jìn)行分解,最后得到,應(yīng)選擇 BoBo說(shuō)明：解這類題目時(shí),一般先觀察現(xiàn)有項(xiàng)的特征,通過(guò)添加項(xiàng)湊成符合公式的形式.同時(shí)要注意分解一定要徹底.2 2. .在

8、簡(jiǎn)便計(jì)算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項(xiàng)式的整除等方面的應(yīng)用例：多項(xiàng)式有一個(gè)因式是,求的值.分析： 由整式的乘法與因式分解互為逆運(yùn)算,可假設(shè)另一個(gè)因式,再用待定系數(shù)法即可求出的值.解：根據(jù)條件,設(shè)那么由此可得由1 1得把代入2 2, ,得把代入3 3, ,得3 3. .在幾何題中的應(yīng)用.實(shí)用文案文案大全,試判斷的形狀.由此可見(jiàn),定是 8 8 的倍數(shù).5 5、中考點(diǎn)撥：例 1:1:因式分解：.解：說(shuō)明：因式分解時(shí),先看有沒(méi)有公因式.此題應(yīng)先提取公因式,再用平方差公式分解徹底.為等邊三角形.4.4.在代數(shù)證實(shí)題中應(yīng)用例：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是 8 8 的倍數(shù).分析：先根據(jù)條件把奇數(shù)表示出來(lái),然

9、后進(jìn)行變形和討論.解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為為整數(shù)貝U實(shí)用文案例：的三條邊,且滿足分析：由于題中有,考慮到要用完全平方公式,首先要把文案大全解:轉(zhuǎn)成.所以兩邊同乘以 2,2,然后拆開(kāi)搭配得完全平方公式之和為 0,0,從而得解.解:例 2:2:分解因式：解：說(shuō)明：先提取公因式,再用完全平方公式分解徹底.題型展示：例 1.1.：求的值.的值.且_2_2_.xy=3,x2xyy=9(1)又說(shuō)明：此題屬于條件求值問(wèn)題,解題時(shí)沒(méi)有把條件直接代入代數(shù)式求值,而是田 7 7旬日兩式相減得把代數(shù)式因式分解,變形后再把條件帶入,從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.所以說(shuō)明：按常規(guī)需求出的值,此路行不通.用因式分解變形條件,簡(jiǎn)例

10、2.2.,化計(jì)算過(guò)程.求證：證實(shí)：把代入上式,可得,即或或假設(shè),那么,假設(shè)或,同理也有文案大全實(shí)用文案說(shuō)明：利用補(bǔ)充公式確定的值,命題得證.例 3.3.假設(shè)分析與解答：由于對(duì)三角形而言,需滿足兩邊之差小于第三邊,因此要證實(shí)結(jié)論就需要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩邊差小于第三邊求得證實(shí).證實(shí)：是三角形三邊且即4 4. .：,求的值.解,即5 5. .是不全相等的實(shí)數(shù),且,試求(1)(1)的值；(2)(2)的值.分析與解答：(1)1)由因式分解可知實(shí)用文案【實(shí)戰(zhàn)模擬】3.3.假設(shè)是三角形的三條邊,求證:文案大全1.1.(1)(1)解：原式說(shuō)明：把看成整體,利用平方差公式分解.(2)(2)解：原式(3)(3)(3)

11、(3)解：原式2.2.：,求的值.解：故需考慮值的情況,(2)(2)所求代數(shù)式較復(fù)雜,考慮恒等變形.解：(1)(1)又而不全相等原式而,即原式文案大全實(shí)用文案說(shuō)明：因式分解與配方法是在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值中常用的方法.再進(jìn)一步分解；此題也可把分別看作一組,此時(shí)的六項(xiàng)式【知識(shí)精讀】分組分解法的原那么是分組后可以直接提公因式,或者可以直接運(yùn)用公式.使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當(dāng),而在分組時(shí),必須有預(yù)見(jiàn)性.能預(yù)見(jiàn)到下一步能繼續(xù)分解.而“預(yù)見(jiàn)源于細(xì)致的“觀察,分析多項(xiàng)式的特點(diǎn),恰當(dāng)?shù)姆纸M是分組分解法的關(guān)鍵.應(yīng)用分組分解法因式分解,不僅可以考察提公因式法,公式法,同時(shí)它在代數(shù)式的化簡(jiǎn),求值及一元二次方程,

12、函數(shù)等學(xué)習(xí)中也有重要作用.下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)用分組分解法進(jìn)行因式分解.【分類解析】1 1 . .在數(shù)學(xué)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證實(shí)題中的應(yīng)用例 1 1.把多項(xiàng)式分解因式,所得的結(jié)果為2 2. .在幾何學(xué)中的應(yīng)用例：三條線段長(zhǎng)分別為 a a、b b、c,c,且滿足證實(shí)：以 a a、b b、c c 為三邊能構(gòu)成三角形分析：構(gòu)成三角形的條件,即三邊關(guān)系定理,是“兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊證實(shí)：應(yīng)選擇 C C例 2.2.分解因式分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式,很顯然要先進(jìn)行分組,此題可把分別看成一組,此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式,提取公因式后,文案大全實(shí)用文案因式分解分組分解法變成三項(xiàng)式,提取公因式后再進(jìn)行分解.解法 1

13、:1:解法 2:2:分析：先去括號(hào),合并同類項(xiàng),然后分組搭配,繼續(xù)用公式法分解徹底.解：原式說(shuō)明： 觀察此題是四項(xiàng)式,應(yīng)采用分組分解法,中間兩項(xiàng)雖符合平方差公式,但搭配在一起不能分解到底,應(yīng)把后三項(xiàng)結(jié)合在一起,再應(yīng)用完全平方公式和平方差公式.例 2.2.分解因式：解：說(shuō)明：前兩項(xiàng)符合平方差公式,把后兩項(xiàng)結(jié)合,看成整體提取公因式.例 3.3.分解因式：解：說(shuō)明：分組的目的是能夠繼續(xù)分解.5 5、題型展示：例 1.1.分解因式：解：實(shí)用文案3.3.在方程中的應(yīng)用例：求方程的整數(shù)解分析：這是一道求不定方程的整數(shù)解問(wèn)題,有 x x 與y y, ,故可考慮借助因式分解求解解：直接求解有困難,因等式兩邊都

14、含4 4、中考點(diǎn)撥例 1 1.分解因式:解：文案大全說(shuō)明：拆添項(xiàng)法也是分解因式的一種常見(jiàn)方法,請(qǐng)同學(xué)們?cè)嚥鹨淮雾?xiàng)和常數(shù)項(xiàng),看看是否可解？【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.1.填空題:(1)(1)解:說(shuō)明：首先要充分利用條件中的 1(1(任何數(shù)乘以 1,1,其值不變),其次利用分解因式將式子變形成含有 ac+bdac+bd 因式乘積的形式,由ac+bd=0ac+bd=0 可算出結(jié)果.(2)(2)解:例 3.3.分解因式：分析：此題無(wú)法用常規(guī)思路分解,需拆添項(xiàng).觀察多項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)當(dāng) x=1x=1 時(shí),它的值為 0,0,這就意味著的一個(gè)因式,因此變形的目的是湊這個(gè)因式.(3)(3)解:解一(拆項(xiàng))：文案大全解：ab+cd

15、=ab+cd=實(shí)用文案解二(添項(xiàng))：說(shuō)明：觀察此題,直接分解比擬困難,不妨先去括號(hào),再分組,把 2mn2mn 和 2mn2mn, ,配成完全平方和平方差公式.4mn4mn 分成例 2.2.:,求 ab+cdab+cd 的值.實(shí)用文案2.2.：解：二(a2-abb2)(abc)5.5.證實(shí):說(shuō)明：因式分解是一種重要的恒等變形,在代數(shù)式求值中有很大作用.3 3. .分解因式：a5+a+1證實(shí)：解：4 4. .：試求 A A 的表達(dá)式解：文案大全因式分解十字相乘法【知識(shí)精讀】對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是 1 1 的二次三項(xiàng)式的十字相乘法,重點(diǎn)是運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解.掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的兩個(gè)數(shù),即把常

16、數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積,且其和等于一次項(xiàng)系數(shù).對(duì)于二次三項(xiàng)a a、b b、c c 都是整數(shù),且來(lái)說(shuō),如果存在四個(gè)整數(shù)滿足,并且,那么二次三項(xiàng)式即可以分解為.這里要確定四個(gè)常數(shù),分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是 1 1 的類型復(fù)雜,因此一般要借助畫十字交叉線的方法來(lái)確定.下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解.【分類解析】1 1 . .在方程、不等式中的應(yīng)用例 1.1.：,求 x x 的取值范圍.分析：此題為二次不等式,可以應(yīng)用因式分解化二次為一次,即可求解.解：例 2.2.如果能分解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)的二次因式的積,試求 m m 的值,并把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.分析：應(yīng)當(dāng)把分成,而對(duì)于常數(shù)項(xiàng)-2,-2,可能

17、分解成,或者分解成,由此分為兩種情況進(jìn)行討論.解：1 1設(shè)原式分解為,其中 a a、b b 為整數(shù),去括號(hào),得：將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行比照,得：解得：此時(shí),原式2 2設(shè)原式分解為,其中 c c、d d 為整數(shù),去括號(hào),得：將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行比照,得：解得：此時(shí),原式實(shí)用文案文案大全2 2. .在幾何學(xué)中的應(yīng)用例.：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為 x x、y,y,周長(zhǎng)為 16cm,16cm,且滿足,求長(zhǎng)方形的面積.分析：要求長(zhǎng)方形的面積,需借助題目中的條件求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬.解：解得：或,長(zhǎng)方形的面積為 15cm15cm2或3 3、在代數(shù)證實(shí)題中的應(yīng)用例.證實(shí)：假設(shè)是 7 7 的倍數(shù),其中 x,yx,

18、y 都是整數(shù),那么是4949 的倍數(shù).分析：要證實(shí)原式是 4949 的倍數(shù),必將原式分解成 4949 與一個(gè)整數(shù)的乘積的形式.證實(shí)一：是 7 7 的倍數(shù),7y7y 也是 7 7 的倍數(shù)y y 是整數(shù)而 2 2 與 7 7 互質(zhì),因此,是 7 7 的倍數(shù),所以倍數(shù).證實(shí)二：是 7 7 的倍數(shù),設(shè)m m 是整數(shù)那么又.x,m.x,m 是整數(shù),也是整數(shù)所以,是 4949 的倍數(shù).4 4、中考點(diǎn)撥例 1 1.把4x4y25x2y29y2分解因式的結(jié)果是.解：4x4y2一5x2y2-9y2說(shuō)明：多項(xiàng)式有公因式,提取后又符合十字相乘法和公式法,繼續(xù)分解徹底.例 2.:2.:因式分解：解：實(shí)用文案說(shuō)明：分解系數(shù)時(shí)一定要注意符號(hào),否那么由于不慎將造成錯(cuò)誤.4949 的文案大全是 7 7 的倍數(shù)5 5、題型展示例 1.1.假設(shè)能分解為兩個(gè)一次因式的積,那么 m m 的值為(A.A.1 1B.-1C.D.B.-1C.D.2 2解：例