李正元高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化講義

1、第一講 極限、無(wú)窮小與連續(xù)性一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：掌握求極限的各種方法.掌握無(wú)窮小階的比較及確定無(wú)窮小階的方法.判斷函數(shù)是否連續(xù)及確定間斷點(diǎn)的類型(本質(zhì)上是求極限)復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)及函數(shù)記號(hào)的運(yùn)算.§ 1極限的重要性質(zhì)1 .不等式性質(zhì)設(shè)lim xnA,lim ynB ,且A>B,則存在自然數(shù) N,使得當(dāng)n>N時(shí)有xn>yn.nn設(shè)limXnA,lim ynB ,且存在自然數(shù) N,當(dāng)n>N時(shí)有xnyn,則A>B.nn作為上述性質(zhì)的推論，有如下的保號(hào)性質(zhì)：設(shè)lim XnA,且A>0,則存在自然數(shù) N,使n得當(dāng)n>N時(shí)有Xn&

2、gt;0,設(shè)lim xn nA,且存在自然數(shù)N,當(dāng)n> N時(shí)有Xn>0,則 A>0.對(duì)各種函數(shù)極限有類似的性質(zhì).例如：設(shè) lim f (x)X XoA, lim g(x)X X0B ,且A> B,則存在S >0,使得當(dāng)0 < X X0 < S有f(X)>g (x).設(shè) lim f (x)X X0A, lim g(x)X x0B ,且存在8 > 0,使得0< I X- X0 I V 8 時(shí) f(X)2.有界或局部有界性性質(zhì)>g (x),則 A>B.設(shè)lim 4 A,則數(shù)列nXn有界，即存在M > 0,使得 I xn |

3、 < M (n = 1, 2, 3,)設(shè)lim f(x) A,則函數(shù) x xf (x)在x = X0的某空心鄰域中有界，即存在0和M>0,使得0< I X- X0 I V 8 時(shí)有 I f(x) | < M,對(duì)其他類型的函數(shù)極限也有類似的結(jié)論.§2求極限的方法更多考研公共課資料,關(guān)注微信公眾號(hào)：kaoyanyun1.極限的四則運(yùn)算法則及其推廣設(shè) lim f (x)A, lim g(x) B,則X X0X X0只要設(shè)lim f(x),lim g(x)存在或是無(wú)窮大量，上面的四則運(yùn)算法則可以推廣到除“X X0XX0“ _”，“0 .8”8 8”四種未定式以外的各種

4、情形.即：1。設(shè)lim f (x)x x0,lim g(x) B , x x0則 lim f (x) g(x). lim -f-(x)-( g (x) 0 )又xx。x x° g(x)Bwo,則 lim f (x)g(x)x x0lim f(x) ，當(dāng)x一小時(shí)g(x)局部有界，(即 0,M x x00 ,使得 0 |x x0時(shí) g(x) M ),則 lim f (x) g(x)x x0設(shè) lim f (x)x %x0時(shí)I g(x) I局部有正下界,(即 8 > 0, b>0 使得 0V | x xo |vs時(shí) I g (x) |>b>0),則 lim f (x

5、)g(x) x x0lim f (x), lim g(x) ,則 lim f (x)g(x),又x x0x x°x x0xo | <f (x) g (x) > 0,則 xim f(x) g(x)x.lim f (x) 0, xx0 時(shí)x x0g (x)局部有界，則叫 f(x)g(x)0 (無(wú)窮小量與有界變量之積為無(wú)窮小.)2 .哥指函數(shù)的極限及其推廣設(shè) lim f (x) A>0,lim g(x)x x0B則 lim f(x)g(x)x xAB.，“0°” 及 “8 0”lim g(x) ln f (x)是“0 型未定 x x0設(shè)limx xf (x) =

6、 0 (0vIx-x°I v8時(shí)f(x)>0),lim g(x) Bx x00,則設(shè)limx xf (x) = A>0,Aw1, lim g(x) = + oo) 則 x %lim f(x)g(x)x x0(0<A 1)(A 1)3 設(shè) limX xf (x) = +lim g(x) B 0,則 limx x0x x0f (x嚴(yán))(B<0)(B>0)只要設(shè)lim f(x),lim g(x)存在或是無(wú)窮大量，上面的結(jié)果可以推廣到除“ x x0x x0三種未定式以外的各種情形.這是因?yàn)閮H在這三個(gè)情況下【例1】A,又 lim g(x) 0,則 lim f(x)

7、【分析】lim f (x)= lim ( x X0x X0f(x)g(x)g(x)A 0 0.0,lim bn 1, lim Cn，則必有nn【例2】設(shè) an, bn, cn均為非負(fù)數(shù)列，且lim an n(A) an< bn對(duì)任意n成立.(C)極限lim anCn不存在. n(B) bnVCn對(duì)任意n成立.(D) lim bnCn 不存在. n用相消法求0或一型極限0.1 tan x.1 sinxx(1 cosx)【解】作恒等變形，分子、分母同乘J1 tanx v1 sin x得111 .2 24x2 x 1 x 1例2】求I lim ,x2 x sin x【解】作恒等變形，分子、分母

8、同除v x2x(x<0)得【例2】利用洛必達(dá)法則求極限【例71設(shè)0, W0為常數(shù)且I【分析】8 8型極限.1因此(，)=(2,).2lim (x2a xa)ax2，則(，xlim x2n 1 與 lim x2n 的情形 nn【例1】設(shè)f (x)211ex-4exsinx，求 lim f (x) .| x | x 0分別求左、右極限的情形，分別求(1)n【例2】求I limn利用函數(shù)極限求數(shù)列極限【例1】nim pn(a>1)-a1 n2【例2】求I lim (n tan -) nn12,1 、n (ntan 1)1 ntan1 1 n【解 1】I lim 1 (n tan 1) n

9、 n二上八,21轉(zhuǎn)化為求lim n (ntan 1)limntan1 n1ximtan x ,1x2xlimx 0tan x x3x【解2】用求指數(shù)型極限的一般方法. 轉(zhuǎn)化為求tanx ,1(等價(jià)無(wú)窮小因子替換),余下同前.x2x§ 3無(wú)窮小和它的階更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號(hào)：kaoyanyun1 .無(wú)窮小、極限、無(wú)窮大及其聯(lián)系(1)無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義(2)極限與無(wú)窮小，無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系其中 lim (x) 0 (f(x) A o(1), xx0).x xo （1）表示無(wú)窮小量.在同一個(gè)極PM過(guò)程中，u是無(wú)窮小量（uw0） 1是無(wú)窮大量.反之若u是無(wú)窮大量，則1是無(wú)窮小

10、量.2 .無(wú)窮小階的概念(1)定義同一極限過(guò)程中，（x）,0為有限數(shù)，稱1時(shí)，稱 （x）與（x）為無(wú)窮小，（x）與（x）為同階無(wú)窮?。▁）為等價(jià)無(wú)窮小，記為lim (x) (x)（x）（x）（極限過(guò)程）0時(shí),（x）是比（x）高階的無(wú)窮小，記為(x) o( (x)（極限過(guò)程）定義設(shè)在同一極限過(guò)程中（x）均為無(wú)窮小，（x）為基本無(wú)窮小，若存在正數(shù)與常數(shù)l使彳導(dǎo)lim Y) l 0 k(x)稱（x）是（x）的k階無(wú)窮小，特別有l(wèi)imx x0(x)(x x°)k稱 x一x0 時(shí)（x）是（x x0）的k階無(wú)窮小.(2)重要的等價(jià)無(wú)窮小x一0 時(shí) sinx x, tanx x, In (1 +

11、x)ex 1 x;ax 1 xlna, arcsinx x,arctanx x; (1 + x) a1 ax, 1 cosx （3）等價(jià)無(wú)窮小的重要性質(zhì) 在同一個(gè)極限過(guò)程中型極限過(guò)程中等價(jià)無(wú)窮小因子可以替換2 cosx,1【例1】求 I limx 0x3【例2】ln1 設(shè) lim x 0f(x) sin2x3x 15,則limf(x)2x由已知條件及典（3、1)lxm01n(1f (x)0sin 2xf (x)”lim0 .又在x 0 sin 2xx = 0某空心鄰域f (x) w0 ln(1f(x)sin 2x)f(x) f(x)sin 2x 2x(x 0),又3x 1 xln 3.于Mf

12、im x 0 xln3 x 0 2x2 in 3f (x)5 lim V 101n 3.x 0 x2【例3】 設(shè)x 一 a時(shí)(x), (x)分別是x a的n階與m階無(wú)窮小，又lim h(x) A 0 , x a則x a時(shí)(1) (x) h (x)是x a的 階無(wú)窮小.(2) (x)(x)是x a的 階無(wú)窮小.(3) nvm時(shí)，(x) ± (x)是x a的 階無(wú)窮小.(4) n> m時(shí) (x)是x - a的階無(wú)窮小.(x)(5) k是正整數(shù)時(shí)， k是x a的 階無(wú)窮小.以上結(jié)論容易按定義證明。例如，已知lim f(x) A 0 ,x a(x a)nlimx ag(x)m(x a)

13、lim f(x)g(x) limg(x)n mnmx a(x a) x a(x a) (x a)A B 0f (x) g (*)是* a的n + m階無(wú)窮小.【例4】設(shè)f (x)連續(xù)，*一2時(shí)£(*)是* a的n階無(wú)窮小，求證:f (t)dt 是 x a的n + 1階無(wú)窮小.【例5】x-0時(shí)，x (x J 是x的 階無(wú)窮??；Vx2 疚是x的階無(wú)窮1 x, sin3 x .小；是x的ln(1 x)x 0階無(wú)窮小，sin t dt是x的0階無(wú)窮小.【例6】x 一 0時(shí)，下列無(wú)窮小中(A) x2(B) 1 cosx【例7】當(dāng)x - 0時(shí)，f(x)比其他三個(gè)的階高，(C) V1 x2 1(D

14、) x tanx4 .，、一一 、，x比較是()的無(wú)窮小.sin x 23sin t dt 與 g(x) x(A)等價(jià)(C)高階更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號(hào):(B)同階非等價(jià)(D)低階kaoyanyun (或者搜索中文：好給力)§4連續(xù)性及其判斷(6) 續(xù)性概念(1)連續(xù)的定義:函數(shù) f(x)滿足 lim f (x) f(x0),則稱 f(x)在點(diǎn) x = xo 處連續(xù)；f(x)滿足 lim f (x) f(x0)x xox x0(或lim f (x) f (x0),則稱f (x)在x = xo處右(或左)連續(xù). x xo若f (x)在(a, b)內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱 f (x)

15、在(a, b)內(nèi)連續(xù)；若f (x)在(a, b)內(nèi) 連續(xù)，且在x = a處右連續(xù)，在點(diǎn)x = b處左連續(xù)，則稱f (x)在a, b上連續(xù).(2)單雙側(cè)連續(xù)性f (x)在x = xo處連續(xù)f (x)在x = xo處既左連續(xù)，又右連續(xù).(3)間斷點(diǎn)的分類：設(shè)f (x)在點(diǎn)x = xo的某一空心鄰域內(nèi)有定義，且xo是f (x)的間斷點(diǎn).若f (x)在點(diǎn)x = xo處的左、右極限f (xoo)與f (xo + o)存在并相等，但不等于函數(shù)值 f (xo)或f (x)在xo無(wú)定義，則稱點(diǎn)xo是可去間斷點(diǎn)；若f (x)在點(diǎn)x = xo處的左、右極限f (xo o)與f (xo + o)存在但不等，則稱點(diǎn)

16、xo是跳躍間斷點(diǎn)：它們統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).若f (x)在點(diǎn)x = xo處的左、右極限f (xoo)與f (xo + o)至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn)xo為第二類間斷點(diǎn).(7) 數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型的判斷：若f(x)為初等函數(shù)，則f(x)在其定義域區(qū)間D上連續(xù)，即當(dāng)開區(qū)間(a,b)D,則f(x)在(a, b)內(nèi)連續(xù)；當(dāng)閉區(qū)間c, d D,則f (x)在c, d上連續(xù).若f (x)是非初等函 數(shù)或不清楚它是否為初等函數(shù)，則用連續(xù)的定義和連續(xù)性運(yùn)算法則(四則運(yùn)算，反函數(shù)運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算)來(lái)判斷.當(dāng)f (x)為分段函數(shù)時(shí)，在其分界點(diǎn)處則需按定義或分別判斷左、右連續(xù)性.判斷f (x)的間斷點(diǎn)的類型，就是求極限

17、 lim f (x) . x xo o(8) 界閉區(qū)間a, b上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大值和最小值定理：設(shè)f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則存在E和刀a, b,使得f (E) w f (x) w f (刀)，(a<x< b)有界性定理：設(shè)f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則存在 M>o,使得I f (x) | < M , ( a<x< b)介值定理：設(shè)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，且f (a) w f (b),則對(duì)f (a)與f (b)之 間的任意一個(gè)數(shù) c,在(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)七,使得 f ( 9 = c推論1 (零值定理)：設(shè)f (x)在

18、閉區(qū)間a, b上連續(xù)，且f (a) f (b) <o,則在(a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)E,使得f ( 9 =o推論2：設(shè)f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，且 m和M分別是f (x)在a, b上最小值和最大 值，若mvM,則f (x)在a, b上的值域?yàn)閙, M.-1, 0定義域，g(x)在1, 0有域（XW1, x不2）上連續(xù)，有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界, 界，選（ A ） 【分析二】設(shè)h（x）定義在（a, b）上，若Xlimoh（x）或 xlimb 0 h(x),則 h(x)在(a,b) 無(wú)界 因 lim f (x)， lim f (x)f (x)在(0, 1), (1, 2), (2,

19、 3)均無(wú)界.選(A).例 2】設(shè) f (x)2x1xx < 1， g(x)x >1x,x 0 22(x 1)2<x<5x 35Vx討論 y = f （ g（ x） ）的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)并指出類型分析與解法1】先求 f（ g （ x） ）的表達(dá)式2x2(x < 1)f(g(x)x2(x (x1)3)(1< x< 2)(2< x< 5)(5< x)在(一8, 1), (1, 2), (2, 5), (5,+ °°） , f （g（x）分別與初等函數(shù)相同，故連續(xù).2 或 5 時(shí)可添加等號(hào)，左、右連接起來(lái)，即左連續(xù)又右

20、連續(xù) 時(shí)f(u)2u1uf ( g(x ) )在 x = 2 或 5 連續(xù) x = 1x = 1是f （g （x）的第一類間斷點(diǎn)（跳躍間斷點(diǎn)）【 分析與解法2】 不必求出 f （ g（ x） ）的表達(dá)式g（x）的表達(dá)式中，x = 2或5處可添加等號(hào)，左、右連接起來(lái)g（x）在（8,+OO）處處連續(xù)U < 1,u , UW1時(shí)連續(xù).u>1u = g （ x） = 1 x = 1因此，xw 1時(shí)由連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的f （g （x）連續(xù).x = 1時(shí)x = 1是f （g （x）的第一類間斷點(diǎn).第二講 一元函數(shù)微分學(xué)的概念、計(jì)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號(hào)： kaoy

21、anyun一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)與微分的定義、幾何意義，討論函數(shù)的可導(dǎo)性及導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，特別是分段函數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系按定義或微分法則求各種類型函數(shù)的一、 二階導(dǎo)數(shù)或微分 （包括： 初等函數(shù)， 冪指數(shù)函數(shù)，反函數(shù)，隱函數(shù)，變限積分函數(shù)，參數(shù)式，分段函數(shù)及帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)） ，求 n 階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式.求平面曲線的切線與法線，描述某些物理量的變化率.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用如“彈性”，“邊際”等(只對(duì)數(shù)三，數(shù)四).§ 1 一元函數(shù)微分學(xué)中的基本概念及其聯(lián)系1 .可導(dǎo)與可微的定義及其聯(lián)系2 .幾何意義與力學(xué)意義f(Xo)是曲線y = f (x)在點(diǎn)(xo, f

22、(xo)處切線的斜率.df (x) x & f (x0) x是相應(yīng)于x該切線上縱坐標(biāo)的增 量.質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為 x = x(t), x (t0 )是t = to時(shí)刻的速度.3 .單側(cè)導(dǎo)數(shù)與雙側(cè)導(dǎo)數(shù)''f (x)在x = xo可導(dǎo)f xo), f (xo)均存在且相等.此時(shí) f (xo)f (xo) f (xo)【例1】 說(shuō)明下列事實(shí)的幾何意義(1) f(xo)g(x0),f (xo) g (xo).(2 ) f(x) , g(x)在 x=xo處有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，f (xo)g(x°),f(xo)g(xo),f (xo)g (xo) o.一

23、9;一'_'一'(4)y = f(x)在x = xo處連續(xù)且limx xf(x) f(xo)xxo【例2】f (x)g(x) h(x)xox< x>o為某常數(shù).設(shè) g(xo) h(xo),g (xo), h (xo)均存在且g (xo) h(xo).xoxo求證：f (xo)存在且f (xo)(xo)h (xo).(3) f(x)在x = xo處存在f (xo),f (xo),但 f (xo)f (xo).【例3】請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)設(shè)y = f (x)在x = xo可導(dǎo)，相應(yīng)于 x有y = f (xo+ x) f (xo), dy f (xo) xx0時(shí)

24、它們均是無(wú)窮小.試比較下列無(wú)窮?。簓是 x的 無(wú)窮??； ydy是 x的 無(wú)窮小；f(Xo) 0時(shí)y與dy是 無(wú)窮小.(2) du與u是否相等？【例4】設(shè)f (x)連續(xù)，i3t討論f (Xo)的存在性與| f (X) | x X0的存在性之間的關(guān)系.(1)考察下列兩個(gè)函數(shù)圖形，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)分析f (xo)存在與| f(x)| xx0存在之間的關(guān)系.(2) f (xo)豐 0 時(shí)，求證：f (xo)存在 | f (x) | x x0 存在.【證明】 因f (xo)豐0,由連續(xù)性，>0,使得當(dāng)| x-xo | <時(shí)有f (x) > 0或f (x)V0,于是在xo該鄰域內(nèi)必有I

25、 f (x) I = f(x)或I f (x) I = f(x)之一成立，故在點(diǎn) x = xo處 兩個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性是等價(jià)的.(3) f (xo) = 0 時(shí)，求證：f (%) 0| f (x) | x x0 存在.【證明】 設(shè)f(xo)= 0.十十 |f(xo x)| |f(x0)|f(x°x)| |f(xo)|1f (x) 1 x xo 存在lim 1mo x oxx ox綜合可得，題目中結(jié)論(2)和(3)成立.也可以概括為：點(diǎn)x = xo是可導(dǎo)函數(shù)f (x)的絕對(duì)值函數(shù)| f (x) |的不可導(dǎo)點(diǎn)的充分必要條件是它使得f (xo) = 0但f (x0) 0 .【評(píng)注】論證中用到顯

26、然的事實(shí)：limf(x) 0 lim|f(x)| 0 .x ax a【例5】設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f (0) 0 ,則存在>0,使得(A) f (x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加.(B) f (x)在(,0)內(nèi)單調(diào)減少.(C)對(duì)任意的 x (0,)有 f(x) >f (0). (D)對(duì)任意的 x ( , 0)有 f(x) >f (0).§2 一元函數(shù)求導(dǎo)法反函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)f (x)在區(qū)間Ix可導(dǎo)，f (x) 0,值域區(qū)間為Iy,則它的反函數(shù) x = (y)在Iy可導(dǎo)且一 一 一,一 _ x . . d2x【例】 設(shè)y =y (x)滿足y2ex,求它的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)一xdy

27、1 x d2x e 22 dy2ddxx dx 1 2xedy 4變限積分求導(dǎo)法:設(shè)函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù)，則F(x)f(t)dt在a, b上可導(dǎo)，且F(x) f(x),(awxw b)設(shè)f (x)在c, d上連續(xù)，當(dāng)x a, b時(shí)函數(shù)u (x), v (x)可導(dǎo)，且u(x)和v(x)的值域不u(x)超出c, d,則 F(x) v(x)f (t)dt在a, b上可導(dǎo)，且F (x)f (u(x)u (x)f (v(x)u (x), (a<x< b)【例1】 設(shè)f (x)在(8,+ oo)連續(xù)且x 1(x) o sn f (xn sn)ds ,求(x).【例2】設(shè)f (x)在(8

28、, +OO)連續(xù)，又(x)1 x 2一-0 (x t) f (t)dt ,求(x),(x).【例3】設(shè)(x)x y2 sint20(0斤出必，求(x).t t【例4】設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t) 1 dy y f(x)dx,則F (2)等于(A) 2f (2).(B) f .(C) f (2).(D) 0.【分析一】先用分部積分法將 F (t)化為定積分.F (t) (t 1)f(t), F (2)f(2),選(B).【分析二】轉(zhuǎn)化為可以用變限積分求導(dǎo)公式的情形. 1tF (t) t f(x)dx 1 f(x)dx (t 1)f(t) (t 1)f(t)F (2) f (2) .選(B).

29、【分析三】交換積分順序化為定積分.【分析四】特殊選取法.取f (x) = 1 (滿足條件)t tF(t) 1dyyf(x)dxt1dyt t12y1dx 1 (t y)dy - (t y)12(t 1)2F (t) t 1, F (2) 1f (2).選(B).隱函數(shù)求導(dǎo)法:【例1】y = y(x)由sin(x2 y2) ex xy2 0所確定，則 色 dx_ . . _, dy d y【例2】y = y (x)由下列方程確te,求 ，2" dx dx2(1) x + arctany = y;，廠,1【解】對(duì)x求導(dǎo) 1ryy ,馬 2(1 y2)3 y5yy1 y一，1 一，一解出y

30、 4導(dǎo)y1 .再對(duì)x求導(dǎo)得yy(2) xef(y) ey ,其中 f (x)存在，f (x) 1 .【解】對(duì)x求導(dǎo)得利用方程化簡(jiǎn)得再將y的方程對(duì)x求導(dǎo)得解出y ,并代入y表達(dá)式y(tǒng)2f (y) (1 f (y)2x2(1 f (y)3若先取對(duì)數(shù)得lnx + f (y) =y然后再求導(dǎo)，可簡(jiǎn)化計(jì)算.d2y，一【列3】設(shè)y = y (x)由方程y-xey = 1確te,求一2的值.dx x o【解】原方程中令x = 0 y (0) =1.將方程對(duì)x求導(dǎo)得 y ey xeyy 0令x 0 y (0) e,將上述方程兩邊再對(duì) x求導(dǎo)得分段函數(shù)求導(dǎo)法：【列1】設(shè)f(x) = x2|x|,則使f(x)處處存

31、在的最高階數(shù)n為【例2】設(shè)f (x)1 ln(1x 0, 1 xx3)sin-, xx2o Sintdt，(A)不連續(xù) (B)連續(xù)，但不可導(dǎo)x> 00,則f(x)在xx<0(C)可導(dǎo)但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)(D)可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)【分析】先按定義討論f (x)在x = 0的可導(dǎo)性問(wèn)題.f (0) f (0) 0 f (0) 0.進(jìn)一步考察f (x)在x = 0的連續(xù)性.當(dāng)x>0時(shí)，由此可知，lim f (x)不 f (x)在x = 0不連續(xù).因此，選(C).x 0【例3】求常數(shù)a,b使函數(shù)f(x)ax b,x> 3處處可導(dǎo)，并求出導(dǎo)數(shù).x<3【分析與求解】對(duì)常數(shù)b, xw3

32、時(shí) f (x)均可導(dǎo).現(xiàn)要確定 a, b使f (3)存在.f (x)在x =3必須連續(xù)且(3),由這兩個(gè)條件求出a與b.xlirm0f(x)9,xlirm0f(x)f (x)在x = 3連續(xù),a, b滿足(3 + 0)=f (3-0)=f (3)即3a + b =9在此條件下,f(x)x> 3ax b x 3f (x)2x(x 3), f (x) a (x3) f2x6, ff (3) f f 即a = 6代入3a + b = 9因此，僅當(dāng)a = 6, b =9時(shí)f(x)處處可導(dǎo)且 f(x)2x(x>3) (x<3)【評(píng)注】求解此類問(wèn)題常犯以下錯(cuò)誤10沒(méi)說(shuō)明對(duì) 常數(shù)a, b,

33、 xw3時(shí)f (x)均可導(dǎo).2先由x = 3處可導(dǎo)求出a值，再由連續(xù)性求出 b值.請(qǐng)看以下錯(cuò)誤表達(dá):“因 f (3) 2x6, f (3) (ax b)由f (3) f 得a = 6.再由連續(xù)性f (3 + 0) = f (3-0)即 9 = 3a + b, b= 9”錯(cuò)誤在于當(dāng)3a + bw9時(shí)f (3)不存在，也不可能有f (3) (ax b) .x 3=f (3)f (3 + 0) = f (3-0)不能保證 f (x)在 x = 3 連續(xù).僅當(dāng) f (3 + 0) = f (3-0) 時(shí)才能保證x = 3連續(xù).必須先由連續(xù)性定出3a + b = 9,在此條件下就可得f (3) a高階導(dǎo)

34、數(shù)與n階導(dǎo)數(shù)的求法常見(jiàn)的五個(gè)函數(shù)的 n階導(dǎo)數(shù)公式:§ 3 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)(微分)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號(hào)： kaoyanyun【例1】 設(shè)f(x) xn,在點(diǎn)1,1處的切線與x軸的交點(diǎn)為 n,0，則 醇f( n)【例2】若周期為4的函數(shù)f (x)可導(dǎo)且則曲線y = f (x)在點(diǎn)(5, f (5)處的切線斜率k =.(0, 1)Mo處F【例3】設(shè)y = f (x)由方程e2x+y cos (xy) = e- 1所確定，則曲線 y = f (x)在點(diǎn) 處的法線方程為.【例4】已知曲線F的極坐標(biāo)方程為p = 2sin 8 ,點(diǎn)M0的極坐標(biāo)為(1, ,則點(diǎn)的切線的直角

35、坐標(biāo)方程為 .【分析一】(數(shù)學(xué)一，二)點(diǎn) Mo在F上，直角坐標(biāo)為：后一1x0cos 一, yo sin 一儲(chǔ))2嗎)266sin 21 cos2x 2sin cosr的參數(shù)方程為y 2sin sinF在M0點(diǎn)處的切線的斜率:dy 2 sin 2dx 2 cos 26Tt6花tan 3r在Mo處的切線方程1 一 i 3、y v3(x ),即 y J3x 1 .22【分析二】的方程可化為于是r的隱式方程為x2 + y2 = 2y.由隱函數(shù)求導(dǎo)法，得2x 2yy 2y, y(x。，y0)(,)代入得y ()v13 ,于是切線方程為2 22y 1 6(x )BP y V3x 1 . 22第三講一元函數(shù)

36、積分學(xué)F (x)是f (x)在該區(qū)間上的一個(gè) f(x)dx.F(x) C 其中C是任意常數(shù).max為,若對(duì)任何 1 i n更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號(hào)：kaoyanyun一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：不定積分、原函數(shù)及定積分概念，特別是定積分的主要性質(zhì).兩個(gè)基本公式：牛頓萊布尼茲公式，變限積分及其導(dǎo)數(shù)公式.熟記基本積分表，掌握分項(xiàng)積分法、分段積分法、換元積分法和分部積分法計(jì)算各類積分.反常積分?jǐn)可⑿愿拍钆c計(jì)算.定積分的應(yīng)用.§ 1一元函數(shù)積分學(xué)的基本概念與基本定理1 .原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì):(1)定義.若F (x)的導(dǎo)函數(shù)F (x) f(x)在某區(qū)間上成立

37、，則稱 原函數(shù)：f (x)的全體原函數(shù)稱為f (x)的不定積分，記為(2)原函數(shù)與不定積分的關(guān)系.若已知F (x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù),則 f (x)dx (3)求不定積分與求導(dǎo)是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，即其中C也是任意常數(shù).(4)不定積分的基本性質(zhì)：2 .定積分的概念與性質(zhì)：(1)定義.設(shè) ax0<x1<x2<<xnb,令 xi xixi 1,i xi 1,xi有 limf ( i) xi 存在，則稱 f (x)0 i i在a, b上可積，并稱此極限值為 f (x)在a, b上的定積分，記為x換為t或u等其他字母時(shí)，有f (x)dx .定積分的值與積分變量的名稱無(wú)關(guān)，即

38、把積分變量ab另外，約定f(x)dx 0, f(x)dxaa(2)可積性條件.可積的必要條件：若 f (x)在a, b上可積，則f (x)在a, b上有界.可積函數(shù)類(可積的充分但非必要的條件)：1° f (x)在a, b上連續(xù)，則f (x)在a, b上可積；2° f (x)在a, b上有界且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則 f (x)在a, b上可積.(3)定積分的幾何意義：b設(shè)f (x)在a, b上連續(xù)，則f(x)dx表示界于x軸、曲線y = f (x)以及直線x = a, x =ba之間的平面圖形面積的代數(shù)和，其中在x軸上方部分取正號(hào)，在 x軸下方部分取負(fù)號(hào).b特另L若f (x)

39、在a, b上連續(xù)且非負(fù)，則 f(x)dx表示x軸，曲線y=f (x)以及直線x = aa, x = b圍成的曲邊梯形的面積.(4)定積分有以下性質(zhì)：1°線性性質(zhì)：若f (x), g (x)在a, b上可積，且A、B為兩個(gè)常數(shù)，則 Af (x) + Bg (x)也在a, b上可積，且Af(x) abbBg(x)dx A f(x)dx B g(x)dx.aa2對(duì)積分區(qū)間的可加性：若 f (x)在由a、b、c三數(shù)構(gòu)成的最大區(qū)間上可積，則3°改變有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值不改變可積性與積分值.4°比較性質(zhì)：若f (x), g (x)在a, b上可積，且f (x) < g (

40、x)在a, b上成立，則進(jìn)一步又有：若f (x), g (x)在a, b上連續(xù)，且f (x) w g (x), f (x) /g (x)在a,bbb上成立，則 f (x)dx< g(x)dx.aa若f (x)在a, b可積，則I f (x) |在a, b可積且ba f(x)dx| f (x) |dxabf (x)dx f ( )(b a) a50積分中值定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，則存在E C (a,b),使得3 .變限積分，原函數(shù)存在定理，牛頓萊布尼茲公式:f (t )dt 在a, b(1)變限積分的連續(xù)性：若函數(shù) f (x)在a, b上可積，則函數(shù) (x)上連續(xù).(2)變限積分的

41、可導(dǎo)性，原函數(shù)存在定理：若函數(shù)f (x)在a, b上連續(xù)，則函數(shù)x(x) f(t)dt就是f (x)在a, b上的一個(gè)原函數(shù)，即 (x) f(x), x a, b. a(3)不定積分與變限積分的關(guān)系.由原函數(shù)存在定理可得.若 x則不定積分f (x)dx f(t)dt C ,其中X0 a, b為一個(gè)定值，C為任意常數(shù).x0(4)牛頓萊布尼茲公式：設(shè) f(x)在a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在a,b上的任一原函f (x)在a, b上連續(xù),數(shù)，則 bf(x)dxaF(x)b F(b) F(a) .這個(gè)公式又稱微積分基本公式. a推廣形式：設(shè)函數(shù)f (x)在a, b上連續(xù)，F(xiàn) (x)是f (x)在(

42、a, b)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，又- bb 0極限 F (a + 0)和 F (b0)存在，貝Uf (x)dx F(x) F(b 0) F(a 0).aa 0(5)初等函數(shù)的原函數(shù)4.周期函數(shù)與奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：(1)周期函數(shù)的積分性質(zhì)：a TT設(shè)f (x)在(巴 + oo)連續(xù)，以t為周期，則1 ° f (x)dx f (x)dx (a為任意 a0xt實(shí)數(shù)) 20 f (t)dt以T為周期0 f (x)dx 0T3° f (x)dx (即f (x)的全體原函數(shù))為 T周期的 0 f(x)dx 0【證明】10 證?t1daTf(x)dx f(a T) f(a) 0 da aa

43、T0TT a證法 2a f (x)dx a f (x)dx 0 f (x)dx T f(x)dx,其中T a0 V T aaf(x)dx t f(x T)dxs x 1 0 f (s)ds 。 f (x)dxa T代入上式得a f (x)dx0Ta3 f(x)dx 0 f (x)dx 0 f (x)dxf(x)dx。(此種證法不必假定 f (x)連續(xù)，只須假定f (x)在0, T)可積).xx Txx T題 1 T20 f (t)dt以T為周期0 f(t)dt 0 f (t)dt x f(t)dt0 f(t)dtxx3°只須注意f(x)dx ° f(t)dt C,。f(t)

44、dt是f(x)的一個(gè)原函數(shù).例(08,數(shù)三，數(shù)四)設(shè)f (x)是周期為2的連續(xù)函數(shù).t 22(I)證明對(duì)任意的實(shí)數(shù) t,有 f (x)dx f (x)dx ；tot 2t f(s)dsdt是周期為2的周期函數(shù)。【分析與證明】(I)(它是結(jié)論1。的特例，a = 2,見(jiàn)證明1。)(H)由題(I )的結(jié)論，G(x)= o22f (t)dt x o f(s)ds由于對(duì) x,G (x + 2) G (x)x 2o 2f(t)dt(x2x2)o f(s)ds 02f(t)dt20 f (s)dsx 2x 2f(t)dt2f(t)dt = 02f (t)dt 2f (t )dt 0G (x)是周期為2的周期

45、函數(shù).(2)奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：設(shè) f (x)在aa連續(xù)，且為奇函數(shù)或偶函數(shù)aa f (x)dx(f(x)為奇函數(shù))2 ° f (x)dx(f(x)為偶函數(shù))F(x)0 f(x)dt,則F(x)為偶函數(shù)為奇函數(shù)(若f (x)為奇函數(shù))(若f(x)為偶函數(shù))f (x) f (x)為奇函數(shù)，則在為偶函數(shù)，則在a上f (x)的全體原函數(shù)為偶函數(shù).a上f (x)只有惟一的一個(gè)原函數(shù)為奇函數(shù)設(shè)f (x)為奇函數(shù).證法1.考察(x) F(x)a, a(x) 常數(shù)(0) 0x證法 2. F( x) 0 f (t )dt 為偶函數(shù).(此種證法只須假設(shè) fF(x),則(x)F (x) =F (x)x

46、s0 f( t)dtsF (x) F ( x) f(x) f( x) 0(x (x -a, a),即F (x)為偶函數(shù).t x0 f ds F(x), x -a, a),即 F (x)(x)在a, a可積)x30 只須注意 f (x)dx 0 f (t)dtC,并利用2的結(jié)論.【例 1】xf (x)dx arcsin x C,貝1J dxf(x)【例2】fx (e )【分析】【例3】設(shè)【分析】f (x)的導(dǎo)數(shù)是sinx,則f (x)的原函數(shù)是【例4】設(shè)f (x)1連續(xù)，f (x) = x + 2 0f (x)dx ,則 f (x)【分析】【例5】下列命題中有一個(gè)正確的是 . b(A)設(shè) f (

47、x)在a, b可積，f (x) > 0,工 0,則 f (x)dx >0. ab(B)設(shè) f (x)在a, b可積，% 向a, b,則 f(x)dx& f(x)dx. a(C)設(shè)f (x)|在a, b可積,則f (x)在a, b可積.(D)設(shè)f(x)在a,b可積，g(x)在a,b不可積，則f(x) + g(x)在a, b不可積.【分析1】f (x)在a, b可積，g(x)在a, b不可積f(x) + g(x)在a, b不可積.反證法.若 不然，則 f(x) + g(x)在a, b可積，由線性性質(zhì)g (x) = f (x) + g (x) f (x)在a, b可積，得矛盾，選

48、(D).【分析2】舉例說(shuō)明(A), (B), (C)不正確. b由(A)的條件只能得f (x)dx >0.如，xo (a, b)abf (x) > 0,聲 0 (x a, b),但 f (x)dx = 0 . (A)不正確. a關(guān)于(B),請(qǐng)看右圖，由定積分的幾何意義知 bf(x)dxv0, f(x)dx>0, (B)不正確. a b 這里a,國(guó)a, b,但 f (x)dx > f(x)dx. a關(guān)于(C),是f (x)與f (x)|的可積性的關(guān)系.f (x)在a, b可積 W f (x)在a, b可積1, x為有理數(shù)如f (x)4士，f(x) = 1在但，b可積，但f

49、 (x)在a, b不可積，(C)不1, x為無(wú)理數(shù)正確，因此選(D).【例6】判斷積分值的大小： 【分析】【例7】把積分值b f (b) f(a)bbf(a) (a)(x a)dx f(x)dx f(a)dx 按大小排序，其中 ab aaaf (x)在a, b上滿足：f (x) >0, f (x)>0, f (x) <0. 【分析】x 2 sint【例 8】設(shè) F (x) e sintdt 則 F (x) x(A)為正數(shù).(B)為負(fù)數(shù).(C)為0.(D)不為常數(shù).12-(x 1),右00x<1x【例9】設(shè)g (x) = f(u)du,其中f(x)則g(x)在區(qū)間(0,0

50、1-(x 1),若 10x&22)內(nèi)(A)無(wú)界. (B)遞減. (C)不連續(xù).(D)連續(xù).【分析】這是討論變限積分的性質(zhì).已知結(jié)論可以用：若 f (x)在a, b可積，則g(x) xx=f (u)du在a,b連續(xù)，這里f(x)在0,2可積(有界，只有一個(gè)間斷點(diǎn))，則g(x) f (u)dua0在0, 2連續(xù).選(D).5.利用定積分求某些 n項(xiàng)和式的極限1 22 2/ n、2【例 10】limlnn” 一)(1-)(1-) nnnn§2基本積分表與積分計(jì)算法則§3積分計(jì)算技巧2?！纠?1】求 I sin x cosxdx .0b 【例 2】求 I xj(x a)(b x)dx (b>a).a2兀 n【例3】求I sin xdx , n為自然數(shù).0【例4】對(duì)實(shí)數(shù)，求Itan0 九1 tan ( t)2dt2 dx0 1 cot xt tan x dx0 1 tan x?！纠?5】求 I2tlsin x arctanexdx.2?！窘狻縄xt