向量的極化恒等式與等和線的應(yīng)用-學(xué)生版

1、極化恒等式引例：平行四邊形是標(biāo)向量加法和減法的幾可模型。 你能用向量方法證明：平行四邊形的對角線解方和 等于兩條鄰邊平方和的兩倍.證明：不妨設(shè)45 = a,AZ） = B,AC = a+b9DB =a-b,10 2+ 2a-b + b=()一葉叩127B + F(1)(2)2（1）（2）兩式相加得:結(jié)論：平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.思考1：如果將上面（1） （2）兩式相減，能得到什么結(jié)論呢（" 一 "極化恒等式對于上述恒等式，用向量運(yùn)算顯然容易證明。那么基于上面的引例，你覺得極化恒等式 的幾何意義是什么 幾何意義；向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊

2、的平行四邊形的“和對角線”與 “差對角線”平方差的;.即：a-b = -DB2 （平行四邊形模式）思考：在圖1的三角形題中（必為帥的中點），此恒等式如何表示呢因為AC = 2AM,所以“小=（三角形模式）例L （2012年浙江文15）在AABC中，M是BC的中點，AW=3,8C = 10,則福衣=目標(biāo)檢測（2012J匕京文13改編）已知正方形勺邊長為1, 點K是A笈邊上的動點，貝瓦法的值為.例2.（自編）已知正三角形136接于半徑為2的圓O,點P是圓O上的一個動點, 則通.函I勺取值范圍是.目標(biāo)檢測（2010福建文11）若點。和點尸分別為橢圓工+:=1的中心和左焦點，點P 43為橢圓上的任意一

3、點，則成不用J最大值為（）A 283C.6D.8例3. （2013浙江理7）在八43。中，外是邊A8上一定點，滿足庶8 = ；AB,且對于邊A3上任一點p,恒有phpdz凡啟則（ ）A. ZABC = 90 B. ZBAC = 90 C. AB = AC例4.（2017全國2理科12）己知AA8C是邊長為2的等邊三角形，P為平而ABC內(nèi)一點,則西.（而+正）的最小是（）c34,A. -2B. C. D. -123課后檢測1 .在AA8C中，N8AC = 60若48 = 2, 8C = JJ, O在線段4c上運(yùn)動，麗涼的最小值為2 .已知A8是圓。的直徑，A8長為2, C是圓。上異于A 8的一點

4、，尸是圓。所在平面上 任意一點,貝IJ （西+而）正的最小值為3 .在AA3C中，AB = 3, AC = 4, ZBAC = 60 ,若P是AA3C所在平而內(nèi)一點，且 AP = 2,則方無的最大值為24 .若點。和點尸（一2,0）分別是雙曲線二一卡=1（。0）的中心和左焦點，點p為雙曲線 cr右支上任意一點則OP- FP的取值范圍是.5 .在RfAABC, AC = BC = 2,已知點尸是AABC內(nèi)一點，則無.（而十兩的最小 值是.6 .已知A、8是單位圓上的兩點，。為圓心，且NAO8=12（T,AfN是圓。的一條直徑，點。在圓內(nèi)，且滿足沅=月加+ （1麗則說麗的取值范圍是（）A. 151

5、）-1） C. -D,1，°）7 .正AA8C邊長等于6,點P在其外接圓上運(yùn)動，則而麗 的取值范圍是（A.B.3 j_2,2j_ 35'5D.112'28 .在銳角AA3C中，已知8 =。，|aS-AC| = 2,則A與乂3的取值范圍是（2008浙江理9）已知£,渥平面也個互相垂直的單位向量 若向量端足9 .（"二）.（坂二）=6,則口的最大值是（）AA B.2C.41£>.2平面向量基本定理系數(shù)的等和線【適用題型】平而向量基本定理的表達(dá)式中，研究兩系數(shù)的和差及線性表達(dá)式的范圍與最值。【基本定理】（一）平面向量共線定理已知3 = 4

6、赤+ 無，若九+ = 1,則A,民。三點共線；反之亦然（二）等和線平面內(nèi)一組基底刀,礪及任一向量OA, OP = AVA + pOBA,ieR）,若點尸在直線A3上或者在平行于A8的直線上，則4 + "=攵（定值），反之也成立，我們把直線A3以及與直線A8平行的直線稱為等和線。（1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線A8時，k = l；（2）當(dāng)?shù)群途€在。點和直線A8之間時，Ar （0,1）；（3）當(dāng)直線48在點。和等和線之間時，攵w（l,*g）；（4）當(dāng)?shù)群途€過。點時，k=0：（5）若兩等和線關(guān)于。點對稱，則定值互為相反數(shù):【解題步驟及說明】1、確定等值線為1的線：2、平移（旋轉(zhuǎn)或伸縮）該線，結(jié)合動點

7、的可行域，分析何處取得最大值和最小值：3、從長度比或者點的位置兩個角度，計算最大值和最小值：說明：平面向量共線定理的表達(dá)式中的三個向量的起點務(wù)必一致，若不一致，本著 少數(shù)服從多數(shù)的原則，優(yōu)先平移固定的向量：若需要研究的兩系數(shù)的線性關(guān)系，則需要通過變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和?！镜湫屠}】例1、給定兩個長度為1的平而向量。4和。后，它們的夾角為120°,如圖所示，點。在以。為圓心的圓弧A8上變動。若沅=+ y礪，其中則x+y的最大值是OI >跟蹤練習(xí)：已知。為AABC的外心，若cos/A8C = , AO = 4A3 + AC,則幾十的 最大值為例2、在平面直

8、角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點，兩定點滿足礪1=0底礪=2,則點集PI麗=4方+ 礪,1丸1 + 1匕1,人£/?所表示的區(qū)域面積為例3、如圖，在扇形OA5中，4408 = 60°, C為弧A8上不與A8重合的一個動點，OC = xOA + yOB ,若 =x + /ly （九 0）存在最大值，則4的取值范圍為.跟蹤練習(xí)：在正方形A3CO中，E為BC中煎,P為以A8為直徑的半圓弧上任意一點， iAE = xAD + yAP,貝U2x + y 的最小值為.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、在正六邊形A8CQEF中，尸是三角形CQE內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)方=x而+ y就， 則x+y的取值范圍.2、如

9、圖，在平行四邊形A3CQ中，M,N為C。邊的三等份點，S為AM、BN的交點、,P為邊A8上的一動點，。為ASMN內(nèi)一點（含邊界），若而=不而+、麗，則x+y 的取值范惘.d2r1 ?3、設(shè)DE分別是AA8C的邊AB , 3C上的點，AD = -AB > BE = -BC ,若2de=a,ab+a2ac （4,4為實數(shù)），則4+4的值為4、梯形 ABC。中，AD±AB, AD = DC = , A8 = 3, P 為三角形 BCD 內(nèi)一點（包 括邊界），AP = xAB + yAD,則x + y的取值范圍.5、己知 1)1=1/瓦 1=", OAOB = 0,點。在 NAO8 內(nèi)，且 NAOC = 300,設(shè)OC = mOA + nOB,則”的值為.n6、在正方形A8CO中，E為AB中點,P為以A為圓心，A8為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)衣=+ y衣，則x + y的最小值為.7、己知IZ而1=1兩1=1, 而=1兩+，麗（北曠為實數(shù)）。若"MN為以M為直角頂 點的直角三角形，則xy取值的集合為8、平面內(nèi)有三個向量/，礪，反，其中。無歷夾角為120°,?；鸱吹膴A角為30°,且 OAOB=OC=2 ,若 OC = mOA + nOB ,貝ij m + n 的值為9、如圖，A,3,C是圓。上的