第十二章動(dòng)量矩定理

1、第十二章動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)動(dòng)量矩的概念(v M m O (v M m O OQA=2sin r mv =vr m ×=(v m M z zO m (v M =質(zhì)點(diǎn)對(duì)O 點(diǎn)的動(dòng)量矩矢在z 軸上的投影,等于對(duì)z 軸的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)動(dòng)量矩的概念O L =(i i O m v M ×=ii i m v r zO i i z z v m M L L =(×=vr v M L i i i i O O m m (v r ×=i i m v r ×=C m vr m C ×=將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心,作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動(dòng)量矩 =(i i

2、 z z m M L v =i i i v m r =2ii r m z J=繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。mm 400R2221(18/2O O L J m R m l kgm s =+=(1圓盤作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(2圓盤作平面運(yùn)動(dòng)s kgm l mv mR L A a O /202122=+=O A r O a l v s rad =+=,/8(3圓盤作平動(dòng)C O C C L L r mv =+×討論一、質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 F v =(d d m t F r v r ×=×(d d m t F r v r ×=

3、×(d d m t(F M O O t d mv M d=質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩二、質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)動(dòng)量矩的守恒 (0(=F M F M z O 或若t A t d A d t =0lim 2vh =(F M O O td M d =Constv r =×m三、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理11 (e O O dM M F dt =+(e Oi O i dM M F dt =+#(e On O n dM M F dt =+解:取小球與桿構(gòu)成的系統(tǒng) 為研究對(duì)象,由對(duì)z 軸的動(dòng)量矩守恒:L m a az 102=L L z z 12=L m a l z

4、 222=+(sin =+a a l 220(sin 解:取在一個(gè)葉片上的水流質(zhì)點(diǎn)系為研 究對(duì)象,受力分析和運(yùn)動(dòng)分析如圖。由動(dòng)量矩定理有:=(d d z e i z M tL F ABCDabcd z L L L =d abCDABab CDcd abCD L L L L +=ABab CDcd L L =(d d z e i z M tL F 222cos r v t d q L VCDcd =111cos r v t d q L VABab =z VM r v r v t d q =cos cos (111222cos cos (d 111222r v r v t q n M Vz =AB

5、abCDcd z L L L = d 解:取鼓輪與兩重物組成的系統(tǒng)研究對(duì)象,由對(duì)O 軸的動(dòng)量矩定理有:=(e i o o F M dt dL 2211222211(gr m gr m r m r m J dtd o =+g r m r m J r m r m o 2222112211(+= Ox F =e i F dt dp (2211r m r m dt d +0Ox F =121122Oy F W m g m g m r m r =+=+W m m g m r m r J m r m r g o (121122211212212Oy F W m g m g=動(dòng)量矩定理應(yīng)用小結(jié)第十二章動(dòng)量矩

6、定理應(yīng)用動(dòng)量矩定理求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的步驟為:定理一般用來(lái)解決系統(tǒng)已知力求運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題,在運(yùn)動(dòng)已確定的情況下也可用來(lái)求未知力。 第十二章動(dòng)量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程=(d d z e i z M t L F =(d d e i z z M J tF =(ei z z M J F剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積等于作用于剛體的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。=(ei z z M J F 第十二章動(dòng)量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程解:取物體為研究對(duì)象,受力分析和運(yùn) 動(dòng)分析如圖。由動(dòng)量矩定理有:=(ei z z M J F sin mga J O = 0=+O J mga +=t J mga O sin 0m

7、gaJ T O 2=ir i i ir i C C v m r v m L ×=(M ×=ii i O m v r L ×+=ii i C m v r r (×+×=ii i i i C m m v r v r CC C O m v r L L ×+=一、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任意點(diǎn)O 的動(dòng)量矩等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)其質(zhì)心的動(dòng)量矩與集中于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)O 點(diǎn)的動(dòng)量矩的矢量和。iri i ir i C C v m r v m L ×=( M i C i v v v +=i i i C v m r L ×=ii i C

8、 v m r L ×=質(zhì)點(diǎn)系在相對(duì)運(yùn)動(dòng)和絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩是相等的。二、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理(×=+×=e i i C C C O m t t F r L v r L d d d d C C m t v r ×d d ×=e i i C tF r L d d =(d d e i C C tF M L C C m tv r d d ×+t C d d L +×=e i C F r ×+e i i F r 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程×=ir

9、 i i C m v r L =e ix C F tx m 22d d =e iy C F ty m 22d d =(d d 22e i C C M t J F C J =討 論第十二章動(dòng)量矩定理(e iC m =F a =(e i C C M J F 請(qǐng)分析直升飛機(jī)的尾漿有什么作用?其主漿的軸是在鉛直方向嗎? 解:取圓盤為研究對(duì)象,受力分析和運(yùn)動(dòng) 分析如圖。由剛體平面運(yùn)動(dòng)方程有:=ix F xm F ma C =iy F ym mg F N =0=C C M J Fr M m C=2若圓盤純滾動(dòng),有運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系:r a C =Cma F =mg F N =(22r m Mr a C C +

10、=rr F M C (22+=若圓盤純滾動(dòng),應(yīng)滿足靜滑動(dòng) 摩擦定律:NS F f F r rmg f M C S 22+ 解:1、桿在任意位置的受力分析2、分析桿質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)=cos 2sin 2l y l x C C =sin 2cos 2 l y l x C C +cos 2sin 22 l l+cos 2sin 22 l l 3.列寫桿的平面運(yùn)動(dòng)微分方程A C X l l g P X x m =+=cos 2sin 2(,2 P Y l l g P Y y m B C =sin 2cos 2(,2 cos 2sin 212,F (2l X l Y l g P M J A B C C = 4

11、.求解微分方程sin 23lg = rP kR s 22=由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程(r P kR r g P g P dt d s 222121+=+ 022221=+kR r g P g P=222ll Cx dxJ=1122m l=lA xdx J02=132 ml =RO r rdr J 022=122mR =2002cos (R y r dr rd J =d r R cos 2400214=142mR x J =2mR J z = '(222i i i i i z y x m r m J +=d y y x x i i i i +=, 2(2(22222

12、222i i i i i i i ii i i i i z m d y m d y x m d dy y x m d y x m J +=+=+=0=C i i my y m 2md J J zC z +=小結(jié)1.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩=×=ni ni ii i i i O O v m r v m M L 11(質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某軸=ni i i z z m M L 1v (C C C O v m r L L ×+=2.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理(e O O M dtL d =4.質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理(e CC M dtL d =5.剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程=F (C C C C M J Y y m

13、 X x m =(e z cze y cy e xcx F Ma F Ma FMa 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理=ni e ic F Ma 1(剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程=(F M J Y ma Xma C C Cy Cx 平面運(yùn)動(dòng)微分方程(F M J J z Z Z = 教程 教程第十二章動(dòng)量矩定理習(xí)題本章習(xí)題習(xí)題要求1基本公式要列明;2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參量求得后要在圖上畫明;3投影軸要畫清寫明;質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩=(i i z z m M L v =i i i v m r =i i i r m r =2ii r m z J ± =第十二章動(dòng)量矩定理剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程×=ir i i C m v

14、 r L =e ixC F t x m 22d d =e iyC F t y m 22d d =(d d 22e iy C C M tJ F C J =第十二章動(dòng)量矩定理1 均質(zhì)實(shí)心圓柱A 和薄鐵環(huán)B 的質(zhì)量均為m ,半徑都等于r ,兩球用桿AB 鉸接,無(wú)滑動(dòng)地沿斜面滾下,斜面與水平面的夾角為,如桿的質(zhì)量忽略不計(jì),求桿AB 的加速度和桿的內(nèi)力。DR F F mg ma +=sin C RF F mg ma =sin raF F R R =,sin 71sin 74mg F g r a R =實(shí)體A :質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:動(dòng)量矩定理:D rF mr =221圓環(huán)B :CrF mr =2a NCF RF

15、 CF mgmgDF NCF RFDrF mr =221CrF r amr mr =22maF C =maF D 21=環(huán)B 、實(shí)心圓柱A 及AB 桿應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理=Fma DC F F mg ma =sin 22sin 74g r a =C RF F mg ma =sin 圓環(huán)B :sin 71mg F R =NCF RF CF mgmgDF NCF RF 環(huán)B 、實(shí)心圓柱A 應(yīng)用動(dòng)量矩定理2重物A 質(zhì)量為m 1,系在繩子上,繩子跨過(guò)不計(jì)質(zhì)量的固定滑輪D 并繞在鼓輪B 上,由于重物下降,帶動(dòng)了輪C ,使它沿水平軌道滾動(dòng)而不滑動(dòng)。設(shè)鼓輪半徑為r ,輪C 的半徑為R ,兩者固連在一起,總質(zhì)量為

16、m 2 ,對(duì)于其水平軸O 的回轉(zhuǎn)半徑為。求重物A 的加速度。gm 1ADF BDF gm 2NF SF 解:AD A F g m a m =11S BD O F F a m =2RF r F m S BD +=22r R a A+=BDAD F F =(2222121R m R r m R r g m a A +=Aa Oa A a AO a rR R R a +=3 質(zhì)量為m2半徑為R的均質(zhì)圓盤，置于質(zhì)量為m1的平板上，沿平 板加一常力F 。設(shè)平板與地面間摩擦系數(shù)為f ，平板與圓盤間的接 觸是足夠粗糙的，求圓盤中心A點(diǎn)的加速度。 平板應(yīng)用質(zhì) 心運(yùn)動(dòng)定理 m1 a = F F1 F2 ar m

17、2 g a aA F2 m 2 a A = F2 圓盤作平面運(yùn)動(dòng) 1 2 m 2 R = F2 R 2 F1 = fF N 1 = f ( m1 + m 2 g F f ( m1 + m 2 g aA = m2 m1 + 3 a A = a R F N2 F2 F1 2 FN m1 g a 4 長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB受力如圖。將繩子突然剪斷。 求：該瞬時(shí)AB桿的角加速度和A處的約束反力 NAy NAx A C 繩子被突然剪斷AB桿角速度為零， 角加速度不為零。 = 0 0 B AB桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) aC mg 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 l 1 2 ml = mg 3 2 l 3 aC = = g 2 4 N Ax = 0 N Ay 1 = mg 4 3g = 2l n aC =0 ma x = N Ax = 0 ma y = mg N Ay 5 已知均質(zhì)桿AB、BD，重均為P，LAB=LBD=l ，不計(jì)滑塊重量。 求剪斷繩子瞬時(shí)滑槽對(duì)滑塊的反力。 D N/Bx B A 30。 mg NBy B NBx C N/By D ND BD桿作平面運(yùn)動(dòng) 繩子被剪斷時(shí)兩桿的角速