八年級下數(shù)學難題集錦

1、深圳新世紀教育培訓中心八年級數(shù)學試題精選分式：一：如果abc=1,求證+=1解：原式=+ =+ = =1二：已知+=，則+等于多少？解：+=2()=92+4+2=92（）=5=+= 勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我國歷史上對數(shù)學很有興趣的帝王近日，西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學專著，其中有一文積求勾股法，它對“三邊長為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形，已知面積求邊長”這一問題提出了解法：“若所設者為積數(shù)（面積），以積率六除之，平方開之得數(shù)，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之數(shù)”用現(xiàn)在的數(shù)學語言表述是：“若直角三角形的三邊長分別為3、4、5的整數(shù)倍，設其面積為S，則第一步：m；第二步：=k；第三步：分別用3、4、

2、5乘以k，得三邊長” （1）當面積S等于150時，請用康熙的“積求勾股法”求出這個直角三角形的三邊長； （2）你能證明“積求勾股法”的正確性嗎？請寫出證明過程解：（1）當S=150時，k=5，所以三邊長分別為：3×5=15，4×5=20，5×5=25；（2）證明：三邊為3、4、5的整數(shù)倍，設為k倍，則三邊為3k，4k，5k，而三角形為直角三角形且3k、4k為直角邊其面積S=（3k）·（4k）=6k2，所以k2=，k=（取正值），即將面積除以6，然后開方，即可得到倍數(shù)二：一張等腰三角形紙片，底邊長l5cm，底邊上的高長225cm現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度

3、均為3cm的矩形紙條，如圖所示已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是( )A第4張 B第5張 C第6張 D第7張答案：C三：如圖，甲、乙兩樓相距20米，甲樓高20米，小明站在距甲樓10米的處目測得點 與甲、乙樓頂剛好在同一直線上，且A與B相距米，若小明的身高忽略不計，則乙樓的高度是 米20米乙CBA甲10米？米20米答案：40米四：恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世著名的恩施大峽谷和世界級自然保護區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)，向、兩景區(qū)運送游客小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂

4、直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點關于直線的對稱點是，連接交直線于點），到、的距離之和（1）求、，并比較它們的大??；（2）請你說明的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務區(qū)、，使、組成的四邊形的周長最小并求出這個最小值BAPX圖（1）YXBAQPO圖（3）BAPX圖（2）解:圖10（1）中過B作BCAP,垂足為C,則PC40,又AP10,AC30 在RtABC 中，AB50 AC30 BC40 BPS1 圖10（2）中，過B作BCAA垂足為C，則AC50，又BC40BA

5、9;由軸對稱知：PAPA'S2BA' (2)如 圖10（2），在公路上任找一點M,連接MA,MB,MA'，由軸對稱知MAMA'MB+MAMB+MA'A'BS2BA'為最?。?）過A作關于X軸的對稱點A', 過B作關于Y軸的對稱點B'，連接A'B',交X軸于點P, 交Y軸于點Q,則P,Q即為所求過A'、 B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點G,A'B'所求四邊形的周長為DCEBGAF五：已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，DEAC于點F，交BC于點

6、G，交AB的延長線于點E，且（1）求證：；（2）若，求AB的長解：（1）證明：于點，DCEBGAF，連接，AGAG,ABAF，（2）解：ADDC,DFAC，四邊形：一：如圖，ACD、ABE、BCF均為直線BC同側的等邊三角形.(1) 當ABAC時，證明四邊形ADFE為平行四邊形；EFDABC (2) 當AB = AC時，順次連結A、D、F、E四點所構成的圖形有哪幾類？直接寫出構成圖形的類型和相應的條件.解：(1) ABE、BCF為等邊三角形，AB = BE = AE，BC = CF = FB，ABE = CBF = 60°.FBE = CBA. FBE CBA. EF = AC. 又

7、ADC為等邊三角形，CD = AD = AC.EF = AD. 同理可得AE = DF. 四邊形AEFD是平行四邊形. (2) 構成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段. 當圖形為菱形時， BAC60°（或A與F不重合、ABC不為正三角形）當圖形為線段時，BAC = 60°（或A與F重合、ABC為正三角形）. 二：如圖，已知ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結DE并延長至點F，使EF=AE，連結AF、BE和CF。（1）請在圖中找出一對全等三角形，用符號“”表示，并加以證明。（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。（3）若AB=6，B

8、D=2DC，求四邊形ABEF的面積。解：（1）（選證一）（選證二）證明：（選證三）證明：（2）四邊形ABDF是平行四邊形。由（1）知，、都是等邊三角形。（3）由（2）知，）四邊形ABDF是平行四邊形。三：如圖，在ABC中，A、B的平分線交于點D，DEAC交BC于點E，DFBC交AC于點F（1）點D是ABC的_心；（2）求證：四邊形DECF為菱形解：(1) 內(nèi). (2) 證法一：連接CD， DEAC，DFBC，圖7 四邊形DECF為平行四邊形，又 點D是ABC的內(nèi)心， CD平分ACB，即FCDECD，又FDCECD， FCDFDC FCFD， DECF為菱形證法二：過D分別作DGAB于G，DHB

9、C于H，DIAC于I AD、BD分別平分CAB、ABC，DI=DG，DG=DHDH=DI DEAC，DFBC，四邊形DECF為平行四邊形，SDECF=CE·DH =CF·DI，CE=CFDECF為菱形 四：在矩形ABCD中，點E是AD邊上一點，連接BE，且ABE30°，BEDE，連接BD點P從點E出發(fā)沿射線ED運動，過點P作PQBD交直線BE于點Q（1）當點P在線段ED上時（如圖1），求證：BEPDPQ；（2）若 BC6，設PQ長為x，以P、Q、D三點為頂點所構成的三角形面積為y，求y與 x的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（3）在的條件下，當點P運動

10、到線段ED的中點時，連接QC，過點P作PFQC，垂足為F，PF交對角線BD于點G（如圖2），求線段PG的長。解：（1）證明：A=90° ABE=30° AEB=60° EB=ED EBD=EDB=30° PQBD EQP=EBD EPQ=EDB EPQ=EQP=30° EQ=EP 過點E作EMOP垂足為M PQ=2PM EPM=30°PM=PE PE=PQ BE=DE=PD+PE BE=PD+ PQ （2）解：由題意知AE=BE DE=BE=2AE AD=BC=6 AE=2 DE=BE=4 當點P在線段ED上時（如圖1） 過點Q做QH

11、AD于點H QH=PQ=x 由（1）得PD=BE-PQ=4-x y=PD·QH= 當點P在線段ED的延長線上時（如圖2）過點Q作QHDA交DA延長線于點H QH=x 過點E作EMPQ于點M 同理可得EP=EQ=PQ BE=PQ-PD PD=x-4 y=PD·QH= （3）解：連接PC交BD于點N（如圖3）點P是線段ED中點 EP=PD=2 PQ= DC=AB=AE·tan60°= PC=4 cosDPC= DPC=60° QPC=180°-EPQ-DPC=90° PQBD PND=QPC=90° PN=PD=1 Q

12、C= PGN=90°-FPC PCF=90°-FPC PCN=PCF1分 PNG=QPC=90° PNGQPC PG=五：如圖,這是一張等腰梯形紙片,它的上底長為2,下底長為4,腰長為2,這樣的紙片共有5張.打算用其中的幾張來拼成較大的等腰梯形,那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形?分別畫出它們的示意圖,并寫出它們的周長. 解：如圖所示六：已知:如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊BC、AB上的點,且EF=ED,EFED.求證:AE平分BAD.證明：四邊形ABCD是矩形B=C=BAD=90° AB=CDBEF+BFE=90°EFEDBEF+CED

13、=90°BEF=CEDBEF=CDE又EF=EDEBFCDEBE=CDBE=ABBAE=BEA=45°EAD=45°BAE=EADAE平分BAD七：如圖,矩形紙片ABCD中,AB=8,將紙片折疊,使頂點B落在邊AD的E點上,BG=10.(1)當折痕的另一端F在AB邊上時,如圖(1).求EFG的面積.(2)當折痕的另一端F在AD邊上時,如圖(2).證明四邊形BGEF為菱形,并求出折痕GF的長.圖（1）圖（2）解:(1)過點G作GHAD,則四邊形ABGH為矩形,GH=AB=8,AH=BG=10,由圖形的折疊可知BFGEFG,EG=BG=10,FEG=B=90°

14、;；EH=6,AE=4,AEF+HEG=90°,AEF+AFE=90°,HEG=AFE,又EHG=A=90°,EAFEHG,EF=5,SEFG=EF·EG=×5×10=25.(2)由圖形的折疊可知四邊形ABGF四邊形HEGF,BG=EG,AB=EH,BGF=EGF,EFBG，BGF=EFG,EGF =EFG,EF=EG,BG=EF,四邊形BGEF為平行四邊形,又EF=EG,平行四邊形BGEF為菱形；連結BE，BE、FG互相垂直平分，在RtEFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，AE=16，BE=8，B

15、O=4，F(xiàn)G=2OG=2=4。八：（1）請用兩種不同的方法，用尺規(guī)在所給的兩個矩形中各作一個不為正方形的菱形，且菱形的四個頂點都在矩形的邊上（保留作圖痕跡）（2）寫出你的作法解：（1）所作菱形如圖、所示說明：作法相同的圖形視為同一種例如類似圖、圖的圖形視為與圖是同一種（2）圖的作法：作矩形A1B1C1D1四條邊的中點E1、F1、G1、H1；連接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1四邊形E1F1G1H1即為菱形圖的作法：在B2C2上取一點E2，使E2C2A2E2且E2不與B2重合；以A2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交A2D2于H2；以E2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交B2C2于F2；連接H2F

16、2，則四邊形A2E2F2H2為菱形ABCPDE九：如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證： PE=PD ； PEPD；（2）設AP=x, PBE的面積為y. 求出y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍； 當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值.解：（1）證法一： 四邊形ABCD是正方形，AC為對角線， BC=DC, BCP=DCP=45°. PC=PC， PBCPDC （SAS）. PB= PD， PBC=PDC. 又 PB= PE ， PE=PD. ABCDPE12H （i）當點E在線段BC上(E

17、與B、C不重合)時， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， PEB+PEC=PDC+PEC=180°， DPE=360°-(BCD+PDC+PEC)=90°， PEPD. ）（ii）當點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時，PEPD.（iii）當點E在BC的延長線上時，如圖. PEC=PDC，1=2， DPE=DCE=90°， PEPD.綜合（i）（ii）（iii）, PEPD. ABCPDEF（2） 過點P作PFBC，垂足為F，則BF=FE. AP=x，AC=， PC=- x，PF=FC=. BF=FE=1-FC=1-()=. SPB

18、E=BF·PF=(). 即 (0x). . ABCPDEFG123 0， 當時，y最大值. （1）證法二： 過點P作GFAB，分別交AD、BC于G、F. 如圖所示. 四邊形ABCD是正方形， 四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形. GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90°. 又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFPPGD （SAS）. PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90°. DPE=90°. PEPD. （2） AP=x， BF=PG=，PF=1-. SPBE=BF·PF=(). 即 (0x). . 0， 當時，y最大值.十：如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系： （1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；將圖1中的