高等代數(shù)知識結(jié)構(gòu)

1、高等代數(shù)知識結(jié)構(gòu)、高等代數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖行列式的計(jì)算行列式工具線性方程組矩陣矩陣的運(yùn)算行列式的性質(zhì)矩陣的秩的初等變換線性方程組的解法及判別定理線性方程組線性方程組解的結(jié)構(gòu)向量相關(guān)性極大線性無關(guān)組線性相關(guān)和線性無關(guān)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型（配方法， 線性方程組法，正交法）線性代數(shù)中心課題線性典范型j線性流形對角化正定性，合同單線性函數(shù)線性函數(shù)對稱雙線性函數(shù)J矩陣若爾當(dāng)?shù)浞缎訧I-C定理高等代數(shù)線性空間線性變換特征值與特征向量矩陣的可對角化線性空間的性質(zhì)與同構(gòu), 子空間的判定坐標(biāo)變換與基變換可對角化及不變子空間歐式空間的性質(zhì)研究范圍線性空間歐式空間正交化與正交補(bǔ)的求法正交變換與正交矩陣酉空間酉空間的性質(zhì)復(fù)數(shù)域

2、上的正交變換整除理論互素與同于1因式分解唯一性因式分解理論重因式復(fù)數(shù)域多項(xiàng)式根的理論實(shí)數(shù)域曰求法有理數(shù)域判定（愛紳斯坦因）多元多項(xiàng)式/對稱多項(xiàng)式根的判別式韋達(dá)定理、高等代數(shù)知識結(jié)構(gòu)內(nèi)容（一）線性代數(shù)：工具：線性方程組1. 行列式:1行列式的計(jì)算設(shè)有n2個(gè)數(shù)，排成n行n列的數(shù)表aiiai2a2ia22anian2aina2n，即n階行列式.這個(gè)行列式等于所有取自不同行不同列的ann個(gè)元素的乘積aiji a2j2anjn的代數(shù)和，這里jij2 jn是1,2, , n的一個(gè)排列,每一項(xiàng)都按下列規(guī)則帶有符號：當(dāng)jlj2 jn是偶排列時(shí)，帶正號；當(dāng)ji j2 jn是奇排列時(shí)，帶負(fù)號.即a iia 2ia

3、 niai2a 22a n 2a nnji j2 jnjij2 jnaijia2j2anjn ,這里 表示jij2 jn對所有n級排列求和.a.行列式的性質(zhì)：性質(zhì)i.行列互換，行列式不變。性質(zhì)2. 一行的公因子可以提出來（或以一數(shù)乘行列式的一行就相當(dāng)于用這個(gè)數(shù) 乘此行列式。性質(zhì)3.如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而 這兩個(gè)行列式除這一行以外與原行列式的對應(yīng)行一樣。性質(zhì)4.如果行列式中兩行相同，那么行列式為零。(兩行相同就是說兩行對應(yīng) 元素都相同)性質(zhì)5.如果行列式中兩行成比例。那么行列式為零。性質(zhì)6.把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。性質(zhì)7.對換行列式中兩行的位置

4、，行列式反號。2. 矩陣：a. 矩陣的秩：矩陣A中非零行的個(gè)數(shù)叫做矩陣的秩。b. 矩陣的運(yùn)算定義 同型矩陣：指兩個(gè)矩陣對應(yīng)的行數(shù)相等、對應(yīng)的列數(shù)相等的矩陣.矩陣相等：設(shè) A G)mn,B (bj)mn,若b。(i 1,2, ,m; j 1,2,n),稱線性:運(yùn)算：A(aij )m n,B(bij ) mna11bna1nb1n加法:AB(a ijbij)m na m1bm1abmnmnk a11kam數(shù)乘:kA(k aij ) m n負(fù)矩陣：A (1 )Ak am1k amnanbna1nb1n減法:AB(ajbij)m na m1bm1amnbmn矩陣的乘法定義：設(shè)A(aij )ms, B(

5、bj )s n811a1s d11bmC11C1nAB其中元素3m1amsbs1bsnCm1Cmnb1 jCja” ai 2aisb2jaej ai2lb2jaiSbsj (i 1,2,m; jA B.bsj(3ij )m1,2,n)A的列數(shù)=B的行數(shù)。AB的行數(shù)=A的行數(shù);AB的列數(shù)=B的列數(shù).A與B的先后次序不能改變.(5)矩陣的初等變換 矩陣的等價(jià)變換形式主要有如下幾種：1 ）矩陣的i行（列）與j行（列）的位置互換；2 ）用一個(gè)非零常數(shù)k乘矩陣的第i行（列）的每個(gè)元；3 ）將矩陣的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的對應(yīng)元上去3. 線性方程組一般線性方程組.這里所指的一般線性方程

6、組形式為ax1ax 2Lax nb1,ax1a222Laxnnb2,(i)LLLax1as22Lax nbs.（i）式中xi（ 1,2,K , n）代表未知量，旳（1,2,L , s; j 1,2,L ,n）稱為方程組的系數(shù)，bj（j1,2丄，n）稱為常數(shù)項(xiàng).線性方程組（i）稱為齊次線性方程組，如果常數(shù)項(xiàng)全為零，即bb 2 Lbs 0.令ana12La1 nxb1a21a22La2nXxDb2A,BMMMMMMas1as2Lasnxnbs則（i）可用矩陣乘法表示為AXB，ACmn,XCn,B Cm.a.線性方程組的解法1）消元法在初等代數(shù)里，我們已經(jīng)學(xué)過用代入消元法和加減消元法解簡單的二元、

7、三 元線性方程組.實(shí)際上，這個(gè)方法比用行列式解方程組更具有普遍性但對于那些 高元的線性方程組來說，消元法是比較繁瑣的，不易使用 .2）應(yīng)用克萊姆法則對于未知個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相等的情形，我們有 定理1如果含有n個(gè)方程的n元線性方程組aX1ax 2Lax nb,aX1ax：2Laxn nb2LLLaX1ax2Lann nbn的系數(shù)矩陣a11a12La1na21A21Ma22La2nMMMan1an2Lann的行列式ana21a12a22LLai na2ndet AMMMMan1an2Lann0,那么線性方程組 有唯一解:Xjdet BjJ / det A(j1,2,L ,n),其中detBj是把矩陣

8、中第j列換成線性方程組的常數(shù)項(xiàng)bl,b2 , L ,bn所成的矩陣的行列式，即det Bja11a22MLLMLa1,j 1a2,j 1Man,j 1Mbnai,j ia2,j 1Man,j 1LLMLaina2nM,j 1,2,L ,n.ann此外，還可以敘述為，如果含有 n個(gè)未知數(shù)、n個(gè)方程的線性方程組Ax b的系數(shù)矩陣的行列式det A 0，則線性方程組Axb一定有解，且解是唯一的.廣義逆矩陣A法設(shè)A Cmn.如果存在G Cn m，使得AGA A，則稱G為矩陣A的一個(gè)1-廣義逆矩陣，記作A .矩陣A的1-逆總是存在的，但一般不是惟一的12，矩陣A的1-逆的全體記為代1.若A Cm n ,

9、 A Cnm為A的一個(gè)1-廣義逆矩陣，貝U對V, W Cn m為任意 的n m矩陣，矩陣A的一個(gè)1-廣義逆矩陣為G A V A AVAA ,同時(shí)還可以表示為G A V(Em AAE) ( n A A)W .廣義逆矩陣A的計(jì)算：(1) 設(shè)A Crmn (r 0)，且有P Cm m和n階置換矩陣Q使得PAQErK00(KC r (nr),則對任意的L C(nr )(m r)，n m矩陣G Q Er 0 PO L是A的一個(gè)1-廣義逆矩陣.若存在T C n使得PAT 巴 O O O則矩陣的1-逆的全體A1T ErL12 P L12 Cr(m r),L21 C(nr)r,L22 C(n rm( r)L2

10、1L22 設(shè)A Cmn，則A有惟一 1逆的充分必要條件是m n,且r(A) n，即A可逆.這個(gè)惟一的1逆就是A 1.4. 向量相關(guān)性a.判斷向量組線性相關(guān)的方法1) 線性相關(guān)2) 的對應(yīng)分量成比例線性相關(guān)3) 含有零向量的向量組是線性相關(guān)的4) 向量組線性相關(guān)該組中至少有一個(gè)向量可由其余的向量線性表出5）部分相關(guān)則整體相關(guān)6）設(shè)向量組可由向量組線性表出,如果r>s,則線性相關(guān)；7）n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)（個(gè)數(shù)大于維數(shù)）8）該向量組的秩小于它所含向量的個(gè)數(shù)向量組線性相關(guān)9）n個(gè)n維的向量構(gòu)成的行列式=0該向量組是線性相關(guān)的10）線性相關(guān)向量組中每個(gè)向量截短之后還相關(guān)b.判斷向量組線性無

11、關(guān)的方法1）線性無關(guān)2）的對應(yīng)分量不成比例線性無關(guān)3）向量組線性無關(guān)該組中任何一個(gè)向量都不能由其余的向量線性表出4）整體無關(guān)則部分無關(guān)5）線性無關(guān)向量組中每個(gè)向量加長之后還無關(guān)6）該向量組的秩等于它所含向量的個(gè)數(shù)向量組線性無關(guān)7）n個(gè)n維的向量構(gòu)成的行列式0該向量組是線性無關(guān)的（二）中心課題：線性規(guī)范型1. 二次型線性流型：二次型及其矩陣表示二次型的定義：以數(shù)域 P中的數(shù)為系數(shù)，關(guān)于Xi, X2,，Xn的二次齊次多 項(xiàng)式 f （Xi, X2,Xn）=aiiXi2+2ai2XiX2+ +2 ainXiXn2+a22X2 + + a2nX2Xn+（3）2+annXn稱為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型，簡

12、稱二次型。矩陣的合同關(guān)系：對于數(shù)域 P上的兩個(gè)n階矩陣A和B,如果存在可逆矩陣C, 使得B=CTA（則稱A和B是合同的，記為AB合同關(guān)系性質(zhì)：1）反身性：AA2）對稱性：AB則BA3）傳遞性：AB 且BC貝U AC二次型的標(biāo)準(zhǔn)形1) 實(shí)數(shù)域R(或復(fù)數(shù)域C)上的任意一個(gè)二次型都可經(jīng)過系數(shù)在實(shí)數(shù)域R(或復(fù)數(shù)域C)中的非退化線性變換化成平方和形式：d1y12+d2y22+dnyn2其中非零系數(shù)的個(gè)數(shù)唯一確定，等于該二次型的秩。上述形式的二次型稱為二 次型的標(biāo)準(zhǔn)形。2) 任何對稱矩陣都與一個(gè)對角矩陣合同。3) 復(fù)二次型的規(guī)范形：任何復(fù)系數(shù)二次型都可經(jīng)過復(fù)數(shù)域 C中的非退化線性變換化成如下最簡形式平 方

13、和：y12+y22+yr2，其中r唯一確定，等于該二次型的秩。上述形式的復(fù) 二次型稱為復(fù)二次型的規(guī)范形。2. 線性函數(shù)(三) 研究范圍：線性空間1. 線性空間簡單的說，線性空間是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另 一元素，任意元素與任意數(shù)(可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，也可以是任意給定域中 的元素)相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。1) V對加法成Abel群，即滿足：(1) (交換律)x+y=y+x;(2) (結(jié)合律)(x+y) +z=x+ (y+z)(3) (零元素)在 V中有一元素0，對于V中任一元素(4) (負(fù)元素)對于 V中每一個(gè)元素x，都有V中的元素y,使得x+y=0;2) 數(shù)

14、量乘法滿足：(5) 1x=x;(6) k(lx)=(kl)x ；3) 數(shù)量乘法和加法滿足：(7) ( k+l ) x=kx+lx ；(8) k (x+y) =kx+ky.其中x，y，z為V中任意元素，k，l為數(shù)域F中的任意元素，1是F的乘法單位 丿元。數(shù)域F稱為線性空間V的系數(shù)域或基域，F(xiàn)中元素稱為純量或數(shù)量(scalar )， V中元素稱為向量(vector )。當(dāng)系數(shù)域F為實(shí)數(shù)域時(shí)，V稱為實(shí)線性空間。當(dāng)F為復(fù)數(shù)域時(shí)，V稱為復(fù)線性空 間。(1) V中零元素(或稱0向量)是唯一的。(2) ( 2) V中任一向量x的負(fù)元素(或稱負(fù)向量)是唯一的。(3) ( 3)kx=0(其中k是域F中元素，x是

15、V中元素)當(dāng)且僅當(dāng)k=0或x=0。(4)(-k)x=-(kx)=k(-x)。2. 歐氏空間定義1 .公因式：設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線性空間(或稱為向量空間)，若V上定義著正定對稱雙線 性型g(g稱為內(nèi)積)，則V稱為(對于g的)內(nèi)積空間或歐幾里德空間(有時(shí) 僅當(dāng)V是有限維時(shí)，才稱為歐幾里德空間)。具體來說，g是V上的二元實(shí)值函數(shù)，滿足如下關(guān)系：(1) g(x,y)=g(y,x)；(2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；(3) g(kx,y)=kg(x,y)；2 最大公因式：(4) g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立。這里x,y,z是V中任意向量，k是任意

16、實(shí)數(shù)。二、多項(xiàng)式理論1. 整除理論整除：若多項(xiàng)式a： “f(x)”除以多項(xiàng)式b：“g(x)”，商為一個(gè)多項(xiàng) 式,且余數(shù)為零多項(xiàng)式。 我們就說a能被b整除(或說b能整除a)，記作b|a， 讀作“ b整除a”或“ a能被b整除”.1) 最大公因式多項(xiàng)式的最大公因式的定義定義(公因式與最大公因式)定義1若既是的因式，又是的因式，則稱是與的公因式。因所以任意兩個(gè)多項(xiàng)式都有公因式。2) 互素如果，那么就說，即兩個(gè)多項(xiàng)式只有零次公因式時(shí)，稱為互素。的公因式，就稱這兩個(gè)多項(xiàng)式互素2. 因式分解理論1)重因式定義 設(shè)p(x)為不可約多項(xiàng)式.如果f(x)能被p(x)的k次方整除而p (x)的 k+1次方不能,則

17、稱p(x)是f(x)的k重因式.若k=0,則p(x)不是f(x)的因式.若k=1,則稱p(x)是f(x)的單因式.f(x)的二階微商，階微商的微商：若k>1,則稱p(x)是f(x)的重因式.也可以定義高階微商的概念記為f'(x).一般地,f(x),一階微商f(x)的微商稱為的k階微商定義為f(x)的k-1 定理 如果不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k重因式(k> 1),那么它是f(x) 的k-1重因式.注意：該定理的逆定理一般不成立推論1 ：如果不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k (k > 1)重因式,那么p(x)分別 是 f(x),f'(x).f(k-1)(

18、x)的 k-1,k-2,.,1 重因式,但不是 f(k)(x)的因式推論2 :不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的重因式的充分必要條件是p(x)為f(x)與 f(x) 推論3 :的公因式.多項(xiàng)式f(x)沒有重因式的充分必要條件是(f(x),f(x)=1.2)唯一性理論不可約多項(xiàng)式定義：數(shù)域P上次數(shù)的多項(xiàng)式p(x)稱為不可約多項(xiàng)式，如果p(x)不能表成數(shù)域 P上的兩個(gè)次數(shù)比p(x)低的多項(xiàng)式的乘積。唯一性指：數(shù)域P上每一個(gè)次數(shù)1的多項(xiàng)式f(x)均可分解成數(shù)域P上一些不可 約多項(xiàng)式的乘積。Fx中任一個(gè)次數(shù)不小于1的多項(xiàng)式都可以分解為F上的不 可約多項(xiàng)式的乘積，而且除去因式的次序以及常數(shù)因子外，分解的方法是惟一的。當(dāng)F是復(fù)數(shù)域C時(shí)，根據(jù)代數(shù)基本定理，可證 Cx中不可約多項(xiàng)式都是一次的。 因此，每個(gè)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式都可分解成一次因式的連乘積。當(dāng)F是實(shí)數(shù)域R時(shí)，由于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式