2017屆南通高三一模數(shù)學(xué)試卷

1、2017屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試題I一：填空題1 函數(shù)y 2sin(3x -)的最小正周期為 。2 設(shè)集合 A 1,3, B a 2,5, A B 3，則 A B=3復(fù)數(shù)z (12i)2，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為。4 口袋中有若干紅球、黃球和藍(lán)球，從中摸出一只球。摸出紅球的概率為0.48，摸出黃球的概率是 0.35，則摸出藍(lán)球的概率為。5 如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的n的值為。2x y 46若實(shí)數(shù)x, y滿足X 3y 7，則z 3x 2y的最大值為x 0y 0137 抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名學(xué)生的5次訓(xùn)練成績(jī)(單位：分)結(jié)果如下:學(xué)生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575則成績(jī)較為

2、穩(wěn)定(方差較小)的那位學(xué)生成績(jī)的方差為 8.如圖，在正四棱柱 ABCD - A1BGD1 中，AB=3cm AA=1cm,3則三棱錐 D - A1BD的體積為cm。2 29 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線2x y 0為雙曲線 篤 爲(wèi) 1(a0,b0)的一條漸近線，則該雙a2 b2曲線的離心率為。10九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹子最上面一節(jié)的容積為 升。11 在 ABC 中，若 BC BA 2AC AB CA CB，則 sin A 的值為。sin C12已知兩曲線f(x) 2sin x, g(x

3、) acosx, x (0,)相交于點(diǎn)P。若兩曲線在點(diǎn) P處的切線互相垂直,2則實(shí)數(shù)a的值為。13已知函數(shù)f(x) | x | | x 4|，則不等式f(x2 2) f (x)的解集用區(qū)間表示為 14在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知B, C為圓x2 y2 4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，且AB AC，則線段BC的長(zhǎng)的取值圍是。二：解答題15.(本題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊作銳角，其終邊與單位圓交于點(diǎn)代以O(shè)A為始邊作銳角，其終邊與單位圓交于點(diǎn)B, AB。5(1) 求cos 的值；5(2) 若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。16.（本題滿分14分）如圖，在四棱錐 P

4、- ABC呼，四邊形 ABC為平行四邊形，AC BD相交于點(diǎn) Q點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，QP=QC PA丄PD求證：（1）直線PA/平面BDE（2）平面BDEL平面PCD17.（本題滿分14 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓2x2ab21(a0）的離心率為焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若P為橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 0作0P的垂線交直線10Q2的值;18.(本題滿分16分)如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng) 6m寬2m的長(zhǎng)方形鐵皮 ABCD進(jìn)行裁剪。已知點(diǎn) 點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪時(shí)先將四邊形 CDFE&直線EF翻折到MNF處(點(diǎn)C, D分別落在直線 N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)

5、P),再沿直線PE裁剪。(1)當(dāng) EFP 時(shí)，試判斷四邊形 MNPE勺形狀，并求其面積；4F為AD的中BC下方點(diǎn)M(2)若使裁剪得到的四邊形 MNP面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說(shuō)明理由。19.(本題滿分16分)已知函數(shù)f(x) ax2 x In x, a R。3(1) 當(dāng)a 時(shí)，求函數(shù)f (x)的最小值；8(2) 若1 a 0,證明：函數(shù)f (x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(3)若函數(shù)f(x)又兩個(gè)零點(diǎn)，數(shù)a的取值圍。20.（本題滿分16分）已知等差數(shù)列an的公差d不為0,且ak1 ,ak2, ,akn, （ki k?kn ）成等比數(shù)列，公比為q。a（1）若 ki 1,k23,ka 8，求的值；d（2

6、） 當(dāng)也為何值時(shí)，數(shù)列kn為等比數(shù)列；d（3）若數(shù)列kn為等比數(shù)列，且對(duì)于任意 n N*，不等式an akn 2人恒成立，求 印的取值圍。2016-2017學(xué)年度高三第二學(xué)期期初摸底考試數(shù)學(xué)試題I參考答案一：填空題1 . 2 . 1,3,53 .3 4 . 0.17 5. 5 6. 7 7. 20 8. -9 . . 532I10 . 1311.2 12 . 亙 13 . (, 2)(.2,)14 . .62, .6、2223二：解答題15.解(1 )在 AOB 中，由余弦定理得：AB2 OA2 OB2 2OA OB cos AOB ,所以cos AOBOA2 OB2 AB2 2OA OB3，

7、即 cos5(2)因?yàn)閏os3，且為銳角，所以sin51 cos2455因?yàn)辄c(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，由三角函數(shù)定義可得:135cos13因?yàn)闉殇J角，所以sin 1cos21所以 cos( ) cos cos sin sin5 212()10分13135 31243312分13 513565sin( ) sin cos cos sin34 5613 513 5 65所以點(diǎn)B（33 5665,6514分16.證明：（1）連結(jié)OE因?yàn)镺為平行四邊形 ABC%角線的交點(diǎn)，所以 O為AC的中點(diǎn),又E為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E/PA, 4分因?yàn)镺E 平面BDE PA 平面BDE所以直線PA/平面BDE 6分(2)因?yàn)?/p>

8、 OE/PA, PAI PD,所以 OE! PD,8分4因?yàn)镺P=OC E為PC的中點(diǎn)，所以 OE! PC10分又 PCn PD=P PD 平面 PCD PC 平面 PCD所以O(shè)E!平面PCD12分因?yàn)镺E 平面BDE 所以平面 BDEL平面 PCD14分17.解：(1)由題意得：-'-, c 1,a2 b2 c2, 2分a 2 c2w解得：a ,2,c 1,b 1 ,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y 1;4分2(2)由題意知OP的斜率存在，當(dāng)OP的斜率為0時(shí)，OP 、2,OQ . 2，所以=1,6分OP2 OQ2當(dāng)OP的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線OP的方程為y kx,y 1 得：(2k21)x22，

9、解得：x2y kx22k21，所以y22k22k21所以O(shè)P222k222k21因?yàn)镺POQ，所以直線OQ的方程為y11x，y2由1得:x2k，所以O(shè)Q22k22yxk112k2 11所以22= 22 1OPOQ2k 22k 212分綜上，可知1OP21OQ2=1.14分18.解：(1)當(dāng) EFP 時(shí)， EFP4EFDFEP所以 FPE ，即FN BC，所以四邊形 MNPE為矩形，3分2所以四邊形 MNPE勺面積為S PN MN 2m2 ； 5分(2)設(shè) EFD(0,)，由條件知：EFPEFDFEP,22222PF,NP NF PF3 -,ME3，8分sin( 2 )si n2sin 2tan

10、222 tan230sin 22sin 231tan3由320 得: tan2所以tan2解得：2tan3. 5tan3332000222所以四邊形MNPE的面積為S1(PNME) MN-(32(322 ) 2)22sin 2tan2 26() 12 分tan sin 226tan) 6 (ta n) 6 23tan2 tantan3 23島當(dāng)且僅當(dāng)tan，即tan 心 (一，),時(shí)取“=”14分tan323答：當(dāng) EFP 時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形 MNPE面積最大，為62 3。16分3x In x,3319.解：(1)當(dāng) a 時(shí)，f (x) x288所以f (x)3 彳1x 1 一(3x

11、2)(x2,(x0),，2分4x4x令 f (x) =0,得 x 2，當(dāng)j x (0,2)時(shí),f (x)<0,當(dāng) x (2,)時(shí)，f (x)>0,所以函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x 2時(shí)，f (x)有最小值f(2)2(2)由 f(x) ax x In x, a得：f (x),(x0)所以當(dāng)a0時(shí)，f (x) 込x 10，函數(shù)f (x)在(0,)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,)上最多有一個(gè)零點(diǎn),d 2又當(dāng)1a 0 時(shí)，f (1) a 10,fQ)0，e e綜上，當(dāng)1 a 0時(shí)，函數(shù)f (x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)； 8分(3)由(:2)知

12、：當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)f (x)在(0,)上最多有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以 an 9分由 f (x)ax2 x In x, a R，得1:f (x) 2ax 1-x2ax2 xx-,(x令 g(x)2ax2 x 1，因?yàn)?g(0)10,2a0,所以函數(shù)g (x)在(0,)上有且只有-個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0 ,所以當(dāng)1 a 0時(shí)，函數(shù)f (x)在(0,)上有零點(diǎn),當(dāng)f (x) >0,)，g(x) >0,0)x (0,X0)時(shí)，g(x) <0， f (x)<0，當(dāng)時(shí) x (X0,所以函數(shù)f (x)在(0,X0)上單調(diào)遞減，在(X0,)上單調(diào)遞增，要使得函數(shù)f(x)

13、在(0,)上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)f (x)的最小值f (x0) 0 ,即 ax。？ x ln x00，又因?yàn)?g(x°) 2ax0X010,消去a得：2 In x0X01 0,又因?yàn)閔(x) 2lnxX1 在(0,)上單調(diào)遞增，且 h(1)0，所以X0>1,1則0 丄 1，因?yàn)?ax02X。10，所以2a(丄)21 ( 1(一1)2 1)-X。X0X0X024所以2a在(0,1)上單調(diào)遞增，所以0 a 1, 13分以下驗(yàn)證當(dāng)0 a 1時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。0 ,12a 11a1當(dāng)0 a 1時(shí)，g(丄)孚丄1=0，所以1 xo丄,aaaaa因?yàn)閒($號(hào)1 1 e 步0，且

14、f(xo) 0,e e ee1所以函數(shù)f (x)在(!,x0)上有一個(gè)零點(diǎn)，eQy| oQQQQ又因?yàn)閒(_)p一in一(一1) 1 0 (因?yàn)?In x x 1)，且 f(x°)aaaaaa_所以函數(shù)f (x)在(X。，一)上有一個(gè)零點(diǎn)，a所以當(dāng)0 a 1時(shí)，函數(shù)f(x)在(丄二)上有兩個(gè)零點(diǎn)。e a綜上，實(shí)數(shù)a的取值圍是(0,1)。 16分(注：In x x 1的證明過(guò)程，同學(xué)不妨自己證明書(shū)寫(xiě))20.解：(1)由已知可得：a1,a3,a8成等比數(shù)列，所以 2d)_ a1(a1 7d)，_a 4整理得：4d3a1d，因?yàn)閐 0，所以;4分d 3_(2)設(shè)數(shù)列kn為等比數(shù)列，則k_1

15、水3，又因?yàn)閍k1 ,ak_, ak3成等比數(shù)列，所以務(wù)(k1 1)da1 (k3 1)d務(wù)(k_ 1)d_,2整理，得a1(2k2k1k3)d(k1k3k2k1k32k2),因?yàn)?k2kR，所以 a,2k2k3) d(2k2k3),因?yàn)?k2 k1 k3，所以a1 = d，即色=1; 6分d當(dāng)魚(yú)=1時(shí)，an aLd(n l)dnd，所以 aknknd又因?yàn)閍knn 1a.kjdqn 1,所以 knkLqn 1 ,k所以mkn 1kiqn 1 kiqn 2q(n 2),數(shù)列kn為等比數(shù)列，綜上，當(dāng)Ol =1時(shí)，數(shù)列 kn為等比數(shù)列； 8分d(3)因?yàn)閿?shù)列kn為等比數(shù)列，由(2)知：ai=d , kn kiqn 1 (q 1),因?yàn)閷?duì)于任意nN *，不等式anakn 2kn恒成立,所以不等式naiki ai1 q2k1qn1，所以a12k1qn 1. n 1 ，n kg1即0-a1n2k1qn 1k1qn12k1斗恒成立,q10分F面證明：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)(01)，總存在正整數(shù) m，使得，即證In n1n1 ln qIn因?yàn)?/p>