北京第十八中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 61 等差數(shù)列與等比數(shù)列（3）教學(xué)案（教師版）

1、教案61 等差數(shù)列與等比數(shù)列（3）一、課前檢測(cè)1.x=是a、x、b成等比數(shù)列的( D )條件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要2等比數(shù)列中，若，則等于（ C ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）42直面考點(diǎn)：1）等比數(shù)列的定義；2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。略解：注：等比數(shù)列得到的方程，常常用除法消元。二、知識(shí)梳理1.基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、（公差）比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等。轉(zhuǎn)化為“基本量”是解決問題的基本方法。解讀：“知三求二”。2.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系1）若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，其中是常數(shù)，是的公差。（a>0且a1）；

2、2）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，其中是常數(shù)且，是的公比。3）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則是非零常數(shù)數(shù)列。解讀：1） 2） 3）非零常數(shù)數(shù)列。3.等差與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式重要性質(zhì)比較等 差 數(shù) 列等 比 數(shù) 列定義an為等差數(shù)列an+1-an=d（常數(shù)），nN+2an=an-1+an+1（n2，nN+）通項(xiàng)公式=+（n-1）d=+（n-k）d（）求和公式中項(xiàng)公式等差中項(xiàng)：若a、b、c成等差數(shù)列，則b稱a與c的等差中項(xiàng)，且b=；a、b、c成等差數(shù)列是2b=a+c的充要條件. an為等比數(shù)列是an+12=an·an+2的充分但不必要條件.重要性質(zhì)1(反

3、之不一定成立)；特別地,當(dāng)時(shí),有；特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=。若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，則am·an=ak·al，反之不成立.特別地，。另：即：首尾顛倒相乘，則積相等2下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak，ak+m，ak+2m，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為md.下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak，ak+m，ak+2m，組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為qm.3 成等差數(shù)列。成等比數(shù)列。三、典型例題分析題型1 等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系例1 （2010陜西文16）已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.（）求數(shù)列an的

4、通項(xiàng);（）求數(shù)列2an的前n項(xiàng)和Sn.解：（）由題設(shè)知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列得，解得d1，d0（舍去）， 故an的通項(xiàng)an1+（n1）×1n.()由（）知=2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.變式訓(xùn)練1 （2010北京文16）已知an為等差數(shù)列，且，。（）求an的通項(xiàng)公式；（）若等比數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和公式解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差。 因?yàn)?所以 解得所以 （）設(shè)等比數(shù)列的公比為。 因?yàn)樗约?3。 所以的前項(xiàng)和公式為小結(jié)與拓展：數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，其中是常數(shù)，是的公差。（a>0且a1）.題型2

5、與“前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an”、常用求通項(xiàng)公式的結(jié)合例2 （2009廣東三校一模）數(shù)列an是公差大于零的等差數(shù)列，,是方程的兩根。數(shù)列的前項(xiàng)和為,且，求數(shù)列,的通項(xiàng)公式。解：由.且得 , 在中,令得當(dāng)時(shí),T=,兩式相減得, 變式訓(xùn)練2 已知數(shù)列an的前三項(xiàng)與數(shù)列bn的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，且a12a222a32n1an8n對(duì)任意的nN*都成立，數(shù)列bn1bn是等差數(shù)列求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式。解：a12a222a32n1an8n(nN*) 當(dāng)n2時(shí)，a12a222a32n2an18(n1)(nN*) 得2n1an8，求得an24n，在中令n1，可得a18241，an24n(nN*) 由題意知b18，

6、b24，b32，b2b14，b3b22，數(shù)列bn1bn的公差為2(4)2，bn1bn4(n1)×22n6，法一（迭代法）bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)8(4)(2)(2n8)n27n14(nN*)法二（累加法）即bnbn12n8，bn1bn22n10，b3b22，b2b14，b18，相加得bn8(4)(2)(2n8)8n27n14(nN*)小結(jié)與拓展：1）在數(shù)列an中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為：.是重要考點(diǎn)；2）韋達(dá)定理應(yīng)引起重視；3）迭代法、累加法及累乘法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。題型3 中項(xiàng)公式與最值（數(shù)列具有函數(shù)的性質(zhì)）例3 （2009汕頭一模）在等比數(shù)

7、列an中，an0 (nN），公比q(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，a3與as的等比中項(xiàng)為2。（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bnlog2 an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn當(dāng)最大時(shí)，求n的值。解：（1）因?yàn)閍1a5 + 2a3a5 +a 2a825，所以， + 2a3a5 +25 又ano，a3a55 又a3與a5的等比中項(xiàng)為2，所以，a3a54而q（0,1），所以，a3a5，所以，a34，a51，a116，所以， （2）bnlog2 an5n，所以，bn1bn1，所以，bn是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。所以， 所以，當(dāng)n8時(shí)，0，當(dāng)n9時(shí)，0，n9時(shí)，0，當(dāng)n8

8、或9時(shí)，最大。變式訓(xùn)練3 （2009常德期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，數(shù)列滿足且（）求的通項(xiàng)公式；（）求證：數(shù)列為等比數(shù)列;（）求前n項(xiàng)和的最小值解：(1)由得, (2),; 由上面兩式得,又?jǐn)?shù)列是以-30為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列. (3)由(2)得，= ，是遞增數(shù)列 當(dāng)n=1時(shí), <0；當(dāng)n=2時(shí), <0；當(dāng)n=3時(shí), <0；當(dāng)n=4時(shí), >0，所以,從第4項(xiàng)起的各項(xiàng)均大于0,故前3項(xiàng)之和最小.且 小結(jié)與拓展：1）利用配方法、單調(diào)性法求數(shù)列的最值；2）等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)。四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）1重要思想：基本量思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想。2重要方法：配方法、迭代法、累加法及累乘法。3重要考點(diǎn)：1）數(shù)列an中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為：. 2）韋達(dá)定理：一元二次方程的兩個(gè)根為、，則；反過來，若，則、是方程的兩根。4.等差數(shù)列