奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜預(yù)測(cè)問(wèn)題

1、2016年中國(guó)礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模模擬競(jìng)賽參賽基本信息專(zhuān)用頁(yè)承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。 參賽學(xué)生基本信息題目里約奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜預(yù)測(cè)評(píng)閱編號(hào)（由組委會(huì) 統(tǒng)一填寫(xiě)）姓名（打

2、?。┌嗉?jí)電話本人簽名 日期： 年 月 日里約奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜預(yù)測(cè)摘要本文主要探討了奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜的預(yù)測(cè)問(wèn)題，通過(guò)建立模型對(duì)2016年里約奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜進(jìn)行預(yù)測(cè)。本文主要通過(guò)建立比較時(shí)間序列模型、多遠(yuǎn)線性模型喝灰色預(yù)測(cè)模型，使用MATLAB和SPSS軟件對(duì)歷屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜進(jìn)行分析并最終得到最優(yōu)預(yù)測(cè)模型。在模型一的建立中，我們假設(shè)奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜之語(yǔ)往屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜有關(guān)，使用時(shí)間序列法來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)擬合建立回歸模型。由于模型一得預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際獎(jiǎng)牌榜出入較大，在模型二的建立中，我們綜合考慮了國(guó)家GDP、人口數(shù)量、經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、人口結(jié)構(gòu)和東道主效應(yīng)等因素建立多元回歸模型。 關(guān)鍵詞：一、 問(wèn)題的重述奧運(yùn)會(huì)是

3、競(jìng)技體育頂級(jí)盛會(huì)，其所獲獎(jiǎng)牌數(shù)及國(guó)家排名在一定程度上是衡量一個(gè)國(guó)家體育水平的尺度，也是一個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)、政治和綜合實(shí)力的具體體現(xiàn)之一。2016年8月6日早上7:00在巴西的里約熱內(nèi)盧隆重開(kāi)幕(以下簡(jiǎn)稱(chēng)里約奧運(yùn)會(huì))，對(duì)于正在舉行的里約奧運(yùn)會(huì)，大家普遍關(guān)心的問(wèn)題就是獎(jiǎng)牌榜的排名，奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜成了大家關(guān)心的熱點(diǎn)問(wèn)題。現(xiàn)請(qǐng)查閱資料，并根據(jù)以往各國(guó)獎(jiǎng)牌榜排名情況，以及各國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、人口體質(zhì)、政府政策等各種能影響到獎(jiǎng)牌榜的因素，建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)2016里約奧運(yùn)會(huì)的獎(jiǎng)牌榜前十名。并據(jù)此對(duì)各國(guó)體育水平進(jìn)行分類(lèi)。二、 問(wèn)題的分析 三、 模型假設(shè)俄羅斯隊(duì)因?yàn)榻愒蚪Y(jié)果取預(yù)測(cè)值的2/3世界銀行和奧委會(huì)提供的資料真

4、實(shí)可靠 今年奧運(yùn)會(huì)共頒發(fā)302塊金牌，960塊獎(jiǎng)牌四、 符號(hào)說(shuō)明國(guó)家編號(hào)奧運(yùn)會(huì)屆數(shù)每個(gè)國(guó)家的金牌總數(shù)每個(gè)國(guó)家獎(jiǎng)牌總數(shù)國(guó)家的人口總數(shù)國(guó)民生產(chǎn)總值奧運(yùn)會(huì)主辦國(guó)社會(huì)制度青少年在總?cè)丝诳偹急壤濉?建立模型及求解5.1、模型一得建立與求解5.1.1、模型一的建立：最簡(jiǎn)單的增長(zhǎng)模型就是馬爾薩斯的指數(shù)增長(zhǎng)模型，設(shè)某年的獎(jiǎng)牌數(shù)為 ,年后的獎(jiǎng)牌數(shù)為 ，屆增長(zhǎng)率為常數(shù)，則有：（1）雖然該模型可以較好的預(yù)當(dāng)參賽國(guó)家較少時(shí)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌榜，但在實(shí)際中增長(zhǎng)率并不是常數(shù)且由于各種原因增長(zhǎng)率差別較大，所以此模型無(wú)法有效的預(yù)測(cè)本屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜。時(shí)間序列模型是描述時(shí)間序列統(tǒng)一性的一種常用方法，在預(yù)測(cè)未來(lái)事件時(shí)，通過(guò)該事件的歷史

5、數(shù)據(jù)揭示事假未來(lái)的發(fā)展規(guī)律，從而對(duì)該事件的未來(lái)做出預(yù)測(cè)。時(shí)間序列模型強(qiáng)調(diào)時(shí)間因素在預(yù)測(cè)中的主體作用，暫不考慮外界因素的影響。所以在模型的建立中我們假設(shè)奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜只與歷屆奧運(yùn)會(huì)成績(jī)相關(guān)，暫不考慮其他因素的影響。因?yàn)槊恳粚脢W運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目都在發(fā)生變化，獎(jiǎng)牌總數(shù)也隨之變化，為了使任意兩屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌數(shù)目具有可比性，本文采取獎(jiǎng)牌數(shù)目的相對(duì)值來(lái)進(jìn)行計(jì)算，從而消除獎(jiǎng)牌數(shù)目變化帶來(lái)影響，即使用來(lái)計(jì)算。在模型的建立當(dāng)中，我們使用線性回歸模型來(lái)預(yù)測(cè)2016年奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜。奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)和時(shí)間之間的一元線性回歸模型為： （2）其中為時(shí)間，為待定參數(shù)，為隨機(jī)變量，用MATLAB擬合后得到總獎(jiǎng)牌數(shù)目擬合曲線。5.1.2、

6、模型一的求解以德國(guó)為例進(jìn)行2016年奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜排名：表一： 1992-2012年德國(guó)奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌數(shù)年份金牌數(shù)金牌占比獎(jiǎng)牌總數(shù)獎(jiǎng)牌總數(shù)占比19884819.92%14217.91%19923312.69%8210.06%1996207.94%658.82%2000134.36%566.07%2004144.64%485.16%2008165.30%414.28%2012113.64%444.57%由于1988年德國(guó)分為聯(lián)邦德國(guó)和民主德國(guó)進(jìn)行參賽，數(shù)據(jù)不具有參考價(jià)值，擬合時(shí)不予考慮。德國(guó)歷屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌總數(shù)擬合結(jié)果：圖一：德國(guó)歷屆獎(jiǎng)牌總數(shù)線性回歸擬合曲線表二：獎(jiǎng)牌總數(shù)線性回歸結(jié)果：回歸系數(shù)回歸系數(shù)值

7、估計(jì)0.394-0.012=0.877=28.649=0.006德國(guó)獎(jiǎng)牌總數(shù)線性回歸結(jié)果為：使用SPSS軟件預(yù)測(cè)德國(guó)隊(duì)在今年奧運(yùn)會(huì)中拿到的總獎(jiǎng)牌占比為0.0649。使用同樣方法對(duì)其他國(guó)家進(jìn)行線性擬合結(jié)果如表三所示：、表三：各國(guó)獎(jiǎng)牌總數(shù)占比擬合結(jié)果：國(guó)家擬合方程美國(guó)中國(guó)俄羅斯英國(guó)澳大利亞法國(guó)日本德國(guó)意大利韓國(guó)荷蘭匈牙利通過(guò)對(duì)各個(gè)國(guó)家歷屆獎(jiǎng)牌數(shù)目占比進(jìn)行線性擬合，我們得到了每個(gè)國(guó)家金牌占比和總獎(jiǎng)牌占比與奧運(yùn)會(huì)舉辦屆數(shù)的線性關(guān)系，并由此得到第26界奧運(yùn)會(huì)的獎(jiǎng)牌榜排名。表四：第31屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜預(yù)測(cè)國(guó)家獎(jiǎng)牌總數(shù)獎(jiǎng)牌總數(shù)排名金牌數(shù)金牌數(shù)排名美國(guó)991421中國(guó)972312英國(guó)503124澳大利亞4641

8、15俄羅斯425183法國(guó)376117日本377711德國(guó)378106意大利349108韓國(guó)25101095.2、模型二的建立與求解5.2.1、模型二的建立：由于在模型一中僅考慮時(shí)間因素，線性擬合結(jié)果不理想?？紤]到是否為東道主對(duì)比賽結(jié)果特別是金牌數(shù)量，具有顯著影響，因此在模型二中，采用了灰色GM(1，1)模型與東道主因素相互結(jié)合的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，假設(shè)獎(jiǎng)牌榜上各成員成績(jī)只與是否為東道主和在往屆的表現(xiàn)有關(guān)?？陀^世界中既有大量已知信息又有大量未知信息，相互交織。如果將已知信息稱(chēng)為白色信息，未知或非確知信息稱(chēng)為黑色信息，既含有已知信息又含有未知或非確知信息的系統(tǒng)稱(chēng)為灰色系統(tǒng)。這些系統(tǒng)僅具有以時(shí)間為序列的

9、數(shù)據(jù)，因此在研究時(shí)可將時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為微分方程，建立抽象系統(tǒng)發(fā)展變化的動(dòng)態(tài)模型，這就是灰色DM或GM模型。在模型二中，為排除東道主所產(chǎn)生的顯著影響，首先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，將東道主當(dāng)年獎(jiǎng)牌與金牌占有量修正為上下兩屆的平均數(shù)。同時(shí)考慮到各國(guó)的體育水平更多地由金牌（或獎(jiǎng)牌）占有量體現(xiàn)，而不是由純粹的數(shù)量決定，因此為了使任意兩屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌數(shù)目具有可比性，本文采取獎(jiǎng)牌數(shù)目的相對(duì)值來(lái)進(jìn)行計(jì)算，從而消除獎(jiǎng)牌數(shù)目變化帶來(lái)影響，即使用來(lái)計(jì)算。特別的，為簡(jiǎn)化運(yùn)算假設(shè)本屆將有金牌量為302個(gè)，獎(jiǎng)牌量為960個(gè)，因此，。GM(n，h)模型是指n序列h階線性動(dòng)態(tài)模型，在模型二中我們采取單序列一階線性動(dòng)態(tài)模型，即GM(

10、1,1)模型。假設(shè)按照時(shí)間排列的處理后的金牌榜數(shù)據(jù)為，利用累加生成法得到新數(shù)列，其中： （3）生成的數(shù)列為一階一個(gè)參數(shù)的灰色微分方程，記為GM（1,1），即 （4）其中，為待定常數(shù)，t為時(shí)間變量。該微分方程的解為： （5） 該式的參數(shù)列為 用最小二乘法求出 由灰色GM(1，1)模型，有 根據(jù)線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以求解、化簡(jiǎn)得到： （6） （7） （8）由微分方程的解的表達(dá)式可求得因此第n項(xiàng)的估測(cè)值為: （9）通過(guò)以上計(jì)算得到的擬合值、預(yù)測(cè)值，與給定數(shù)列存在一定誤差，稱(chēng)為殘差。構(gòu)造殘差數(shù)列 （10）殘差數(shù)列可以揭示數(shù)據(jù)擬合值與實(shí)際值的差額，也可利用此序列再次應(yīng)用GM(1，1)模型進(jìn)行同樣的計(jì)算，

11、得到預(yù)測(cè)值的修正值。將金牌榜獎(jiǎng)牌榜數(shù)據(jù)代入，可得到預(yù)測(cè)的金牌榜獎(jiǎng)牌榜數(shù)據(jù)及排名。獎(jiǎng)牌預(yù)測(cè)同理。5.2.2、模型二的求解以韓國(guó)的金牌數(shù)預(yù)測(cè)為例，對(duì)模型二進(jìn)行求解。首先，對(duì)韓國(guó)歷屆獲得金牌數(shù)量排除東道主因素的影響，并利用韓國(guó)每一屆的金牌占比得到經(jīng)過(guò)修正的金牌數(shù)，如下表所示：表五 韓國(guó)歷屆奧運(yùn)會(huì)金牌獲得情況年份金牌數(shù)金牌占比修正金牌數(shù)1988120.04979253113.938461992120.04615384613.93846199670.0277777788.388889200080.0268456388.107383200490.02980132592008130.043046358132

12、012130.04304635813利用式（3）得到待處理數(shù)據(jù)：數(shù)列、，如下表所示表六 灰色模型待處理數(shù)據(jù)年份1988199219962000200420082012序號(hào)123456713.9384613.938468.3888898.1073839131313.9384627.8769236.2658144.3731953.3731966.3731979.37319為求出a、u，由兩個(gè)式子可計(jì)算出矩陣B、H中各元素，即h(i)與b(i)的值，具體數(shù)值如下表所示表七 灰色模型計(jì)算過(guò)程量123456Sum13.948.398.119.0013.0013.0065.43-20.91-32.07-4

13、0.32-48.87-59.87-72.87-274.92437.131028.571625.662388.593584.805310.5014375.26-291.42-269.04-326.89-439.86-778.35-947.35-3052.91由上表數(shù)據(jù)，以及式（6）、（7）、（8）可以求出a、u的值，由式（5）可知所構(gòu)造的一階微分方程的解為將k依次代入,得到韓國(guó)各屆奧運(yùn)金牌的預(yù)測(cè)值，并根據(jù)式（10）求出殘差。所求數(shù)據(jù)如下表所示：表八 韓國(guó)各屆奧運(yùn)金牌預(yù)測(cè)值及殘差年份19881992199620002004200820122016序號(hào)1234567813.9410.0810.391

14、0.7211.0511.4011.7612.1213.9424.0234.4145.1356.1867.5879.3491.46殘差E(k）0.00-3.862.012.612.05-1.60-1.24擬合值與原值曲線如下圖二 韓國(guó)各屆奧運(yùn)金牌數(shù)與預(yù)測(cè)金牌數(shù)曲線其他國(guó)家以及獎(jiǎng)牌榜同理，整理數(shù)據(jù)可得：表九 2016年奧運(yùn)會(huì)預(yù)測(cè)排名及各國(guó)金牌獎(jiǎng)牌數(shù)量預(yù)測(cè)值國(guó)家金牌金牌名次獎(jiǎng)牌獎(jiǎng)牌名次中國(guó)4611011美國(guó)402982英國(guó)283593澳大利亞124445韓國(guó)1252710日本126406俄羅斯117444德國(guó)108377法國(guó)99358意大利9102995.3、模型三的建立與求解：5.2.1、模型三的

15、建立：在實(shí)際問(wèn)題中，不同國(guó)家性質(zhì)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平都極大的影響奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜排名，在模型二的建立中我們引入一國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)總收入（）、人口總數(shù)（）、青少年在總?cè)丝谥兴急壤ǎ┲鬓k國(guó)（）和政治體系（）等因素進(jìn)行綜合分析預(yù)測(cè)?；跉v屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜，以各個(gè)國(guó)家獎(jiǎng)牌榜占比作為因變量，各影響因素作為自變量，其中國(guó)家體制和東道主效應(yīng)是虛擬變量，建立線性模型如下： （3） 其中、均取奧運(yùn)會(huì)舉辦前一年的數(shù)據(jù)，奧運(yùn)會(huì)東道主國(guó)家取1，非東道主國(guó)家取0；社會(huì)主義國(guó)家取1，非社會(huì)主義國(guó)家取0。5.2.2、模型三的求解：5.2.2.1、變量的統(tǒng)計(jì)描述和標(biāo)準(zhǔn)化：由于世界發(fā)展的不斷變化，影響奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜的各個(gè)因素在不同的時(shí)期差異頗

16、大，為使各個(gè)因素在不同時(shí)期具有可比性，首先對(duì)影響奧運(yùn)會(huì)各個(gè)參賽國(guó)獎(jiǎng)牌榜排名的的因素進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，計(jì)算了每個(gè)國(guó)家各個(gè)指標(biāo)的份額，即，表示影響變量，表示每一項(xiàng)指標(biāo)。5.2.2.1、模型三的求解：以美國(guó)為例求解模型三：表五：1988-2015年每屆奧運(yùn)會(huì)美國(guó)各項(xiàng)指標(biāo)年份屆數(shù)金牌占比獎(jiǎng)牌占比GDP 占比人口占比青年占比GDP增長(zhǎng)率東道主19882414.94%12.72%37.82%4.65%21.61%3.46%019922514.23%13.25%31.84%4.72%21.69%-0.07%019962617.46%13.70%29.38%4.69%21.75%2.72%120002712.42%9.98%35.75%4.65%21.39%4.69%020042811.59%11.08%36.21%4.60%20.82%2.81%020082911.92%11.48%31.58%4.56%20.24%1.78%020123015.23%10.81%30.52%4.47%19.56%1.60%0美國(guó)為資本主義國(guó)家，社會(huì)質(zhì)素均取0在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，我們使用MATLAB對(duì)變量進(jìn)行多元線性擬合，得到回歸模型： 5.35.4六、結(jié)