初三二次函數(shù)最值題目和給定范圍最值

1、二次函數(shù)中的最值問(wèn)題重難點(diǎn)復(fù)習(xí)一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常數(shù)， a 0） ，那么 y 叫做 x的二次函數(shù)22二次函數(shù)y ax bx c 用配方法可化成：y a（x h） k 的形式y(tǒng) ax2 bx c a xb22ay a x h 2 k的形式，得到頂點(diǎn)為（ h, k），對(duì)稱軸是x h .224ac bb 4ac bb，頂點(diǎn)是（，） ，對(duì)稱軸是直線x .4a2a 4a2a二次函數(shù)常用來(lái)解決最值問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大（ 小 ） 值。一般而言，最大（ 小 ） 值會(huì)在頂點(diǎn)處取得，達(dá)到最大（小 ）值時(shí)的 x即為頂點(diǎn)橫坐標(biāo)值，最大（小 ）值也就是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)值。自變量 x

2、取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況b4ac b2（ 1）當(dāng) a 0 時(shí)，函數(shù)在x 處取得最小值，無(wú)最大值；2a4ab4ac b2（ 2）當(dāng)a 0 時(shí)，函數(shù)在x 處取得最大值，無(wú)最小值2a4a（ 3）二次函數(shù)最大值或最小值的求法第一步：確定a 的符號(hào)，a 0 有最小值，a 0 有最大值；第二步：配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值2. 自變量 x 在某一范圍內(nèi)的最值如： y ax2 bx c 在 m x n （其中 m n ）的最值第一步：先通過(guò)配方，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸：x x0b ；2a第二步：討論：1 若 a 0 時(shí)求最小值（或a 0 時(shí)求最大值），需分三種情況討論：（ 以 a 0 時(shí)求最

3、小值為例）2對(duì)稱軸小于m 即 x0 m ，即對(duì)稱軸在m x n 的左側(cè)，在x m 處取最小值yminam bm c ；2對(duì)稱軸m x0n ，即對(duì)稱軸在m x n 的內(nèi)部，在x x0 處取最小值ymin ax0bx0 c ；對(duì)稱軸大于n 即 x0 n ，即對(duì)稱軸在m x n 的右側(cè)，在x n 處取最小值yminan2 bn c .2 若 a 0時(shí)求最大值（或a 0時(shí)求最小值），需分兩種情況討論：（以 a 0時(shí)求最小值為例）mn2對(duì)稱軸x0，即對(duì)稱軸在m x n 的中點(diǎn)的左側(cè)，在x n 處取最大值ymax an bn c；02mn2對(duì)稱軸x0，即對(duì)稱軸在m x n 的中點(diǎn)的右側(cè)，在x m 處取最大

4、值ymax am bm c2小結(jié)： 對(duì)二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié) 如下：b1f (m)，(m n)(如圖1)a0時(shí) f (x)max2a 2f(x)minb1f (n)，(m n)(如圖2)bf (n)，n(如圖3)2abbf ()， mn(如圖4)2a 2abf (m)，m(如圖5)2af (n)，bn(如圖6)b 12af (m)，(m n)(如圖9)a 0時(shí) f(x)max f ( b )， m bn(如圖7) f (x)minab12a b 2af (n)，(m n)(如圖10)f (m)，m(如圖8)2a 22a另法： y ax2 bx c(a 0) 當(dāng) m x n (其中

5、m n )的最值：b求出函數(shù)的對(duì)稱軸x x0b ，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中2a若 m x0 n ，則分別求出m,x0,n 處的函數(shù)值f (m)， f (x0)， f (n) ，則三函數(shù)值最大者即最大值，最小者即為最小值；若x0 m或 x0 n 時(shí)，則求出m,n 處的函數(shù)值f (m) ， f (n) ，則兩函數(shù)值中大者即為最大值，最小者即為最小值。2a 210基礎(chǔ)鞏固:將下列函數(shù)寫(xiě)成頂點(diǎn)式, 并寫(xiě)出對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo):22（1） y 2x 4x 5 ；（2） y （1 x）（x 2）（3） y 2x 3x 52(4) y x x 12(5) y x 4x 22(6) y ax 4ax 1例 1. 求下列

6、函數(shù)的最大值或最小值222（ 1） y 2x 3x 5 ；（ 2） y x 3x 4 （ 3） y 2x 4ax 1例 1（ 1） 最小值為49 無(wú)最大值；（2）最大值為25 ，無(wú)最小值.844）2y ax 2x (5) y82x 4x 6練習(xí) : 求下列函數(shù)的最大值或最小值2(1) y x 4x 1(2) y2x2 4x(3) y x2 2ax(4)ax2 4xa(5) y 2x2 4x的最小值是例 2. 、 如圖， 拋物線 y x2 2x p與直線 y x交于點(diǎn)A（ -1， m） 、 B（ 4，n） ，點(diǎn) M 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OM（ 1）求m， n， p。（ 2）當(dāng)M 為拋物線的

7、頂點(diǎn)時(shí)，求M 坐標(biāo)和OMB 的面積；（ 3） 當(dāng)點(diǎn) M 在直線 AB 的下方且在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，M 運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)， OMB 的面積最大。練習(xí) ：1如圖，二次函數(shù)y=ax 2+bx+c（a0）的圖象與x 軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)C，且二次函數(shù)的最小值為4，（ 1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若 M （m，n） （0m3）為此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MC 、MB ，試求當(dāng)m 為何值時(shí)， MBC 的面積最大？并求出這個(gè)最大值考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專題：代數(shù)幾何綜合題分析： （ 1）根據(jù)點(diǎn)A、 B 的坐標(biāo)求出對(duì)稱軸解析式，從而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)頂點(diǎn)式解析式，把點(diǎn)A 的坐標(biāo)

8、代入計(jì)算即可得解；（ 2）根據(jù)點(diǎn)B 、 C 的坐標(biāo)求出OB 、 OC 的長(zhǎng)度，利用勾股定理求出BC，再求出直線BC 的解析式，根據(jù)三角形的面積，當(dāng)平行于BC 的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)MBC 的面積最大，再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等設(shè)出平行線的解析式，然后與拋物線聯(lián)立消掉y 得到關(guān)于x 的一元二次方程，然后利用根的判別式=0求出直線的解析式，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)M 到 BC 的距離，然后求解即可；（ 3）根據(jù)拋物線的解析式設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（x， x2 2x 3） ，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及點(diǎn)P 在點(diǎn) Q 的左側(cè)，表示出 EF=2（ 1 x） ，然后根據(jù)正方形的四條邊都相等列式，

9、再分 x1 時(shí)點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)是正數(shù)， 1 x 0）與y 軸交于 C 點(diǎn)，與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)， A 點(diǎn)在 B 點(diǎn)左側(cè)點(diǎn)B 的坐標(biāo)為（ 1 ， 0） ， OC=3BO （ 1）求拋物線的解析式；（ 2）若點(diǎn)D 是線段 AC 下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD 面積的最大值；解答： 解： ( 1)拋物線的解析式為：( 2 分)( 2)AC 的解析式為：( 3 分) S 四邊形ABCD =S ABC +S ADC=設(shè)，當(dāng) x= 2 時(shí)， DM 有最大值3此時(shí)四邊形ABCD 面積有最大值例 3.(1) 當(dāng) 1 x 4時(shí)，求函數(shù)y x2 4x 1 的最大值和最小值2(2) 當(dāng) 1 x 2時(shí)

10、，求函數(shù)yx2 x 1 的最大值和最小值例 2.(2)當(dāng) x 1 時(shí)，ymin1，當(dāng) x 2時(shí)， ymax 5鞏固練習(xí)(1) 函數(shù) y2x2 4x 1在區(qū)間 3 x 0 上的最大值是，最小值是.319( 2)已知0 x ，求函數(shù)f (xx)x1 的最值 . 最小值為1，最大值為24(3) 函數(shù) y 3x2 3x 1 在區(qū)間 1 x 0 上的最大值是，最小值是.( 4)函數(shù)yx24x 2在區(qū)間 0 x 3 上的最大值是，最小值是. 2，-2(5) 0 x 3 , 求函數(shù) y x(2 x) 的取值范圍(6) 函數(shù) y x2 x a 在區(qū)間 3 x 1 上的最大值是，最小值是.(a 為常數(shù) )例 4

11、. 已知關(guān)于x 的函數(shù) yx22ax 2 在 5 x 5 上(1) 當(dāng) a 1 時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；(2) 當(dāng) a 為實(shí)數(shù)時(shí)，求函數(shù)的最值(1) 當(dāng) x 1時(shí)， ymin 1 ；當(dāng) x 5 時(shí)，ymax37 (2) 當(dāng) a 0時(shí)，ymax27 10a；當(dāng) a 0時(shí)，ymax27 10a練習(xí) ：求關(guān)于x 的二次函數(shù)y x22tx 1 在 1 x 1 上的最值 (t為常數(shù))21) 拋物線 y x (m 4)x 2m 3，當(dāng)m= 時(shí)，圖象的對(duì)稱軸是y軸；當(dāng)m = 時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在x軸上；3當(dāng) m = 時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)4 14 或 2，22用一長(zhǎng)度為l 米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，則其所圍成

12、的最大面積為l21623求下列二次函數(shù)的最值：(1) y 2x 4x 5；2) ) y (1 x)(x 2) 9(1) 有最小值3，無(wú)最大值；(2) 有最大值，無(wú)最小值44求二次函數(shù)y 2x2 3x 5在 2 x 2 上的最大值和最小值，并求對(duì)應(yīng)的x的值3 31當(dāng) x 時(shí)，ymin；當(dāng) x 2 時(shí)，ymax 19 4 mn 85函數(shù)y x 2 x 1 在區(qū)間1 x 1 上的最小值和最大值分別是() B311(A)1, 3(B) 3, 3( C)1 , 3( D)1 ,34246函數(shù) yx2 4x 2在區(qū)間 1 x 4上的最小值是() C(A) 7(B) 4(C) 2(D)27函數(shù) y 28 的最值為() Bx 4x 5(A)最大值為8，最小值為0(B) 不存在最小值，最大值為8C)最小值為0, 不存在最大值(D) 不存在最小值，也不存在最大值8. 已知二次函數(shù)y x2 6x m的最小值為1，那么 m 的值為.1029對(duì)于函數(shù)y 2x 4x 3，當(dāng) x 0時(shí)，求 y的取值范圍y 510求函數(shù)y 3 5x 3x2 2的最小值當(dāng)x 5時(shí)，ymin633 ；當(dāng)6x 2或 13時(shí)，ymax3 11. 已知關(guān)于x的函數(shù) y x2 2ax 2在 5 x 5上(1) 當(dāng) a 1 時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；2) 當(dāng) a 為常數(shù)時(shí)，求函數(shù)的最大值.(1) 當(dāng) x 1 時(shí)，ymin1 ； 當(dāng) x