2012年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷 教師版

1、2012年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷 一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，要求直接填寫結(jié)果，每題答對(duì)得4分，否則一律得零分。 1（4分）（2012?上海）已知集合A=1，2，k，B=2，5若AB=1，2，3，5，則k= 3 【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算定義即可得k的值 【解答】解：A=1，2，k，B=2，5，且AB=1，2，3，5 3A k=3 故答案為：3 2（4分）（2012?上海）函數(shù)y= 的定義域是 2，+） 【分析】根據(jù)根有意義的條件的條件進(jìn)行求解； 【解答】解：函數(shù)y= ， x+20， x2， 故答案為：2，+）； 2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 （2，2012?上海）拋物線y0） 3

2、（4分）（ 【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可求得p，根據(jù)拋物線的性質(zhì)進(jìn)而可得焦點(diǎn)坐標(biāo) 2=8x，【解答】解：拋物線y 所以p=4， 所以焦點(diǎn)（2，0）， 故答案為（2，0） 4（4分）（2012?上海）若復(fù)數(shù)z滿足iz=1+i（i為虛數(shù)單位），則z= 1i 【分析】由iz=1+i，兩邊除以i，按照復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則化簡計(jì)算 =1i+iz=1i，得z=解：由【解答】 故答案為：1i 5（4分）（2012?上海）函數(shù)f（x）=sin（2x+）的最小正周期為 【分析】由函數(shù)解析式找出的值，代入周期公式T=中，即可求出函數(shù)的最 小正周期 【解答】解：f（x）=sin（2x+）， =2， =，T= 則

3、函數(shù)的最小正周期為 故答案為： xx1+=0的解為 x=1 4分）（2012?上海）方程426（ x2x，代入方程關(guān)系式即可=2由于【分析】4 x2x，=2【解答】解：4 xx12xx1+，2=2可化為：2=04方程 2x=x+1， x=1 故答案為：1 ，則 7（4分）（2012?上海）若 1+aa+a=a+a+a+ 513420 即可求出所有項(xiàng)的系數(shù)之和，即為結(jié)論1【分析】直接令變量為 5，+a+a+a1）a=1=a+a2【解答】解：令x=1可得，（ 513402，=1a+a+a+a+a+a則 5410321故答案為： 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)m= =2 上海）若8（4分）（2012?f（x） 為

4、奇函數(shù)，可得f（=f【分析】由（x）1）=f（1），代入可求 【解答】解：f（x）=為奇函數(shù)， f（1）=f（1） 即m1=3（1+m） m=2 故答案為：2 ， 的最大值為 5 y=4分）（2012?上海）函數(shù)（9 【分析】利用換元法，設(shè)t=logx，則t1，2，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=t+在 2 1，2上的最大值問題，利用導(dǎo)數(shù)證明此函數(shù)為減函數(shù)，利用單調(diào)性求最值即可 【解答】解：設(shè)t=logx，x2，4，t1，2 2 y=t+的導(dǎo)函數(shù)y=10 t1，2 y=t+在1，2上為減函數(shù)， y=t+的最大值為1+=5 ， 的最大值為 5 y= 故答案為 5 10（4分）（2012?上海）若復(fù)數(shù)z滿足

5、|zi| （i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平 面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為 2 ）為圓心，為的軌跡是以（0，zi|1 的幾何意義可知，點(diǎn)Z【分析】由| 半徑的實(shí)心圓由圓的面積公式可得答案 ，i|【解答】解：|z z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是以（0，1）為圓心， 為半徑的實(shí)心圓， =2 該圓的面積為： 故答案為：2 11（4分）（2012?上海）某校要從2名男生和4名女生中選出4人擔(dān)任某游泳 （結(jié)男、女生都有的概率為 賽事的志愿者工作，則在選出的志愿者中， 果用數(shù)值表示） 再分析選名女生中選出4人數(shù)目，名男生和【分析】根據(jù)題意，首先計(jì)算從24女生都有的情況數(shù)目，由排除法可得男、人中只有男生、出的4女生

6、的數(shù)目，進(jìn)而由等可能事件的概率公式，計(jì)算可得答案 4種取法，=15有442根據(jù)題意，【解答】解：從名男生和名女生中選出人，C 64種情況，沒有全部為男生的情況，C其中全部為女生的有=1 4則選出的4名志愿者中，男、女生都有的情況有151=14種， 則其概率為； 故答案為 2kx+k10對(duì)x（112（4分）（2012?上海）若不等式x，2）恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （，2 【分析】根據(jù)題意，分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍 22xk10可化為（1x【解答】解：不等式x）kx+k1 x（1，2） x=1+k 是一個(gè)增函數(shù)+xy=1 1=2+k1 2實(shí)數(shù)k取值范圍是（， 2故

7、答案為：（， 的首項(xiàng)及公差均為正數(shù)，令（2012?上海）已知等差數(shù)列a13（4分）n ， k=b 的最大項(xiàng)時(shí)， 當(dāng)b是數(shù)列 nk 1006 ，由 ， ， 【分析】設(shè) 2222222222=+yyb+x）+y，=2（式根據(jù)基本不等（x+y）x=x+y得+2xyx+n2 ，由此能求出結(jié)果=4a）=2（ 2a）2（a+a（ 1006nn10062012， 【解答】解：設(shè) ， 222222222，+yy+x）+y=2（）根據(jù)基本不等式（x+yx=x+y2xy+x+ 22 ，（=22a）=4a）+b得（= ）2（aa 10061006nnn2012取到最大值，b時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a=a n2012nnk=10

8、06，所以此時(shí)n=1006 故答案為：1006 滿足a，a，a，a1，114（4分）（2012?上海）若矩陣， 22121121 =0，則這樣的互不相等的矩陣共有 8 個(gè)且 【分析】根據(jù)題意，分類討論，分主對(duì)角線相同、相反，即可得出結(jié)論 ，a，a解：，a，a1，1，【解答】 22111221 、可以是、矩陣 、 故答案為：8 二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，選對(duì)得5分，否則一律得零分。 15（5分）（2012?上海）已知橢圓C：+=1，C：+=1，則（ ） 21 AC與C頂點(diǎn)相同BC與C長軸長相同 2121CC與C短軸長相同DC與

9、C焦距相等 2121【分析】求出兩個(gè)橢圓的a，b，c 即可判斷選項(xiàng) ，所以a= ，b=2，c=2 ： 【解答】解：因?yàn)闄E圓 ，所以a=4，b=2 ，c=2 ；： 橢圓 所以兩個(gè)橢圓有相同的焦距 故選：D 1（x）x）的反函數(shù)為y=f如果函數(shù)y=f16（5分）（2012?上海）記函數(shù)y=f（1（x）+1的圖象過點(diǎn)（ ）的圖象過點(diǎn)（1，0），那么函數(shù)y=f ）（x A（0，0）B（0，2）C（1，1）D（2，0） 1（x）必過點(diǎn)（0y=f，1），從而可得答案【分析】由題意可知， 【解答】解：y=f（x）的圖象過點(diǎn)（1，0）， 11（0）=1，）必過點(diǎn)（0，1），即y=f其反函數(shù)fx（ 1（x）+1

10、的圖象過點(diǎn)（0，y=f2） 故選：B n與l異面，且m與l若n、m、l上海）已知空間三條直線2012?（分）5（17異面，則（ ） Am與n異面 Bm與n相交 Cm與n平行 Dm與n異面、相交、平行均有可能 【分析】可根據(jù)題目中的信息作圖判斷即可 【解答】解：空間三條直線l、m、n若l與m異面，且l與n異面， m與n可能異面（如圖3），也可能平行（圖1），也可能相交（圖2）， 故選：D 滿足z、y、上海）設(shè)O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)若實(shí)數(shù)x（185分）（2012? 222”的邊所在直線上O在ABC0），則“xyz=0”是“=x +y +z ，（x點(diǎn)+y+z） 的（ 必要而不充分條件BA充分而不必

11、要條件 既不充分也不必要條件C充要條件D ， z = =0移項(xiàng)得x +y 【分析】畫出草圖，根據(jù)已知條件x+y +z，再根據(jù)三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解；0，z只有一個(gè)為再由xyz=0，推出x，y =+、yz滿足x +y z所在平面內(nèi)一點(diǎn)實(shí)數(shù)解：【解答】O為ABCx、222，+zy）0（x+ ， x +y=z 222z+y+x這與，z=0可推出，x=y=0（否則若，0中只能有一個(gè)為z、y、x則xyz=0”若0矛盾） ， =z ， y假設(shè)x=0（、z不為0），可得y 上；邊只能在ABCBC向量 和 共線，O 共線， ABC的邊所在直線上，假設(shè)在邊AB上，說明向量 和若點(diǎn)O在 ，z=0 ，xyz=0 的充

12、要條件；的邊所在直線上點(diǎn)O在ABC”“xyz=0”是“ 故選：C 題，解答下列各題必須寫出必要三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5的步驟。 ，高C1D的底面邊長為12分）（2012?上海）如圖，正四棱柱ABCDAB19（1111的中點(diǎn)ABM為線段為2， 的體積；MBC1求：（）三棱錐C 1MC所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）異面直線CD與 1 ，得到1ABCD邊長為中點(diǎn)，且正方形CM，根據(jù)M為AB（【分析】1）連接 的MBC平面ABCD，是三棱錐因?yàn)锽CM的面積為S=S=CC11ABCD 正方形 的體積；MBC高，所以利用錐體體積公式，可得三棱錐C 1（或其補(bǔ)角）為異C，所以

13、MBABCD中，因?yàn)镃DAB，正方形（2）連接BC11 ，AB=，而=BCBMCRt所成的角與面直線CDMC中，可算出 MB= 111 MB=，所以異面直= 利用直角三角形中三角函數(shù)的定義，得到tanC 1 arctan 線CD與MC所成角為 1，CM1）連接【解答】解：（ ，中點(diǎn)，且邊長為1中，正方形ABCDM為AB =SBCM的面積為S= ABCD正方形 又CC平面ABCD， 1CC是三棱錐CMBC的高， 11 三棱錐CMBC的體積為：V=××2=； MBCC11 （2）連接BC 1CDAB， CMB（或其補(bǔ)角）為異面直線CD與MC所成的角 11?平面BCBCCB，AB

14、平面BCCB， 11111ABBC 1 BCRtMCB中，=，MB=AB= 11 CMB=tan 1 MCCD與所成角為arctan所以異面直線 1 上海）某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時(shí)運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線的長（分）2012?20（14千米（忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異）30均為 10列列車同時(shí)在內(nèi)環(huán)線上運(yùn)行時(shí)，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時(shí)間為）當(dāng)（19分鐘，求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度； （2）新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25千米/小時(shí)，外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時(shí)現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運(yùn)行，要使內(nèi)外環(huán)線乘客的最長候車時(shí)間之差不超過1分鐘，向內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運(yùn)行？ 【分析】（

15、1）設(shè)內(nèi)環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時(shí)，根據(jù)內(nèi)環(huán)線乘客最長候 ，從而可求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度；可得10分鐘，車時(shí)間為 （2）設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x列列車運(yùn)行，則外環(huán)線投入（18x）列列車運(yùn)行，分別求 ，出內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時(shí)間 ，解不等式，即可求得結(jié)論 ，根據(jù) 【解答】解：（1）設(shè)內(nèi)環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時(shí)，則要使內(nèi)環(huán)線乘客 分鐘，可得最長候車時(shí)間為10 v20 要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時(shí)間為10分鐘，內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度是20千米/小時(shí)； （2）設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x列列車運(yùn)行，則外環(huán)線投入（18x）列列車運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時(shí)間分別為t，t分鐘， 21 則 ， xN，x=10

16、+當(dāng)內(nèi)環(huán)線投入10列列車運(yùn)行，外環(huán)線投入8列列車時(shí)，內(nèi)外環(huán)線乘客的最長候車時(shí)間之差不超過1分鐘 14分）C：（2012?上海）已知雙曲線21（ 1 （1）求與雙曲線C有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P（4， ）的雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； 21 （2）直線l：y=x+m分別交雙曲線C=3 ? 兩點(diǎn)當(dāng)B、A的兩條漸近線于1時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值 的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線C與雙曲【分析】（1）先確定雙曲線C： 21 線C有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P（4， ），建立方程組，從而可求雙曲線C的標(biāo) 21準(zhǔn)方程； （2）直線方程與雙曲線C的兩條漸近線聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)用坐標(biāo)，1利用數(shù)量積，即可求得實(shí)數(shù)m的值 ， ：1）雙曲線C【解答

17、】解：（ 1 ， 0） ，0），焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，）0，b0 （a的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)雙曲線C 2 ） C雙曲線C與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P（4， 12 ，解得 的標(biāo)準(zhǔn)方程為C雙曲線 2 2x，y=的兩條漸近線為（2）雙曲線Cy=2x 1 ）2mm，由，可得x=m，y=2m，A（ ），m，y=m，B（m由，可得x=m 2=3m 滿足1622（分）（2012?上海）已知數(shù)列a、b、c nnn 的值；、時(shí)，求bb3+1）設(shè)c=3n6，a是公差為的等差數(shù)列當(dāng)b=1（ 3n1n2* N 求正整數(shù)k，使得對(duì)一切n ；，均有b， （2）設(shè)b kn ， 的通項(xiàng)公式b=1b時(shí)，求數(shù)列 3（）設(shè)當(dāng) n1 【分析】（1

18、）先根據(jù)條件得到數(shù)列b的遞推關(guān)系式，即可求出結(jié)論； n（2）先根據(jù)條件得到數(shù)列b的遞推關(guān)系式；進(jìn)而判斷出其增減性，即可求出n結(jié)論； （3）先根據(jù)條件得到數(shù)列b的遞推關(guān)系式；再結(jié)合疊加法以及分類討論分情n況求出數(shù)列b的通項(xiàng)公式，最后綜合即可 n【解答】解：（1）aa=3， n1n+bb=n+2， nn1+b=1， 1b=4，b=8 32 2）（ aa=2n7， n1n+ ，b=b nn1+ ；bbbn由bb0，解得4，即 6n154n+bbbb0，解得n3，即bb由 43n121n+k=4 1n+，1）（3）aa=（ nn1+nn1+（1）+（2nbb= n1n+nn1+n1）（n2）bb=（1

19、）（2 1nn1+1=2b；故b 122+22），b=（1）（b 23 n1n2+n2=bb（1）2）（ 2nn1nn1+n1）b=（1）（2b 1nn當(dāng)n=2k時(shí)，以上各式相加得 2n2n1）+12+（n+22）+（n12bb=（2+2） 1n =+=+ =+b+= n 當(dāng)n=2k1時(shí)， n+n）+（2=+ =+ b= n 23（18分）（2012?上海）定義向量 =（a，b）的“相伴函數(shù)”為（fx）=asinx+bcosx， 記O為坐標(biāo)原點(diǎn)）a，b）（其中+bcosx的“相伴向量”為 =（函數(shù)f（x）=asinxS”構(gòu)成的集合為平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù) ；）S，求證：g（xx）=3sin（x+）+4sinx（1）設(shè)g（ 的模；，求其“相伴向量”+2co