安元杰-第12節(jié)解析幾何-圓錐曲線匯總

1、西安遠(yuǎn)東仁民補習(xí)學(xué)校一對一個性化輔導(dǎo)中心學(xué)員輔導(dǎo)教案1學(xué)生姓名：安元杰授課時間2016年4月1日（星期五）科目：數(shù)學(xué)圓錐曲線的方程與性質(zhì)（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點 F1、F2的距離的和等于常數(shù) 2a （大于IF1F2I）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點,則有 IMFj 1 + 1 MF2 |=2a。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2y芻=1 ( a Ab aO) b（焦點在x軸上）2十y或 2a2x+ =1 ( ab > 0 )(焦點在 by軸上）。注：以上方程中a,b的大小a >b aO，其中,222b =a c ；2在x2

2、a2+計1和2x=1兩個方程中都有b2a Ab aO的條件，要分清焦點的位置，只要看x2和y2的分母的大小。2x y例如橢圓 一+ =1 （ m > 0, n > 0 , mHn ）當(dāng)m>n時表示焦點在x軸上的橢圓；當(dāng)m nmen時表示焦點在y軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)x2 范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程 +a2 y b2=1知|x|Ea , |y戶b，說明橢圓位于直線 x=±a, y = ±b所圍成的矩形里;對稱性：在曲線方程里,若以-y代替y方程不變，所以若點（x,y）在曲線上時，點（x,-y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對稱,同理,以-X代替x方程不變，則曲線關(guān)

3、于y軸對稱。若同時以-X代替x , -y代替y方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱 中心叫橢圓的中心;頂點：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與 x軸、y軸的交點坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,令x=0，得y=，貝y Bi（0, -b） , B2（0,b）是橢圓與 y軸的兩個交點。同理令y=0得x = ±a，即A（-a,0） , A2（a,0）是橢圓與x軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段 AA、BB2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b

4、, a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為a ;在 Rt也OB2F2 中，0B2=b , OF2 = c ,222999 B2F2 = a，且 OF2 H B2F2 -OB2 ,即 c =a -b ；c離心率：橢圓的焦距與長軸的比 e=叫橢圓的離心率。 ac>0, Oceci，且e越接近i, ca就越接近a，從而b就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之， e越接近于0 , c就越接近于0 ,從而b越接近于a ,這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng) a=b時，c=0，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2 + y2 = a2。2.雙曲線（1）雙曲線的概念I(lǐng)IP F

5、i-PF2|=2a ）。平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（注意：式中是差的絕對值，在0v2avFiF2條件下；PFi- PF2=2a時為雙曲線的一支;|P F2-PFi = 2a時為雙曲線的另一支（含 Fi的一支）；當(dāng)2a弓FiF2時，PFi PF2=2a表示兩條射線；當(dāng)2a > F1 F2 時, PFi - PF2 =2a不表示任何圖形；兩定點Fi, F2叫做雙曲線的焦點, FiF2 叫做焦距。（2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程2X2a2=i，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線b2X = ±a的外側(cè)。即 X2 >a2,X 3a即雙曲線在兩

6、條直線 X = ±a的外側(cè)。2 2 對稱性：雙曲線 芻-占=i關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸,a2 b2西安遠(yuǎn)東仁民補習(xí)學(xué)校一對一個性化輔導(dǎo)中心2 2原點是雙曲線 x_y才=1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。a b2=1的方程里，對稱軸是x,y軸,x 頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線a所以令y =0得X = ±a ,因此雙曲線和x軸有兩個交點 A （a,0）A2（a,0）,2 2x y他們是雙曲線r -十=1的頂點。5令X = 0，沒有實根，因此雙曲線和 y軸沒有交點。，雙曲線的頂點分別是實軸的1）注意：雙曲線

7、的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點）兩個端點。2）實軸：線段A A2叫做雙曲線的實軸，它的長等于2a,a叫做雙曲線的實半軸長。 虛軸：線段B B?叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線， 這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。2 2從圖上看，雙曲線 篤_1=1的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。a2 b2等軸雙曲線:1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a=b ；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸近線方程為： y = ±x ； （2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。

8、亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線, 時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征a = b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：X2 -y2 =A（A工0），當(dāng)幾 0時交點在x軸，當(dāng)幾0時焦點在y軸上。x2 y2y2 x2注意一亡與計荷1的區(qū)別:三個量a,b,c中a，b不同（互換）c相同，還有焦點所在的 坐標(biāo)軸也變了。3.拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點 F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F不在定直線I上）。定點F叫做拋物線的焦點，定直線 I叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程討2 =2 px（P ：0）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)

9、是F （上，0 ），它的準(zhǔn)線方程是 x = -2 2（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還 有其他幾種形式：y2 =/px，X2 =2 py , X2 =-2 py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表:標(biāo)準(zhǔn)方程2y =2px(P >0)2y =-2 px(P>0)2X =2 py(P>0)2X =-2 py(Pa0)圖形yfIyX焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程$0)22(-衛(wèi) 0)2"ZT2叱）(0-1)范圍x>0x<0y >0y <0對稱性頂點(0,0)(0,0)

10、(0,0)(0,0)離心率e =1說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線;（3）注意強調(diào)P的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離。四、橢圓、雙曲線、拋物線一對一個性化輔導(dǎo)中心西安遠(yuǎn)東仁民補習(xí)學(xué)校方程定義軌跡條件圖形標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓雙曲線拋物線參數(shù)方程范圍中心頂點對稱軸焦點焦距離心率1 .到兩定點F1,F 2的距離之和為定值2a(2a>|F尸2|)的點的軌跡2.與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.(0<e<1)點集：(M II MF+I MFI=2a, I F 1F2

11、 I < 2a.1. 到兩定點F1,F2的距離之差的 絕對值為定值2a(0<2a<|F 1F2I)的點的軌跡2. 與定點和直線的距離之比為 定值e的點的軌跡.(e>1)點集：M II MF I - I MH I .=± 2a, I F2F2 I > 2a.與定點和直線的距離相等的點的軌跡.點集M I I MFI =點M到直線I的距離.2 2xyp + = 1( a > b >0)abX2y2亠=1(a>0,b>0)a b屮=2 pxtx = acosQy =bsi n 日(參數(shù)日為離心角)|x = asec0y = bta n 日

12、 (參數(shù)日為離心角)2【其器(t為參數(shù))|x|> a ,聲 R原點0 (0, 0)原點0( 0, 0)(a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸；實軸長2a,虛軸長2b.Fi(c,0), F2( c,0)Fi(c,0), F2( c,0)FCP'0)2,ax= ± c2,ax= ±c準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外.2c (c= Ja2 -b2 )e =£(0 ce v1)a準(zhǔn)線垂直于實軸，且在兩頂點的內(nèi)側(cè).I2c(c=Ja2 +b2 )e =£(e&g

13、t;1)ax=-衛(wèi)2準(zhǔn)線與焦點位于頂點兩側(cè)，且到頂點的距離相等.e=17西安遠(yuǎn)東仁民補習(xí)學(xué)校一對一個性化輔導(dǎo)中心(4)中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表:方程焦點焦線對稱軸橢圓2 2(x-h) +(y-k) =1 a2b2(± c+h,k)2丄ax= ± +hcx=hy=k2 2(x-h) +(y-k)=1b2a2(h, ± c+k)2丄a,y= ± +k cx=hy=k雙曲線(x-h)2(y-k)2 =12.2ab(± c+h,k)2丄a,x= ± +kcx=hy=k(y-k)2(x-h)2 =12 . 2 1 ab(h,

14、± c+h)2,a , y= ± +k cx=hy=k拋物線2(y-k) =2 p(x-h)(上 +h,k)2x=- +h2y=k2(y-k) =-2 p( x-h)(-衛(wèi) +h,k)2X+h2y=k2(x-h)=2p( y-k)p(h, -+k)2p y=+k2x=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,-衛(wèi) +k)2y= +k2x=h圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(xA2/aA2)+(yA2/bA2)=1 a>b>0(x2/a2)-(y2/b2)=1 a>O,b>Oy2=2 px p>O范圍x-a,ay-b,bx (- s, _a U a

15、,+)y Rx O,+ s) y對稱性關(guān)于x軸,y軸,原點對稱關(guān)于x軸,y軸,原點對稱關(guān)于x軸對稱頂點(a,O),(-a,O),(O,b),(O,-b)(a,O),(-a,O)(O,O)焦點(c,O),(-c,O)【其中c2=a2-b2】(c,O),(-c,O)【其中c2=a2+b2】(p /2,O)準(zhǔn)線x= ± (a2)/cx= ± (a2)/cx=-p/2漸近線y= ± (b/a)x離心率e=c/a,e (0,1)e=c/a,e (1,+ s)e=1焦半徑1 PF11 =a+ex 1 PF2I =a -ex1 PF11 = 1 ex+a II PF21 = 1

16、 ex -a1I PF I =x+ p/2焦準(zhǔn)距p=(b2)/cp=(b2)/cP通徑(2b2)/a(2b2)/a2p參數(shù)方程x=a cos 0y=b sin 0 , 0 為參數(shù)x=a sec 0y=b tan 0 , 0 為參數(shù)x=2 ptA2 y=2 pt為參數(shù)過圓錐曲線上一點(xO x/a2)+(y0 y/b2)=1(xO,yO)的切線方程(xOx/a2)- (yO y/b2)=1yO - y=p(x+xC斜率為k 的切線方程y=kx ±V (a2) (k2)+b2y=kx ±V (a2) (32)-b2y=kx+p/2k圓錐曲線的性質(zhì)對比9西安遠(yuǎn)東仁民補習(xí)學(xué)校一對一

17、個性化輔導(dǎo)中心13圓錐曲線測試題一、選擇題：（每題4分，共40分）1 chO是方程ax + y =c表示橢圓或雙曲線的（）A -充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件 D 不充分不必要條件2 如果拋物線y 2=ax的準(zhǔn)線是直線x=-1，那么它的焦點坐標(biāo)為A . (1, 0)B (2, 0)C.( 3, 0)(-1,0)2 23 直線y = x +1被橢圓x +2y =4所截得的弦的中點坐標(biāo)是（B (-|,C.q, -3)234 一拋物線形拱橋,當(dāng)水面離橋頂2m時，水面寬4m,若水面下降1m,則水面寬為（）C. 4.5mD 9m5.已知橢圓2L =1上的一點5P到左焦點的距離是4-，那么點

18、3P到橢圓的右準(zhǔn)線的距離是（B.C. 7D.142y9A.長軸長相等26 曲線 X +4 =125與曲線7已知橢圓B.28已知橢圓P是橢圓上一點，且A 1 B229 方程 mx + ny 中的示意圖應(yīng)是10.橢圓等于A. 32x25-k短軸長相等2+ -=1(k < 9 )9-kC.離心率相等的（D.焦距相等的離心率e=410，則m的值為（5B.C的中心在原點，PF1丄x軸, 晅C 22=0 與 mx)22紅+25匝或后3F1,右焦點F2均在x軸上，A為橢圓的右頂點，B為橢圓短軸的端點, PF2/ AB,則此橢圓的離心率等于（）亦25或3左焦點D.1 D35+ ny2 =1 （同|計&q

19、uot;0）的曲線在同一坐標(biāo)系7y =1上一點M到左焦點9F 4的距離為2, N是M F 4的中點，則2 ONC. 8D.16二填空題（每題4分，共16分）2 2t的取值范圍是11. + y =1表示雙曲線，則實數(shù)4 -t t -12 212 .雙曲線 4X y + 64= 0上一點P到它的一個焦點的距離等于1，則點P到另一個焦點的距離等13.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線=4x的焦點,且與拋物線相交于A,B兩點，則I AB等于14.設(shè)x,y R,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),I4a (x,y+2),I4b = (x,y 2)，且 aI4+ b = 8，則點M (x , y )的軌跡方程三.解答題2 215已知

20、雙曲線與橢圓 一+乂=1共焦點，且以49 24y=±4x為漸近線，求雙曲線方程.(10分)3相應(yīng)于焦點F (C, 0) ( c>0)的準(zhǔn)16. 橢圓的中心是原點 0,它的短軸長為 2J2 ,線I與x軸相交于點A , |OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于 P、Q兩點. (I)求橢圓的方程及離心率；(n)若0P OQ =0，求直線PQ的方程；(12 分)17. 已知橢圓的中心在原點0,焦點在坐標(biāo)軸上，直線 y = x +1與該橢圓相交于 P和Q,且0P丄0Q,|PQF0，求橢圓的方程.（12 分）218. 一炮彈在 A處的東偏北60°的某處爆炸，在 A處測到爆炸

21、信號的時間比在B處早4秒，已知A在B的正東方、相距6千米，P為爆炸地點，（該信號的傳播速度為每秒1千米）求A、P兩地的距離.（10分）西安遠(yuǎn)東仁民補習(xí)學(xué)校一對一個性化輔導(dǎo)中心參考答案 一選擇題（本大題共 10小題，每小題4分，共40分）題號12345678910答案BABBCDBDAC二填空題（本大題共 4小題，每小題4分，16分）11 . t>4 或 t<112. 1713. 8214. L +二=112 16三.解答體15.(10 分)解析:由橢圓2 2設(shè)雙曲線方程為冷-篤a by2+ =1= c = 5 .24lb ,4=1，則|訂±3I 22la +b =2549

22、a2叫2=9=16故所求雙曲線方程為2 2工丄=191616.（12分）解析:（1）由已知由題意，可設(shè)橢圓的方程為解得C 氓C,15（n）解：由（1）可得A（3, 0）.設(shè)直線2 2 a = A c =2所以橢圓的方程為 二 丄“ 離心率6 2 -2 2PQ 的方程為 y=k(x-3).由方程組！一+紅=1,得(3k2 +1)x2 18k2x+27k2 -6=0 依題意 (62 b =k(x _3)心=12(2-3k2) >0，得逅ckc6 .設(shè) P(X1, yj, Q(X2, y2)，則治 + x-， 333k2 +12X1X27k2 -6. 由直線 PQ 的方程得 y1 =k(X1-3), y2 =k(X2-3).于是3k +1y1 y2 = °.由y y2 =k2(人-3)(x2 -3) =k2x1X2 3化 +x2)+9. t OP OQ =o，二 x1x2 +得5k2 =