第10講(電氣及其自動化專業(yè))

1、第第1010講講 一階與二階系統(tǒng)的一階與二階系統(tǒng)的 時域響應時域響應 穩(wěn)定性概念與充分必要條件 勞斯判據(jù)與赫爾維茨判據(jù) 穩(wěn)定裕度穩(wěn) 穩(wěn)態(tài)誤差的定義 穩(wěn)態(tài)誤差分析與計算 靜態(tài)誤差系數(shù)準 一階系統(tǒng)的動態(tài)響應分析 二階系統(tǒng)的動態(tài)響應分析 高階系統(tǒng)的動態(tài)響應快知識點知識點1 1：一階系統(tǒng)的時域響應：一階系統(tǒng)的時域響應 數(shù)學模型數(shù)學模型 能夠用能夠用一階微分方程一階微分方程描述的系統(tǒng)為描述的系統(tǒng)為一階系一階系統(tǒng)統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為，其傳遞函數(shù)為其中其中T T一階系統(tǒng)的時間常數(shù)一階系統(tǒng)的時間常數(shù) 。11)()(TssRsC11)()()(TssRsCsG 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)單位階躍響應單位階躍響應 當當r r(

2、 (t t)=1()=1(t t) )時，一階系統(tǒng)的輸出時，一階系統(tǒng)的輸出c c( (t t) )稱為稱為單位階躍響應單位階躍響應，記作，記作h h( (t t) )。0 1)(11)()(11tesRTsLsCLthTt， 系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)，有)( 1)(ttrssR1)(則系統(tǒng)輸出的拉氏變換為11111)(TsTssTssC對輸出響應進行拉氏反變換，得TteTsTLsLsTsLth111111)(111討論：討論：1是穩(wěn)態(tài)分量，由輸入信號決定。是穩(wěn)態(tài)分量，由輸入信號決定。 是瞬態(tài)分量（暫態(tài)分量），它的變化規(guī)律是瞬態(tài)分量（暫態(tài)分量），它的變化規(guī)律由傳遞函數(shù)的極點由傳遞函數(shù)的極點-1/T

3、或時間常數(shù)或時間常數(shù)T決定。決定。當時間當時間t趨于無窮大時趨于無窮大時，瞬態(tài)分量按指數(shù)衰減到，瞬態(tài)分量按指數(shù)衰減到零。零。Tte一階系統(tǒng)單位階躍響應的典型數(shù)值一階系統(tǒng)單位階躍響應的典型數(shù)值所以，一階系統(tǒng)的單位階躍響應是一條所以，一階系統(tǒng)的單位階躍響應是一條指數(shù)上指數(shù)上升、漸近趨于穩(wěn)態(tài)值的曲線。升、漸近趨于穩(wěn)態(tài)值的曲線。性能指標性能指標 1.1.調(diào)整時間調(diào)整時間t ts s 經(jīng)過時間經(jīng)過時間3 3T T4 4T T，響應曲線已達，響應曲線已達穩(wěn)態(tài)值的穩(wěn)態(tài)值的95%95%98%98%，可以認為其調(diào)整過程，可以認為其調(diào)整過程已完成，故一般取已完成，故一般取t ts s=(3=(34)4)T T。2

4、. 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差ess 系統(tǒng)的實際輸出系統(tǒng)的實際輸出h h( (t t) )在時間在時間t t趨于無窮大時，接近于輸入值，即趨于無窮大時，接近于輸入值，即3. 超調(diào)量超調(diào)量Mp 一階系統(tǒng)的單位階躍響應為非一階系統(tǒng)的單位階躍響應為非周期響應，故系統(tǒng)無振蕩、無超調(diào)，周期響應，故系統(tǒng)無振蕩、無超調(diào)，M Mp p=0=0。 0)()(limtrtcetss一階系統(tǒng)的單位脈沖響應一階系統(tǒng)的單位脈沖響應 當輸入信號當輸入信號r r( (t t)=)=( (t t) )時，系統(tǒng)的輸出稱時，系統(tǒng)的輸出稱為為單位脈沖響應單位脈沖響應，記為，記為g g( (t t) )。當當r r( (t t)=)=( (t

5、 t) )， 即即R R( (s s)=1)=1時，時，有有 11)()()()(TssRsRsCsGTteTTsLsG111)(1t=0時的斜率？1TsK%)5(st 3TA K1 K3T B K11 K13T C 0 T3 D知識點知識點2 2 二階系統(tǒng)的時域響應二階系統(tǒng)的時域響應 二階系統(tǒng)的數(shù)學模型二階系統(tǒng)的數(shù)學模型 典型二階系統(tǒng)的典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖結(jié)構(gòu)圖如圖3-143-14所示，所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)傳遞函數(shù)為或或 2222)()(nnnsssRsC 121)()(22 TssTsRsC 典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其中其中 系統(tǒng)的阻尼比系統(tǒng)的阻尼比 n n系統(tǒng)的無

6、阻尼自然振蕩角頻率系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率 系統(tǒng)振蕩周期系統(tǒng)振蕩周期系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為特征根為特征根為nT 1 02)(22 nnsssD 122, 1 nns二階系統(tǒng)的特征根（極點）分布二階系統(tǒng)的特征根（極點）分布求解二階系統(tǒng)特征方程，求解二階系統(tǒng)特征方程，可得可得212,1 (1)nns s 21 ( 1)這種情況下，系統(tǒng)存在兩個不等的負實根，則這種情況下，系統(tǒng)存在兩個不等的負實根，則222212( )(2)()()nnnnC ss sss ssss01212AAAsssss00( )1sAC s s111221( )()21(1)ssAC sss222221( )()21

7、(1)ssAC sss122, 1 nns拉氏反變換可得過阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應：拉氏反變換可得過阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應：2(1)221( )121(1)ntc te2(1)221(0)21(1)ntet穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量：1 1暫態(tài)分量暫態(tài)分量：兩個指數(shù)函數(shù)之和，指數(shù)部分由系統(tǒng)傳遞：兩個指數(shù)函數(shù)之和，指數(shù)部分由系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點確定。函數(shù)極點確定。討論：討論：u 過阻尼系統(tǒng)是兩個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。過阻尼系統(tǒng)是兩個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。u 有關(guān)分析表明，當有關(guān)分析表明，當 時，兩極點時，兩極點s s1 1和和s s2 2與虛軸的與虛軸的 距離相差很大，此時靠近虛軸的極點所對應的慣性環(huán)距離相差很大，此時靠近

8、虛軸的極點所對應的慣性環(huán)節(jié)的時間響應與原二階系統(tǒng)非常接近，可以用該慣性節(jié)的時間響應與原二階系統(tǒng)非常接近，可以用該慣性環(huán)節(jié)來近似原來的二階系統(tǒng)。即有環(huán)節(jié)來近似原來的二階系統(tǒng)。即有21121( )( )1nnnnC sR sssss11過阻尼系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值和最終誤差過阻尼系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值和最終誤差過渡過程時間（按近似后一階系統(tǒng)求出）過渡過程時間（按近似后一階系統(tǒng)求出）21(3 4)(1)snt()0e 1|1|1)()1(21ttttsnneeh2. 當當01時，系統(tǒng)有一對實部為負的共軛時，系統(tǒng)有一對實部為負的共軛復根，稱為欠阻尼狀態(tài)。復根，稱為欠阻尼狀態(tài)。在欠阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個閉環(huán)極點為一對在欠阻尼狀

9、態(tài)下，系統(tǒng)的兩個閉環(huán)極點為一對共軛復極點，即共軛復極點，即其中，其中， 稱為稱為阻尼振蕩角頻率阻尼振蕩角頻率。 dnnnjjs2211,21 nd此時，系統(tǒng)具有一對共軛復數(shù)極點，則此時，系統(tǒng)具有一對共軛復數(shù)極點，則222( )(2)nnnC ss ss2222221()(1)()(1)nnnnnnssss22221()()nndnddndssss欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應為欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應為( )1cossinnnttndddc tetet21(cossin) (0)1ntddettt22( )1(1cossin)1ntddec ttt21sin() (0)1ntdett2arctan( 1

10、)21dn討論討論: :(1)(1)欠阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應是衰減的欠阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應是衰減的正弦振蕩曲線。衰減速度取決于特征根實部的絕對值正弦振蕩曲線。衰減速度取決于特征根實部的絕對值 n n的大小，振蕩角頻率是特征根虛部的絕對值，即的大小，振蕩角頻率是特征根虛部的絕對值，即有阻尼自振角頻率有阻尼自振角頻率d d， (2)(2)振蕩周期為振蕩周期為 (3)(3)越大，振幅衰減越快，振蕩周期越長（頻率越越大，振幅衰減越快，振蕩周期越長（頻率越低）。低）。21dn2221ddnT(4)(4)上升時間上升時間tr的計算：的計算：2()1(cossin) 11n rtr

11、drdrc tett21tantan()drt 222arctan( 1)11rdnnt2cossin01drdrtt(5)(5)峰值時間的計算：峰值時間的計算：出現(xiàn)峰值時，階躍響應隨時間的變化率為出現(xiàn)峰值時，階躍響應隨時間的變化率為0 0，即，即 則則故故到達第一個到達第一個峰值時應有峰值時應有21tan ()tandpt0,2,3dpt21pdnt sin()cos()0npnpttndpddpetet( ) /0dc tdt d pt(6)(6)最大超調(diào)量的計算：最大超調(diào)量的計算：越小，越小， 越大（只與越大（只與有關(guān)）有關(guān)）2(co ssin)1 0 0 %1npte 2(cossin

12、)100%1nptdpdpett 21100%pe()()100%()ppc tcc100%n ptepp(7)(7)調(diào)整時間調(diào)整時間ts的計算：的計算：欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線位于一對曲線欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線位于一對曲線 以內(nèi)，這對曲線稱為響應曲線以內(nèi)，這對曲線稱為響應曲線的包絡線。的包絡線。2( )11ntey t可以采用包絡線代替實際響應曲線估算調(diào)整時間，所可以采用包絡線代替實際響應曲線估算調(diào)整時間，所得結(jié)果一般略偏大。得結(jié)果一般略偏大。為最佳阻尼比。為最佳阻尼比。21nste 00.8211(3ln)1snt3(5%)snt 0.7072111(lnln)1snt2

13、11(4ln)1snt4(2%)snt 若允許誤差帶是若允許誤差帶是（如（如2 2），可以認為調(diào)整），可以認為調(diào)整 222arctan(1)11rdnnt21pdnt21100%pe211(3ln)1snt 設計二階系統(tǒng)時，可先由超調(diào)量確定阻尼比，設計二階系統(tǒng)時，可先由超調(diào)量確定阻尼比，再由其他指標（如調(diào)整時間）和已確定的阻尼比給再由其他指標（如調(diào)整時間）和已確定的阻尼比給出自然振蕩角頻率。出自然振蕩角頻率。22221dpdnTt2ssdpttNTt欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應性能指標計算公式欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應性能指標計算公式n例：例：設一個設一個帶速度反饋的伺服系統(tǒng)帶速度反饋的伺服系統(tǒng)

14、，其結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)圖如圖所示。要求系統(tǒng)的性能指標為圖如圖所示。要求系統(tǒng)的性能指標為M Mp p=20%, =20%, t tp p=1=1s.s.試確定系統(tǒng)的試確定系統(tǒng)的K K和和K KA A值，并計算性能指值，并計算性能指標標t tr r、t ts s和和N.N. (1)Ks s ( )R s( )C s+-1AK s3. 當阻尼比當阻尼比=1時，系統(tǒng)的特征根為兩相時，系統(tǒng)的特征根為兩相等的負實根，稱為等的負實根，稱為臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)。 此時系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，此時系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，系統(tǒng)的超調(diào)量系統(tǒng)的超調(diào)量Mp=0，調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間 (對應誤差帶為對應誤差帶為5%)1(1

15、1)(teetethntttnnnn 圖圖3-18 3-18 臨界阻尼系統(tǒng)階躍響應臨界阻尼系統(tǒng)階躍響應n17 . 44. 當阻尼比當阻尼比=0時，系統(tǒng)特征根為一對純時，系統(tǒng)特征根為一對純虛根，稱為虛根，稱為無阻尼狀態(tài)無阻尼狀態(tài)。 系統(tǒng)特征根系統(tǒng)特征根 單位階躍響應為單位階躍響應為 njs 21,)0( cos1)( ttthn 不同不同下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線圖下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線圖0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.01）二階系統(tǒng)的阻尼比二階系

16、統(tǒng)的阻尼比決定了其振蕩特性決定了其振蕩特性：u 0 0 時，階躍響應發(fā)散，時，階躍響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定（負阻尼）系統(tǒng)不穩(wěn)定（負阻尼）u= 0= 0時，出現(xiàn)等幅振蕩時，出現(xiàn)等幅振蕩u0011時時當當011222( )( )2nnnC sR sss(t0)( )1R s 欠阻尼：欠阻尼：00 11無阻尼無阻尼： =0=0臨界阻尼臨界阻尼： =1=12( )sin1ntndc tet( )sinnnc tt2( )nntc tte22(1)(1)2( )()21nnttnc tee二階系統(tǒng)單位脈沖響應曲線二階系統(tǒng)單位脈沖響應曲線例例3-15 原控制系統(tǒng)如圖原控制系統(tǒng)如圖3-23(a)所示，引入所示，

17、引入速度反饋后的控制系統(tǒng)如圖速度反饋后的控制系統(tǒng)如圖3-23(b)所示，所示，已知在圖已知在圖3-23(b)中，系統(tǒng)單位階躍響應的中，系統(tǒng)單位階躍響應的超調(diào)量超調(diào)量Mp%=16.4%，峰值時間，峰值時間tp=1.14s，試確定參數(shù)試確定參數(shù)K和和Kt，并計算系統(tǒng)在，并計算系統(tǒng)在(a) 和和(b)的單位階躍響應的單位階躍響應h(t)。圖圖3-23 3-23 例例3-153-15圖圖解解 對于系統(tǒng)對于系統(tǒng)(b)(b)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)相比較，有與典型二階系統(tǒng)相比較，有 （3-553-55）而已知而已知M Mp p=16.4% =16.4% t tp p=1.14=1

18、.14s s根據(jù)根據(jù) 求得求得 KsKKsKsGsRsCtB )1()()()(2Kn tnKK 12%4 .16%1001exp2 pM5 . 0 14. 112 npt求得求得 將將 代入代入(3-55)(3-55)得得 其單位階躍響應為其單位階躍響應為 sradn16. 3 16. 35 . 0 n和和 216. 012102 KKKntn )6074. 2sin(154. 11)1sin(111)(58. 122 tetethtntn 對于系統(tǒng)對于系統(tǒng)(a)(a)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較有與典型二階系統(tǒng)比較有 系統(tǒng)的最大超調(diào)量系統(tǒng)的最大超調(diào)量 峰值時間峰值

19、時間其單位階躍響應為其單位階躍響應為 1010)()()(22 ssKssKsRsCsGB158. 016. 310 sradn%60%10021 eMpstnp01. 112 )9 .8012. 3sin(016. 11)(5 . 0 tetht返回知識點三知識點三 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應 n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()()()()()(212111101110nmnnnnmmmmpspspszszszsKasasasabsbsbsbsRsCs 當輸入為單位階躍函數(shù)當輸入為單位階躍函數(shù)r r( (t t)=1()

20、=1(t t) )，即，即時，則時，則假設所有閉環(huán)零點和極點互不相等且均為實數(shù)假設所有閉環(huán)零點和極點互不相等且均為實數(shù) ssR1)( niiiniimjjpsAsAspszsKsC1011)(1)()()( nitpiieAAth10)(spszsKsCniimjj1)()()(11 當極點中還包含共軛復極點時當極點中還包含共軛復極點時 進行拉普拉斯反變換可得系統(tǒng)的單位階躍進行拉普拉斯反變換可得系統(tǒng)的單位階躍響應響應 rkkkkkkkkkkqiiirkkkkniimjjssCsBpsAsAsspsszsKsC1222101221121)()2()()()( 1sin 1cos)(121210

21、rkkktkrkkktkqitpiteCteBeAAthkkkki 高階系統(tǒng)的降階高階系統(tǒng)的降階 1. 主導極點主導極點 在整個響應過程中起著主要的決定性作用的在整個響應過程中起著主要的決定性作用的閉環(huán)極點，我們稱它為閉環(huán)極點，我們稱它為主導極點主導極點。 工程上往往只用主導極點估算系統(tǒng)的動態(tài)特工程上往往只用主導極點估算系統(tǒng)的動態(tài)特性。即將系統(tǒng)近似地看成是一階或二階系性。即將系統(tǒng)近似地看成是一階或二階系統(tǒng)。統(tǒng)。2. 偶極子偶極子 將一對靠得很近的閉環(huán)零、極點稱為將一對靠得很近的閉環(huán)零、極點稱為偶極子偶極子。工程上，當某極點和某零點之間。工程上，當某極點和某零點之間的距離比它們的模值小一個數(shù)量級

22、，就可的距離比它們的模值小一個數(shù)量級，就可認為這對零極點為偶極子。認為這對零極點為偶極子。 閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果零、極點數(shù)值閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果零、極點數(shù)值上相近，則可將該零點和極點一起消掉，上相近，則可將該零點和極點一起消掉，稱之為偶極子相消。稱之為偶極子相消。零極點對階躍響應的影響零極點對階躍響應的影響 零點對階躍響應的影響零點對階躍響應的影響 假設系統(tǒng)中增加一個閉環(huán)實零點，即假設系統(tǒng)中增加一個閉環(huán)實零點，即系統(tǒng)中增加了一個串聯(lián)環(huán)節(jié)系統(tǒng)中增加了一個串聯(lián)環(huán)節(jié) 且閉環(huán)且閉環(huán)零點零點z z位于復平面的左半平面，位于復平面的左半平面， |)()(|)()(1zssCsCzzssCsC | zzs 上式拉普拉斯反變換上式拉普拉斯反變換 可見，增加一