高考數(shù)學第九章平面解析幾何第10課時直線與圓錐曲線的綜合應用更多資料關注微博高中學習資料庫

1、第九章平面解析幾何第10課時直線與圓錐曲線的綜合應用1. 直線ykxk1與橢圓1的位置關系是_答案：相交解析：由于直線ykxk1k(x1)1過定點(1，1)，而(1，1)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交2. 橢圓1的兩焦點為F1、F2，一直線過F1交橢圓于P、Q，則PQF2的周長為_答案：20解析：PQF2的周長4a20.3. 已知雙曲線方程是x21，過定點P(2，1)作直線交雙曲線于P1、P2兩點，并使P(2，1)為P1P2的中點，則此直線方程是_答案：4xy70解析：設點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則由x1，x1，得k4，從而所求方程為4xy70.將此直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得14

2、x256x510，0，故此直線滿足條件4. 若斜率為的直線l與橢圓1(a>b>0)有兩個不同的交點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為_答案：解析：由題意易知兩交點的橫坐標為c、c，縱坐標分別為、，所以由得2b2ac2(a2c2)，即2e2e20，解得e或e(負根舍去)5. 已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3，0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A、B兩點，且AB的中點為N(12，15)，則E的方程為_答案：1解析：設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，由題意知c3，a2b29.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式作差得，又AB的斜率是1，

3、所以將4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以雙曲線的標準方程是1.1. 直線與圓錐曲線的位置關系判定直線與圓錐曲線的位置關系時，通常是將直線方程與曲線方程聯(lián)立，消去變量y(或x)得關于變量x(或y)的方程：ax2bxc0(或ay2byc0)若a0，可考慮一元二次方程的判別式，有：>0直線與圓錐曲線相交；0直線與圓錐曲線相切；<0直線與圓錐曲線相離若a0且b0，則直線與圓錐曲線相交，且有一個交點2. 圓錐曲線的弦長問題設直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長AB|x1x2|或|y1y2|.備課札記題型1如何研究直線與圓錐曲線中的分線段

4、成比例的問題例1已知曲線E：ax2by21(a>0，b>0)，經(jīng)過點M的直線l與曲線E交于點A、B，且2.(1) 若點B的坐標為(0，2)，求曲線E的方程；(2) 若ab1，求直線AB的方程解：(1) 設A(x0，y0)，由已知B(0，2)，M(，0)，所以，(x0，y0)由于2，所以(，2)2(x0，y0)，所以即A(，1)，將A、B點的坐標代入曲線E的方程，得解得所以曲線E的方程為x21.(2) 當ab1時，曲線E為圓x2y21，設A(x1，y1)，B(x2，y2)又2，所以2(x1，y1)，即有xy1 ，xy1 ，由×4，得(2x1x2)(2x1x2)3，所以2x1

5、x2，解得x1，x20.由x1，得y1±.當A時，B(0，1)，此時kAB，直線AB的方程為yx1；當A時，B(0，1)，此時kAB，直線AB的方程為yx1.已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，與過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線相交于A、B兩點若3，則k_答案：解析：定點F分線段AB成比例，從而分別可以得出A、B兩點橫坐標之間關系式、縱坐標之間關系式，再把A、B點的坐標代入橢圓方程1，四個方程聯(lián)立方程組，解出根，得出A、B兩點的坐標，進而求出直線AB的方程由已知e，所以a2b，所以ac，b.橢圓方程1變?yōu)閤23y2c2.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

6、又3，所以(cx1，y1)3(x2c，y2)，所以所以x 3y c2，x 3y c2，9×，得(x13x2)(x13x2)3(y13y2)(y13y2)8c2，所以×4c(x13x2)8c2，所以 x13x2c，所以x1c，x2c.從而y1c，y2c，所以A，B，故k.題型2有關垂直的問題例2如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.(1) 若直線PA平分線段MN，求k的值；(2) 當k2時，求點P到直線AB的距離d；(3)

7、對任意k>0，求證：PAPB.(1) 解：由題設知，a2，b，故M(2，0)，N(0，)，所以線段MN中點的坐標為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點又直線PA過坐標原點，所以k.(2) 解：將直線PA的方程y2x代入橢圓方程1，解得x±，因此P，A.于是C，直線AC的斜率為1，故直線AB的方程為xy0.因此，d.(3) 證明：設P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1>0，x2>0，x1x2，A(x1，y1)，C(x1，0)，設直線PA、PB、AB的斜率分別為k、k1、k2.因為C在直線AB上，所以k2.從而k1k12k1k212·&

8、#183;110.因此k1k1，所以PAPB.如圖，F(xiàn)是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C的右焦點，直線l：x4是橢圓C的右準線，F(xiàn)到直線l的距離等于3.(1) 求橢圓C的方程；(2) 點P是橢圓C上動點，PMl，垂足為M.是否存在點P，使得FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由解：(1) 設橢圓C的方程為1(ab0)，由已知，得b.所以橢圓C的方程為 1.(2) 由e，得PFPM.PFPM.若PFFM，則PFFMPM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，PF不可能與PM相等若FMPM，設P(x，y)(x±2)，則M(4，y)4x，9y2168xx2.又由1，得

9、y23x2.93x2168xx2，x28x40.7x232x160.x或x4.x(2，2)，x.P.綜上，存在點P，使得PFM為等腰三角形題型3直線與圓錐曲線例3如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設過點T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.(1) 設動點P滿足PF2PB24，求點P的軌跡；(2) 設x12，x2，求點T的坐標；(3) 設t9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)(1) 解：設點P(x，y)，則F(2，0)、B(3，0)、A(3，0)

10、由PF2PB24，得(x2)2y2(x3)2y24，化簡得x，故所求點P的軌跡為直線x.(2) 解：將x12，x2分別代入橢圓方程，以及y1>0，y2<0得M、N.直線MTA的方程為，即yx1.直線NTB的方程為，即yx.聯(lián)立方程組，解得所以點T的坐標為.(3) 證明：點T的坐標為(9，m)，直線MTA的方程為，即y(x3)直線NTB的方程為，即y(x3)分別與橢圓1聯(lián)立方程組，同時考慮到x13，x23，解得M、N(，)(證法1)當x1x2時，直線MN的方程為，令y0，解得x1，此時必過點D(1，0)；當x1x2時，直線MN的方程為x1，與x軸交點為D(1，0)，所以直線MN必過x

11、軸上的一定點D(1，0)(證法2)若x1x2，則由及m>0，得m2，此時直線MN的方程為x1，過點D(1，0)若x1x2，則m2.直線MD的斜率kMD，直線ND的斜率kND，得kMDkND，所以直線MN過D點因此，直線MN必過x軸上的點D(1，0)已知橢圓C：1(a>b>0)的一個頂點為A(2，0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.(1) 求橢圓C的方程；(2) 當AMN的面積為時，求k的值解：(1) 由題意得解得b，所以橢圓C的方程為1.(2) 由得(12k2)x24k2x2k240.設點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1k(x

12、11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以MN.又因為點A(2，0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為SMN·d.由，解得k±1.【示例】 (本題模擬高考評分標準，滿分16分)已知雙曲線1的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于，過右焦點F2的直線l交雙曲線于A、B兩點，F(xiàn)1為左焦點(1) 求雙曲線的方程；(2) 若F1AB的面積等于6，求直線l的方程學生錯解：解：(2) 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(xiàn)(2，0)，直線l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，F(xiàn)1AB的面積Sc|y1y2

13、|2|k|·|x1x2|2|k|2|k|·6k48k290k21k±1，所以直線l的方程為y±(x2)審題引導： (1) 直線與雙曲線相交問題時的處理方法；(2) F1AB面積的表示規(guī)范解答： 解：(1) 依題意，b，2a1，c2，(4分)雙曲線的方程為x21.(6分)(2) 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(xiàn)2(2，0)，直線l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，(8分)k±時，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，(10分)F1AB的面積Sc|y1y2|2|k|·|x1x2|2|k|·2

14、|k|·6k48k290k21k±1，(14分)所以直線l的方程為y±(x2)(16分)錯因分析： 解本題時容易忽略二次項系數(shù)不為零，即k±這一條件1. 設拋物線y28x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是_答案：1，1解析：易知拋物線y28x的準線x2與x軸的交點為Q(2，0)，于是，可設過點Q(2，0)的直線l的方程為yk(x2)(由題可知k是存在的)，聯(lián)立k2x2(4k28)x4k20.其判別式為(4k28)216k464k2640，可解得1k1.2. 如圖，過拋物線C：y24x上一點P(1，2)作傾斜

15、角互補的兩條直線，分別與拋物線交于點A(x，y1)，B(x2，y2)(1) 求y1y2的值；(2) 若y10，y20，求PAB面積的最大值解：(1) 因為A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線C：y24x上，所以A，B，kPA，同理kPB，依題意有kPAkPB，因為，所以y1y24.(2) 由(1)知kAB1，設AB的方程為yy1x，即xyy10，P到AB的距離為d，AB·|y1y2|2|2y1|，所以SPAB××2|2y1|y4y112|y12|(y12)216|·|y12|，令y12t，由y1y24，y10，y20，可知2t2.SPAB|t316

16、t|，因為SPAB|t316t|為偶函數(shù)，只考慮0t2的情況，記f(t)|t316t|16tt3，f(t)163t2>0，故f(t)在0，2是單調(diào)增函數(shù)，故f(t)的最大值為f(2)24，故SPAB的最大值為6.3. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，圓C：(x1)2y216，點F(1，0)，E是圓C上的一個動點，EF的垂直平分線PQ與CE交于點B，與EF交于點D.(1) 求點B的軌跡方程；(2) 當點D位于y軸的正半軸上時，求直線PQ的方程；(3) 若G是圓C上的另一個動點，且滿足FGFE，記線段EG的中點為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由解：(1)

17、 連結(jié)BF，由已知BFBE，所以BCBFBCBECE4，所以點B的軌跡是以C、F為焦點，長軸為4的橢圓，所以B點的軌跡方程為1.(2) 當點D位于y軸的正半軸上時，因為D是線段EF的中點，O為線段CF的中點，所以CEOD，且CE2OD，所以E、D的坐標分別為(1，4)和(0，2)因為PQ是線段EF的垂直平分線，所以直線PQ的方程為yx2，即直線PQ的方程為x2y40.(3) 設點E、G的坐標分別為(x1，y1)和(x2，y2)，則點M的坐標為，因為點E、G均在圓C上，且FGFE，所以(x11)2y16，(x21)2y16，(x11)(x21)y1y20，所以xy152x1，xy152x2，x1

18、x2y1y2x1x21.所以MO2(x1x2)2(y1y2)2·(xy)(xy)2(x1x2y1y2)152x1152x22(x1x21)7，即M點到坐標原點O的距離為定值，且定值為.4. 給定橢圓C：1(a>b>0)，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”已知橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為.(1) 求橢圓C和其“準圓”的方程；(2) 若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且BDx軸，求·的取值范圍；(3) 在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一

19、個交點，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由解：(1) 由題意知c，且a，可得b1，故橢圓C的方程為y21，其“準圓”方程為x2y24.(2) 由題意，可設B(m，n)，D(m，n)(<m<)，則有n21，又A點坐標為(2，0)，故(m2，n)，(m2，n)，故·(m2)2n2m24m4m24m3，又<m<，故0，74，所以·的取值范圍是0，74)(3) 設P(s，t)，則s2t24.當s±時，t±1，則l1，l2其中之一斜率不存在，另一斜率為0，顯然有l(wèi)1l2.當s±時，設過P(s，t)且與橢圓有一個公共點的直線l的斜

20、率為k，則l的方程為ytk(xs)，代入橢圓C方程可得x23kx(tks)23，即(3k21)x26k(tks)x3(tks)230，由36k2(tks)24(3k21)3(tks)230，可得(3s2)k22stk1t20，其中3s20，設l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是上述方程的兩個根，故k1k21，即l1l2.綜上可知，對于橢圓C上的任意點P，都有l(wèi)1l2.5. 如圖，已知橢圓C的方程為y21，A、B是四條直線x±2，y±1所圍成的矩形的兩個頂點(1) 設P是橢圓C上任意一點，若mn，求證：動點Q(m，n)在定圓上運動，并求出定圓的方程；(2) 若M、

21、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求OMN的面積是否為定值，并說明理由(1) 證明：易知A(2，1)，B(2，1)設P(x0，y0)，則y1.由mn，得所以(mn)21，即m2n2，故點Q(m，n)在定圓x2y2上(2) 解：(解法1)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則，平方得xx16yy(4x)(4x)，即xx4.因為直線MN的方程為(y1y2)x(x1x2)yx1y2x2y10，所以O到直線MN的距離為d，所以OMN的面積SMN·d|x1y2x2y1|1，故OMN的面積為定值1.(解法2)設OM的方程為ykx(k>0)，

22、則ON的方程為yx(k>0)聯(lián)立方程組解得M.同理可得N.因為點N到直線OM的距離為d，OM2，所以OMN的面積Sd·OM··21，故OMN的面積為定值1. 若雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y22bx的焦點分成73的兩段，則此雙曲線的離心率為_答案：解析：依題意得，c×2c，即bc(其中c是雙曲線的半焦距)，ac，則，因此該雙曲線的離心率等于.2. 如圖，設E：1(ab0)的焦點為F1與F2，且PE，F(xiàn)1PF22.求證：PF1F2的面積Sb2tan.證明：設|PF1|r1，|PF2|r2，則Sr1r2sin

23、2.又|F1F2|2c，由余弦定理有(2c)2rr2r1r2cos2(r1r2)22r1r22r1r2cos2(2a)22r1r2(1cos2)，于是2r1r2(1cos2)4a24c24b2.所以r1r2.這樣即有S·sin2b2b2tan.3. 已知橢圓1(ab0)的離心率為，短軸的一個端點為M(0，1)，直線l：ykx與橢圓相交于不同的兩點A、B.(1) 若AB，求k的值；(2) 求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點M.(1) 解：由題意知，b1.由a2b2c2可得cb1，a，橢圓的方程為y21.由得(2k21)x2kx0.k24(2k21)×16k20恒成立，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2. AB·|x1x2|·，化簡得23k413k2100，即(k21)(23k210)0，解得k±1.(2) 證明： (x1，y11)，(x2，y21)，·x1x2(y11)(y21)(1k2)x1