第七章 二元一次方程組專題訓(xùn)練

1、第七章 二元一次方程組一單元知識(shí)梳理1.二元一次方程:通過化簡后,只有未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是的方程,叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解:適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值,叫做。3.二元一次方程組:共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做。4.二元一次方程組的解: 二元一次方程組中各個(gè)方程的,叫做二元一次方程組的解.5.  解二元一次方程組的基本思想是_，即將“二元一次方程組”轉(zhuǎn)化為“一元一次方程”.常用方法有和。6.在二元一次方程組中，由一個(gè)方程，將一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解.這種

2、方法叫做_，簡稱_ .7.兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.這種方法叫做_，簡稱_.8.列二元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟： 審：審清題目中的等量關(guān)系 設(shè)：設(shè)未知數(shù) 列：根據(jù)等量關(guān)系，列出方程組 解：解方程組，求出未知數(shù) 檢驗(yàn)：所求出未知數(shù)是否符合題意，答：寫出答案 9.一次方程與一次函數(shù)：以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像上；一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是對(duì)應(yīng)的二元一次方程的解。10.二元一次方程組和一次函數(shù)的圖象的關(guān)系：方程組的解是對(duì)應(yīng)的兩條直線的點(diǎn)的坐標(biāo)；兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的方程組的解

3、二 專題訓(xùn)練題型一：代入法解方程組例1：方程2x-y=1和2x+y=7的公共解是（）A x=0，y=-1 Bx=0，y=7 C x=1，y=5 D x=2，y=3 分析：此題要求公共解，實(shí)質(zhì)上是解二元一次方程組解答：解:由方程可得：y=2x-1 將代入 ：2x+2x-1=7 ，解之得：x=2，將其代入任何一個(gè)方程可以求得y=3則該方程組的公共解為 答案選D例2：解方程組：分析：觀察兩個(gè)方程中，方程中y的系數(shù)為1，所以可以變形為y=13-2x，然后再代入方程。解答：解：由方程可得y=13-2x 將代入 ：4x-3（13-2x）=11解之得：x=5，將其代入相對(duì)簡單的方程可以求得y=3方程組的解為

4、 例3：若與是同類項(xiàng)，則m、n值分別為（）A1，2 B2，1 C1，1 D1，3分析：本題順帶考查同類項(xiàng)的定義，所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)，同類項(xiàng)與字母的順序無關(guān)解答：與是同類項(xiàng)，可得方程組：，用代入法可以解得：故選A規(guī)律性小結(jié)：1.先觀察方程組中是否有系數(shù)為1的未知項(xiàng)，若有，將該方程變形為x=？或者y=？的樣子，然后代入另一個(gè)方程中，從而起到消元的作用，化二元一次方程組為一元一次方程。2.若系數(shù)不為1，但是化為1時(shí)不復(fù)雜的，也可以采用代入消元法。題型二：加減法解方程組例4:分析:  經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，(1)和(2)中x的系數(shù)都是6，若將兩方程相減，便可消去x，只剩關(guān)于

5、y的方程，問題便很容易解決、這種方法叫“減法消元”解答：解:由(1)-(2)，得12y=-36，所以y=-3把y=-3代入任意方程可以解得：所以例5、解方程組：分析:  經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，(1)和(2)中y的系數(shù)互為相反數(shù)，若將兩方程相加，便可消去y，只剩關(guān)于x的方程，問題便很容易解決、這種方法叫“加法消元”解答：解:(1)+(2)得： 5x = 10所以x=2把x=2代入(2)，得：2 x 2 5y = - 11 解得y = 3例6 分析  方程組中，相同未知數(shù)的系數(shù)沒有相同的，也沒有互為相反數(shù)的但不難將未知數(shù)y的系數(shù)絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為12(4與6的最小公倍數(shù))，然后將兩個(gè)方程相加便

6、消去了y解：(1)×3，得9x+12y=48                                             

7、60;  (3)(2)×2，得10x-12y=66                                            &

8、#160;          (4)(3)+(4)，得19x=114，所以x=6把x=6代入(1)，得3×6+4y=16，4y=-2，題型三：解方程組提高性習(xí)題例7:分析  本題不僅沒有系數(shù)是1的未知數(shù)，而且也沒有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)較簡單經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，若將兩個(gè)方程相加，得出一個(gè)x，y的系數(shù)都是100、常數(shù)項(xiàng)是200的方程，而此方程與方程組中的(1)和(2)都同解這樣，就使問題變得比較簡單了解：(1)+(2)，得100x+100y=200，所以x+y=2   

9、                           (3)解這個(gè)方程組由(3)，得 x=2-y                    &#

10、160;          (4)把(4)代入(1)，得53(2-y)+47y=112，106-53y+47y=112，-6y=6，所以y=-1例8  已知x+2y=2x+y+1=7x-y，求2x-y的值分析 : 已知條件是三個(gè)都含有x，y的連等代數(shù)式，這種連等式可看作是二元一次方程組，這樣的方程組可列出三個(gè)，我們只要解出其中的一個(gè)便可求出x和y，從而使問題得到解決解答:解：已知條件可轉(zhuǎn)化為整理這個(gè)方程組，得解這個(gè)方程組由(3)，得x=y-1   

11、0;         (5)把(5)代入(4)，得5(y-1)-2y-1=0，5y-2y=5+1，所以y=2把y=2代入(3)，得x-2+1=0，所以x=12x-y=0規(guī)律性小結(jié)：  1.若方程組中兩個(gè)方程同一未知數(shù)的系數(shù)相等，則用減法消元；2.若同一未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，則用加法消元；3.若同一未知數(shù)的系數(shù)有倍數(shù)關(guān)系，或完全不相等，則可設(shè)法將系數(shù)的絕對(duì)值轉(zhuǎn)4.化為原系數(shù)絕對(duì)值的最小公倍數(shù)，然后再用加減法消元；5.在進(jìn)行加減特別是進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，一定要正確處理好符號(hào)；6.方程需要乘某個(gè)數(shù)時(shí)請(qǐng)務(wù)必每一項(xiàng)都

12、要乘于該數(shù)，切勿遺漏。題型四:例9: 甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行，1小時(shí)20分相遇. 相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī). 這時(shí)，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？分析：畫直線型示意圖理解題意：(1)這里有兩個(gè)未知數(shù)：汽車的行程；拖拉機(jī)的行程. (2)有兩個(gè)等量關(guān)系：相向而行：汽車行駛 小時(shí)的路程拖拉機(jī)行駛 小時(shí)的路程160千米;同向而行：汽車行駛 小時(shí)的路程拖拉機(jī)行駛 小時(shí)的路程.解答:解：設(shè)汽車的速度為每小時(shí)行千米，拖拉機(jī)的速度為每小時(shí)千米.根據(jù)題意，列方程組解這個(gè)方程組，得:.答：

13、汽車行駛了165千米，拖拉機(jī)行駛了85千米.行程問題規(guī)律性小結(jié)：(1)根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問題的常用的解決策略。(2)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差開始時(shí)兩者相距的路程；(3)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路程。(4)幾個(gè)公式”航行問題：船在靜水中的速度水速船的順?biāo)俣龋淮陟o水中的速度水速船的逆水速度；船的順?biāo)?/p>

14、度船的逆水速度2×水速。注意：飛機(jī)航行問題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行問題類似。例10: 一批機(jī)器零件共840個(gè)，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，問兩人每天各做多少個(gè)機(jī)器零件？分析：由題意得甲做12天，乙做8天能夠完成任務(wù)；而甲做9天，乙做13天也能完成任務(wù)，由此關(guān)系我們可列方程組求解解答:解:設(shè)甲每天做x個(gè)機(jī)器零件，乙每天做y個(gè)機(jī)器零件，根據(jù)題意，得解得： 答：甲每天做50個(gè)機(jī)器零件，乙每天做30個(gè)機(jī)器零件工程問題規(guī)律性小結(jié)：常用公式:工作效率×工作時(shí)間=工作量.

15、例11: 一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價(jià)是多少？分析：商品的利潤涉及到進(jìn)價(jià)、定價(jià)和賣出價(jià)，因此，設(shè)此商品的定價(jià)為x元，進(jìn)價(jià)為y元，則打九折時(shí)的賣出價(jià)為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時(shí)的賣出價(jià)為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解答:解:由題意可得方程組，解得，因此，此商品定價(jià)為200元商品銷售利潤問題規(guī)律性小結(jié)：幾個(gè)公式:(1)利潤售價(jià)成本(進(jìn)價(jià))；(2):(3)利潤成本（進(jìn)價(jià)）×利潤率；利潤率是相對(duì)于進(jìn)價(jià)而言的，特別注意“利潤”和“利潤率”是不同的兩

16、個(gè)概念例12: 小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢？（利息所得稅利息金額×20%，教育儲(chǔ)蓄沒有利息所得稅）分析：設(shè)教育儲(chǔ)蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：解答：解:設(shè)存一年教育儲(chǔ)蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程：，解得：答：存教育儲(chǔ)蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元. 儲(chǔ)蓄問題規(guī)律性小結(jié)：我們?cè)诮庖恍┥婕暗叫谐獭⑹杖?、支出、增長率等的實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)候不容易找出

17、其等量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.(2)基本關(guān)系式利息本金×利率×期數(shù)本息和本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金× (1利率×期數(shù))利息稅利息×利息稅率本金×利率×期數(shù)×利息稅率。 稅后利息利息× (1利息稅率) 年利率月利率×12 例13: 某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成

18、最多套？分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)×2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)×1解答:解:設(shè)安排人生產(chǎn)螺栓，人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)，螺母20個(gè)，依題意，得解之得:答:故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母配套問題規(guī)律性小結(jié)：解決配套問題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見的配套問題的等量關(guān)系是：“二合一”問題：如果件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品配成一套，那么一套中甲乙的數(shù)量比為a:b，要想生產(chǎn)出來的所有產(chǎn)品配套，就得滿足甲乙的總數(shù)量之比也為a:b.基本等量關(guān)系是：總量各部

19、分之間的比例=每一套各部分之間的比例。例14: 兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù)。分析：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100xy問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為： 100yx解答: 解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。依題意可得： 解得：答：這兩個(gè)兩位數(shù)分別為45，23.數(shù)字問題規(guī)律性小結(jié)：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)

20、概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字例15: 如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個(gè)長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？分析：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們?cè)O(shè)每個(gè)小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。解答:解：設(shè)長方形地磚的長xcm,寬ycm，由題意得：答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm。幾何問題規(guī)律性小結(jié)：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)

21、真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。列二元一次方程解應(yīng)用題規(guī)律方法指導(dǎo)1列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系. 一般來說，有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.2 列方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)未知數(shù)（可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元），根據(jù)題中相等關(guān)系，列出方程組，解所列方程組，并檢驗(yàn)解的正確性，寫出答案.題型五：二元一次方程組與一次函數(shù)綜合例16: 選擇題下面四條直線，其中直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程2

22、xy=2的解的是（）A B C D分析：根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，當(dāng)x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，即可得出圖象解答：解：2xy=2，y=2x2，當(dāng)x=0，y=2；當(dāng)y=0，x=1，一次函數(shù)y=2x2，與y軸交于點(diǎn)（0，2），與x軸交于點(diǎn)（1，0），即可得出選項(xiàng)B符合要求，故選：B例17如圖，一次函數(shù)y=k1x+b1的圖象l1與y=k2x+b2的圖象l2相交于點(diǎn)P，則方程組的解是（）ABCD分析：根據(jù)圖象求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出答案解答：解：由圖象可知：一次函數(shù)y=k1x+b1的圖象l1與y=k2x+b2的圖象l2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2

23、，3），方程組的解是，故選A例18: 小亮用作圖象的方法解二元一次方程組時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出了相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象l1、l2，如圖所示，他解的這個(gè)方程組是（）ABCD分析：兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)為兩個(gè)一次函數(shù)解析式所組方程組的解因此本題需根據(jù)圖中直線所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出兩個(gè)一次函數(shù)的解析式然后聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，即可得出所求的方程組解答：解：由圖可知：直線l1過（2，2），（0，2），因此直線l1的函數(shù)解析式為：y=2x+2；直線l2過（2，0），（2，2），因此直線l2的函數(shù)解析式為：y=x1；因此所求的二元一次方程組為；故選D例19: 如圖，直線l1：y=x+1與直線l2：y=mx+n相交于點(diǎn)P（1，b）（1）求b的值；（2）不解關(guān)于x，y的方程組，請(qǐng)你直接寫出它的解；（3）直線l3：y=nx+m是否也經(jīng)過點(diǎn)P？請(qǐng)說明理由經(jīng)過分析:（1）將P（1，b）代入y=x+1即可求出b的值；（2）交點(diǎn)P的坐標(biāo)即為方程組的解；（3）將P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=nx+m，若等式成立，則點(diǎn)P在函數(shù)圖象上，否則不在函數(shù)圖象上解答：解：（1）將P（1，b）代入y=x+1，得b=1+1=2；（2）由