矩陣不等式的擴(kuò)充與某些性質(zhì)

1、矩陣不等式的擴(kuò)充與某些性質(zhì)學(xué)生姓名 張旭東 指導(dǎo)教師 溫瑞萍（太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系14011班 山西太原 030012）【內(nèi)容摘要】 本文擴(kuò)充了矩陣不等式的定義，突破了在矩陣不等式中矩陣必須為對(duì)稱矩陣的限制，并進(jìn)一步討論，證明了矩陣不等式的某些性質(zhì)。【關(guān)鍵詞】 正定矩陣 矩陣不等式 交換引言 對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，如果對(duì)任意的x，且x0,都有，則稱A為正定矩陣，記為A>0；如果對(duì)于任意x，都有，則稱A為半正定矩陣，記為；如果對(duì)任意的x，且x0，都有，則稱A為負(fù)定矩陣，記為A<0；如果對(duì)任意的x，都有，則稱A為半負(fù)定的，記為A。如果總存在,使, ,則稱A為不定矩陣。定義：設(shè)A,B均為n

2、階實(shí)對(duì)稱矩陣，如果A-B，則稱A大于等于B（或稱B小于等于A）記作AB（或BA）；，如果A-B>0，則稱A大于B（或稱B小于A），記作A>B（或B<A）。引理 A是正定矩陣的充要條件是A的任意階順序主子式大于零。引理 A是負(fù)定矩陣的充要條件-A是正定矩陣。表示n階實(shí)矩陣空間。（）表示矩陣A的i階順序主子式。引理1 設(shè)A,則A可唯一表示成一對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣的和。即A=S（A）+K（A）。 其中S(A)=(+,K(A)= ，則，。S(A)表示A的對(duì)稱部分，K(A)表示A的反對(duì)稱部分。 在英文中symmetrical表示“對(duì)稱的”，所以在本文中用S(A)表示矩陣A的對(duì)稱部分，s

3、kew表示“反對(duì)稱的”，而本文已用了S(A)表示矩陣A的對(duì)稱部分，故用K(A)表示矩陣A的反對(duì)稱部分。正文 本文突破了矩陣不等式中矩陣必須為對(duì)稱矩陣的限制，從而擴(kuò)充了矩陣不等式的范圍。引理2 A，B，如果K（A）=K（B），則A-B是對(duì)稱矩陣。定義：設(shè)A，B，如果K（A）=K（B），且有A-B，則稱A大于等于B（或稱B小于等于A），記作AB；如果K（A）=K（B）且有A-B>0，則稱A大于B（或稱B小于A），記作A>B（或B<A）。如: A= B= A,B均不是對(duì)稱矩陣。 但 K(A)= K（B）= K(A)=K(B) A-B= 則A-B是對(duì)稱矩陣，且 =4>0 =12

4、>0 =32>0 A-B>0 即A>B。這里當(dāng)n為1時(shí)，所定義的不等式便是實(shí)數(shù)不等式，當(dāng)n大于或等于2時(shí)，所定義的不等式便與一般不等式有所不同，這里的大于或小于僅是一種記號(hào)，表示正定或負(fù)定，是矩陣中的一種偏序，而不是一般意義下的大小。如任意兩個(gè)實(shí)數(shù)總能比較大小，但任意兩個(gè)n階矩陣不一定能比較大小。因?yàn)?，首先?duì)于任意的n階矩陣A，B。A-B便不一定是對(duì)稱矩陣。就算A-B是對(duì)稱矩陣也不一定能比較大小。如：A= B= A-B=顯然A-B不是對(duì)稱矩陣，當(dāng)然不能判斷正定。A= B= A-B= A-B是對(duì)稱矩陣但由于=-1 =1 AB或BA均不成立。引理：設(shè)A，B，C，D，且K(A

5、)=K(B)=K(C)=K(D),則1） AB (A>B)kAkB (kA>kB) k>0kAkB(kA<kB) k<02） A0 B0A+B03） A0 B>0 A+B>04） AB BAA=B5） AB BCAC6） AB CDA+CB+D7） AB B>C A>C8） A>0 (A0) B>0 (B0)且AB=BA,則AB>0(AB0)9） ABA+CB+C由引理3的性質(zhì)1） 可得A，B則，則AB-A-B由引理3的性質(zhì)4） 可得A，則A0 A0A=0定理4：設(shè)A，B，則A>B的充要條件是：對(duì)任意nm列滿秩矩陣P

6、都有。證明：必要性 = x,x0由于P列滿秩 Px0 = 此即 充分性 即 x,x0 >0 由于 p的任意性知 A-B>0 即 A>B引理：設(shè)A，B，C，D,則 1)如果A>B, C>0，且AC=CA, BC=CB,則 AC>BC； 如果A>B, C<0, 且AC=CA, BC=CB,則 AC<BC。 2)如果A>B>0, C>D>0,且有AC=CA, BD=DB, AB=BA或BC=CB,那么AC>BD。 3)如果A>0,則。定理6:如果A,B A,B>0且AB=BA,那么 。證明:充分

7、性:A>0,B>0,且A>B 由引理3的2)可知 必要性: (A-B)>0 由于A>0,B>0 則可知>0 從而存在。 式兩邊同乘以,則可得A-B>0,即A>B。定義:設(shè)>0,則=; <O,則=-。定理7:設(shè)A>B或A<B,且AB=BA,則。證明: 即 。定理8: 設(shè)n階實(shí)矩陣 或,且,則>。證明:由于 或, 且 ,所以,則存在唯一正定矩陣,使,所以有意義。而由定理6知>定理9:對(duì)于任意n階正定矩陣A,存在唯一正定矩陣B,使A=B,k。證明:由于A是正定矩陣,從而存在唯一正定矩陣C,使A=C。由數(shù)學(xué)歸納法

8、可易證存在正定矩陣B,使A=B。 對(duì)于正定矩陣A和B,如果A=B,則稱B為A的2k次方根，記為B=。推論:對(duì)于A, A,A>0,A不完全相等,且可互相交換，則有性質(zhì)1:設(shè)A是n階不對(duì)稱矩陣,B=-,則如A在兩等號(hào)的特征值,A>B或B>A不成立。證明:顯然可知：A-B即-是對(duì)稱矩陣。設(shè)A的兩特征值分別為,且相對(duì)應(yīng)的一特征值向量為, 0則 不成立。相對(duì)應(yīng)的一特征值向量為, 則 不成立。性質(zhì)2:設(shè)A,B,C為n階正定矩陣,且可相互交換,并且可排序,求證。證明:由于B,C可排序.所以有 又 同理 性質(zhì)3:設(shè)A,B為n階正定矩陣,并可相互交換,并且可排序,則有。證明: = =由于 由于

9、A,B可排序 或 則 即 性質(zhì)4:,并可相互交換,可排序,則。證明:由例3可得 同理可得 = = 由于矩陣的乘法不滿足交換律,并且任意的n階矩陣也不一定能比較大小,這里的矩陣順序與一般實(shí)數(shù)的順序有所不同,但兩者之間又有一定的相似之處。以上，只探討了矩陣不等式的一些基本性質(zhì)和基礎(chǔ)知識(shí), 并擴(kuò)充了矩陣不等式的定義。矩陣不等式的知識(shí)有待以后繼續(xù)探討。參考文獻(xiàn)1北大數(shù)學(xué)系 高等代數(shù) 高教出版社 19872南京航天航空大學(xué) 矩陣論 科學(xué)出版社 2000THE EXPANSION OF MATRIX INEQUALITY AND SOME CERTAIN QUALITIESStudent Zhang Xu

10、dong Teacher Wen RuipingThe department of math of Tai Yuan Teachers College Tai Yuan Shan Xi 030012Abstract This paper studies the expansion of matrix inequality, breaking through the restriction that the matrix in matrix inequality must be symmetric matrix, and in this part ,I discuss and testify the some qu