數(shù)列與不等式證明專題

1、數(shù)列與不等式證明專題復(fù)習(xí)建議：1“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果2歸納猜想證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，計(jì)算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義3解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來分析、解決問題4數(shù)列與解析幾何的綜合問題解

2、決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解證明方法：（1）先放縮后求和；（2）先求和后放縮 (3)靈活運(yùn)用例1數(shù)列 ()求并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； ()設(shè)證明：當(dāng)分析：本題給出數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，且要對(duì)n分奇偶性。解: ()因?yàn)樗?一般地，當(dāng)時(shí)，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項(xiàng)公式為()由()知， -得， 所以 要證明當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，成立.證法一 (1)當(dāng)n = 6時(shí)，成立. (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即 則當(dāng)n=k+1時(shí)， 由(1

3、)、(2)所述，當(dāng)n6時(shí)，.即當(dāng)n6時(shí)，證法二 令，則所以當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)時(shí)， 綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)評(píng)：本題奇偶分類要仔細(xì)，第（2）問證明時(shí)可采用分析法。例題2. 已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列an的首項(xiàng).(1) 求函數(shù)的表達(dá)式； 求證：； 求證：分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解： 又為銳角 都大于0 , , 又 點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。例題3.已知數(shù)列滿足（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列

4、；（）證明：分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮 解：（1）， 故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。 ，（2）， 得，即 得，即 所以數(shù)列是等差數(shù)列（3）設(shè)，則 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對(duì)于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。例題4. 已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（） （） （）若則當(dāng)n2時(shí),.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進(jìn)行放縮。解：()先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知

5、得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?x1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對(duì)于一切正整數(shù)都成立.又由, 得,從而.綜上可知()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因?yàn)?所以,即0,從而() 因?yàn)?,所以, , 所以 由()知:, 所以= , 因?yàn)? n2, 所以 1）化簡(jiǎn)得： ,故數(shù)列是以為首項(xiàng), 公比為的等比數(shù)列. 故 數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，由于-1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來一起進(jìn)行放縮，嘗試知：，因此，可將保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對(duì)進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， （2）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，所以對(duì)任意整數(shù)，有。 本題的關(guān)鍵是并項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。例題9. 定義數(shù)列如下： 證明：（1）對(duì)于恒有成立。 （2）當(dāng)，有成立。（3）。分析：