二次函數(shù)最值知識點總結(jié)_典型例題及習題

1、1二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一、 知識要點：一元二次函數(shù)的區(qū)間最值問題，核心是函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間的相對位置關(guān)系的討論。一般分為：對稱 軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況設f (x)二ax2bx c(a = 0)，求f (x)在x m, n上的最大值與最小值。當a 0時，它的圖象是開口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在m，n上f (x)的最值:較大者。u(2)當m，n 1時2au若-一：:m，由f (x)在m,n 上是增函數(shù)則f (x)的最小值是f(m)，最大值是f (n) 2a若n:一，由f (x)在Im，n上是減函數(shù)則f (x)的最大值是f(m)，最小值是f (n)2a當a : 0時，可類比得結(jié)論

2、。二、例題分析歸類：(一)、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問題的關(guān)鍵。此類問題包括以下四種情形：(1)軸定，區(qū)間定；(2)軸定，區(qū)間變；(3)軸變，區(qū)間定；(4)軸變，區(qū)間變。1.軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是 定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值例 1.函數(shù)y = -X2+4X -2在區(qū)間0，3上的最大值是 _ ，最小值是 _練習.已知2x2- 3x，求函數(shù)f (x) = X2 x 1的最值。2、軸定區(qū)間變二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情況是值”分析：將f(x

3、)配方，得頂點為2a，4ac b24a)、對稱軸為b2a(1)當-Im，n I時，f (x)的最小值是2ab 4ac-b22a 4af (x)的最大值是f (m)、f (n)中的定函數(shù)在動區(qū)間上的最2例 2.如果函數(shù)f (x) = (x -1)21定義在區(qū)間l-t，t 1 1上，求f (x)的最值。3例 3.已知f (x) - -x2-4x亠3，當x t,t1(t R)時，求f(x)的最值.對二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象 總結(jié)如下:b 1f(m),- (m+n)(如圖 1)2 a 2當a=0時f(X)max=b 1f (x)minf(n)，一 c丄(m+ n)(如圖 2). 2a 2re 3

4、圖請創(chuàng)5當a：0時bf(n)，bn(如圖 6)f(X)max=f(一), m蘭一蘭n(如圖 7) f(x)min2a2af (m),一- cm(如圖 8)2af (m),f (n)，b 1(m n)(如圖 9)2a 2b 1(m n)(如圖 10)2a 2f(n)，-衛(wèi)n(如圖 3)2a=f(),m蘭一 n(如圖 4)2a2af (m), - m(如圖 5)2a43、軸變區(qū)間定5二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運動的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這種情況是二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值 ”。例 4.已知x21，且a - 2 _ 0，求函數(shù)f (x x2ax 3的最值。例 5. (1)求f (

5、x) = x2 2ax -1在區(qū)間-1,2上的最大值。(2)求函數(shù)y =-x(x-a)在x一1,1上的最大值。(二)、逆向型是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。例 7.已知函數(shù)f (x)二ax2，2ax，1在區(qū)間-3,2上的最大值為 4,求實數(shù) a 的值。2x例 8.已知函數(shù)f (x)x在區(qū)間m, n上的最小值是 3m最大值是 3n，求m，n的值。26例 9.已知二次函數(shù)2f(x)=ax (2a-1)x1在區(qū)間-3,2上的最大值為-23,求實數(shù) a 的值。7二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值專題演練=x2x 1在-1,1上的最小值和最大值分別是3函數(shù)八8的最值為4若函數(shù)y =2U

6、 x2+4x,xE0,4的取值范圍是 _235已知函數(shù)f(x)二ax2 (2a -1)x-3(aH0)在區(qū)間,2上的最大值是1，則實數(shù)26已知函數(shù)y =x2-2x 3在閉區(qū)間0,m上有最大值 3，最小值 2,則m的取值范圍是( )(A)1,(B)0,2(C)1,2(D)(：,227.設f(x) =x -4x-4,x t,t 1(t R),求函數(shù)f (x)的最小值.8.已知函數(shù)f(x) =4x -kx-8 在5,20上具有單調(diào)性，求實數(shù)k 的取值范圍。9.若函數(shù)f(x) =(a-2)x2，2(a-2)x-4：0 對一切 R恒成立，則 a 的取值范圍()A.(：,2B. -2,2C.(-2,2D.

7、(：，-2)10.已知函數(shù)f (x4x24ax 2 在(-：,0內(nèi)單調(diào)遞減，則 a 取()A.a - 3B.a - 3C. a-3D. a -_311. 已知函數(shù)f(x)=-x2，kx 在2,4上是單調(diào)函數(shù)，求 k 的取值范圍。12. 已知函數(shù)f(x) -x2x 3 在0,m上有最大值是 3，最小值是 2，求 m 的取值范圍。13. 已知函數(shù)f(X)=3j-X2+4的最大值為 M，最小值為 m,則 M+m=_.1 函數(shù)y(A)1 ,33(B)4，31(C)-,32(D)2.函數(shù)y = -x2 4x -2在區(qū)間1,4上的最小值)(AH 7(B) -4(C) -2(D)2(A)最大值為 8,最小值

8、為 0(B)不存在最小值,最大值為(C)最小值為 0,不存在最大值(D)不存在最小值，也不存在最大值a 的值為-814. 已知函數(shù)f(x)=4x -4ax a -2a+2 在0,2上的最小值為 3,求 a 的值。15. 求函數(shù)f (x -x22 x +3的單調(diào)區(qū)間。16.已知函數(shù)f(x)=_2x - 6x在下列定義域上的值域：(1 )定義域為x Z|0 _ x _3(2)定義域為-2,1.217已知函數(shù)f(x) =x ax a,若x-2,2，有f(x)_2恒成立，求 a 的取值范圍。18.已知函數(shù)f(x) =X2，-2 _x _a,其中a _2，求該函數(shù)的最大值與最小值。19 已知二次函數(shù)f

9、(x)二-x26x a的函數(shù)值總為負數(shù)，求a 的取值范圍。20. 已知二次函數(shù)f (x) = (m - 6)x - 2(m1)x m -1的圖像與 x 軸總有交點，求 m 的取值范圍。221. 已知二次函數(shù)f (x) =x - (m -1)x m - 3頂點在 y 軸上，求 m 的值。2 222. 已知函數(shù)f (x) = mx (m -m)x 2的圖像關(guān)于 y 軸對稱，求 m 的值。23. 已知函數(shù)f (x) = (a-2)x2 2(a-2)x-4：0對一切 x 恒成立，求 m 的取值范圍。24. 已知函數(shù)f (x) =x2-4ax,(1乞x乞3)是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a 的取值范圍。25. 已

10、知函數(shù)f(x) =x2-ax 1有負值，求 a 的取值范圍。226. 已知函數(shù)f(x)=(m-2)x -3-2m的圖像在 x 軸下方，求 m 的值。2127. 已知函數(shù)f (x) = x2ax 0對于一切(0, 成立，求 a 的取值范圍。22 _28. 已知函數(shù)f (x) =2x - mx 3，當(一-1時是減函數(shù)，求 m 的取值范圍。29 已知函數(shù)f (x) * x2-2ax-a的定義域是 R,求 a 的取值范圍。30.已知函數(shù)f (x)二x24ax 2a - 6(x R)的值域為0, ：，求 a 的值。231.已知函數(shù)f(x)=x -4x_m對于x (0,1恒成立，求 m 的取值范圍。_

11、232.已知函數(shù)f(x)二x bx c在0,=：)上是單調(diào)函數(shù)，則 b 的取值范圍。33.已知函數(shù)f (x) =2x2-(2 a)x 2a(a 2)，求在0, 2上的最小值。34.已知函數(shù)f(x) =2x2-(2 a)x 2a，在0,2上是單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍。935. 已知函數(shù)f (x) =2x2-(2 a)x 2a，在t,t 2上是偶函數(shù)，求 a 的取值范圍。236. 當 a=-2 時，求屈數(shù)f (x) -2x -(2 a)x 2a在t,t 2上的最小值。37. 已知函數(shù)f(x) = .2x2-(2 a)x 2a的定義域為 R，求 a 的取值范圍。238. 已知函數(shù)f(x)=x2a

12、x 1，求x二-2,1上的最值。239. 已知函數(shù)f (x) = x 2x -1，求m, m 1上的最值。240. 已知函數(shù)f(x)=-x 2ax a,x：二0,1上的最值為 2,求 a 的值。241. 已知函數(shù)f(x) =x 2x 2:(1 )若x R，求 f(x)的最小值。(2) 若x1,3，求 f(x)的最小值。(3) 若x a, a 2, a R，求 f(x)的最小值。242. 已知函數(shù)f(x)=-x 2kx 3，求-1,2上的最大值。243. 已知函數(shù)f (x)二kx 2kx 1，求X -3,2上的最值。21244. 已知函數(shù)f(x) =-3x -3x b,求-b,b,(b 0)上的

13、最值。445. 已知函數(shù)f (x) =-x(x-t) 1，求xT,1上的最值。46. 已知函數(shù)f(x)二ax2 (2a-1)x-3，求-|,2上的最大值。247. 已知函數(shù)f (x)二x ax 3，求x 0,1上的最值。48. 已知函數(shù)f(x) - -x(x-a)，求-1,a上的最大值。249.已知函數(shù)f(x) =x 2ax 1，在x-1,2上的最大值為 4,求 a 的值。2 21 150. 若不等式9x -6ax a -2a-6_0在x內(nèi)恒成立，求 a 的取值范圍。3351. 已知函數(shù)f(x) -x22x 3，求xt,t 1上的最值。252. 已知函數(shù)f(x) -ax -2ax 5，求x0,3上的最值。253. 已知函數(shù)f (x) = -2x -ax 3，求-3,1上的最值。1054. 已知函數(shù)f(x)二ax2-3x 8，求-2, ：上的最值。55. 已知函數(shù)f (x) = (4-3a)x2-2x a，求0,1上的最值。56. 已知函數(shù)f(x) =x2(2t 1)x t2-1，當 t 取何值時，函數(shù)的最小值為0.257. 已知函數(shù)f(x)二X -2tx 1，求-1,1上的最大值。258. 已知函數(shù)f(x) -x -4x a，在x，0,6上的最大值為 13，求 a 的值。259. 已知函數(shù)f (x) =x - 2ax 4，在x 0,3上的最小值為