高中不等式的證明方法

1、不等式的證明方法不等式的證明是高中數(shù)學的一個難點，證明方法多種多樣，近幾年高考出現(xiàn)較為形式較為活躍，證明中經(jīng)常需與函數(shù)、數(shù)列的知識綜合應(yīng)用，靈活的掌握運用各種方法是學好這部分知識的一個前提，下面我們將證明中常見的幾種方法作一列舉。注意的變式應(yīng)用。常用 (其中)來解決有關(guān)根式不等式的問題。一、比較法比較法是證明不等式最基本的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。1、已知a,b,c均為正數(shù)，求證： 證明：a,b均為正數(shù)， 同理，三式相加，可得二、綜合法綜合法是依據(jù)題設(shè)條件與基本不等式的性質(zhì)等，運用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結(jié)論。2、a、b、，求證：證：3、設(shè)、是互不相等的正數(shù)，求證：

2、證： 同理： 4、 知a,b,c，求證: 證明： 即，兩邊開平方得同理可得三式相加，得5、且，證：。證：6、已知策略:由于證明：。三、分析法分析法的思路是“執(zhí)果索因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。7、已知、為正數(shù)，求證：證：要證：只需證：即： 成立 原不等式成立8、且，求證。證：即： 即原命題成立四、換元法換元法實質(zhì)上就是變量代換法，即對所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當?shù)淖儞Q，以達到化難為易的目的。9、，求證：。證明：令 左 10、，求證：證：由設(shè)， 11、已知a>b>c,求證：證明：ab>0, bc>0, ac>0 可設(shè)

3、ab=x, bc=y (x, y>0) 則ac= x + y, 原不等式轉(zhuǎn)化為證明即證，即證 原不等式成立（當僅x=y當“=”成立）12、已知1xy2，求證：xxyy3證明：1xy2，可設(shè)x = rcos，y = rsin，其中1r2，0xxyy= rrsin= r(1sin)，1sin，rr(1sin)r，而r，r3 xxyy313、已知x2xyy2，求證：| xy |證明：x2xyy= (xy)y，可設(shè)xy = rcos，y = rsin，其中0r，0| xy | =| xy2y | = | rcos2rsin| = r|sin(ractan)|14、解不等式解：因為=6，故可令 =

4、 sin， cos，0，則原不等式化為 sin cos 所以 sin + cos由0，知+ cos0，將上式兩邊平方并整理，得48 cos2+4 cos230解得0cos所以x6cos21，且x1，故原不等式的解集是x|-1x . 15、1x證明：1x0，1x1，故可設(shè)x = cos，其中0則x =cos= sincos=sin()，1sin()，即1x五、增量代換法在對稱式(任意互換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如abc)的不等式，常用增量進行代換，代換的目的是減少變量的個數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡16、已知a，bR，且ab = 1，求證：(

5、a2)(b2)證明：a，bR，且ab = 1，設(shè)a =t，b=t， (tR)則(a2)(b2)= (t2)(t2)= (t)(t)= 2t(a2)(b2)六、利用“1”的代換型17、策略：做“1”的代換。證明： .七、反證法反證法的思路是“假設(shè)矛盾肯定”，采用反證法時，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。18、若p0，q0，pq= 2，求證：pq2證明：反證法假設(shè)pq2，則(pq)8，即pq3pq (pq)8，pq= 2，pq (pq)2故pq (pq)2 = pq= (pq)( ppqq)，又p0，q0 pq0，pqppqq，即(pq) 0，矛盾故假設(shè)pq2不

6、成立，pq219、已知、（0，1），求證：，不能均大于。證明：假設(shè)，均大于 ，均為正 同理 不正確 假設(shè)不成立 原命題正確20、已知a,b,c（0，1），求證：（1a）b, （1b）c, （1c）a 不能同時大于。證明：假設(shè)三式同時大于0a1 1a0 21、，求證：、均為正數(shù)。證明：反證法：假設(shè)、不均為正數(shù) 又 、兩負一正不妨設(shè)， 又 同乘以 即，與已知矛盾 假設(shè)不成立 、均為正數(shù)八、放縮法放縮時常用的方法有：1去或加上一些項2分子或分母放大（或縮?。?用函數(shù)單調(diào)性放縮4用已知不等式放縮22、已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：12證明：，將上述四個同向不等式兩邊分別相加，得：1223、，求證：

7、。證明：   判別式法24、A、B、C為的內(nèi)角，、為任意實數(shù)，求證：。證明：構(gòu)造函數(shù)，判別式法令 為開口向上的拋物線 無論、為何值， 命題真九、構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)法證明不等式24 設(shè)0a、b、c2，求證：4abcabc2ab2bc2ca證明：視a為自變量，構(gòu)造一次函數(shù)= 4abcabc2ab2bc2ca = (bc2b2c4)a(bc2bc)，由0a2，知表示一條線段又= bc2bc = (bc)0，= bc4b4c8 = (b2)(c2)0，可見上述線段在橫軸及其上方，0，即4abcabc2ab2bc2ca構(gòu)造向量法證明不等式 根據(jù)已知條件與欲證不等式結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為向量形式，利用

8、向量數(shù)量積及不等式關(guān)系·|·|，就能避免復雜的湊配技巧，使解題過程簡化應(yīng)用這一方法證明一些具有和積結(jié)構(gòu)的代數(shù)不等式，思路清晰，易于掌握25、 設(shè)a、bR，且ab =1，求證：(a2)(b2)證明：構(gòu)造向量= (a2，b2)，= (1，1)設(shè)和的夾角為，其中0| =，| =，·= |·|cos=··cos；yxxy = 02ABDCO另一方面，·= (a2)·1(b2)·1 = ab4 = 5，而0|cos|1，所以·5，從而(a2)(b2) 構(gòu)造解析幾何模型證明不等式 如果不等式兩邊可以通過某種

9、方式與圖形建立聯(lián)系，則可根據(jù)已知式的結(jié)構(gòu)挖掘出它的幾何背景，通過構(gòu)造解析幾何模型，化數(shù)為形，利用數(shù)學模型的直觀性，將不等式表達的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決 26、設(shè)a0，b0，ab = 1，求證：2證明：所證不等式變形為：2這可認為是點A()到直線 xy = 0的距離但因()()= 4，故點A在圓xy= 4 (x0，y0)上如圖所示，ADBC，半徑AOAD，即有：2，所以21實數(shù)絕對值的定義: |a|=這是去掉絕對值符號的依據(jù)，是解含絕對值符號的不等式的基礎(chǔ)。 2最簡單的含絕對值符號的不等式的解。 若a>0時，則 |x|<a -a<x<a；|x|>a x<-a或x>a。 注:這里利用實數(shù)絕對值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數(shù)軸上的動點P(x)到原點的距離。 3常用的同解變形