小升初幾何專項(xiàng)

1、小升初幾何專題幾何（平面圖形知識地圖一個思想其它廠邊定理.共角定理三角形底邊與面積關(guān)系蝴蝶定理“五個模型梯形蝴蝶定理相似三角形燕尾定理二、基礎(chǔ)知識小學(xué)奧數(shù)的平面幾何問題，是以等積變形為主導(dǎo)思想，結(jié)合五大模型的變化應(yīng)用，交織而成。攻克奧數(shù)平面幾何，一定要從等積變形開始。1、等積變形。等積變形，它的特點(diǎn)是利用面積相等而進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，面積相等的兩個圖形 我們就稱之為等積形。我們所研究的等積變形，更多的是三角形的等積變形， 三角形等積變形的中心思想是等底等高，因?yàn)槿切蔚拿娣e=底乂高十2，所 以說等底等高的兩個三角形面積相等。另外，等底等高的平行四邊形、梯形（梯形等底應(yīng)理解為兩底和相等）的面積也相等。

2、在實(shí)際中，我們經(jīng)常用到的與等積變形相關(guān)的性質(zhì)主要有以下幾點(diǎn)：（1）直線AB平行于CD，可知S.acd = S bcd ；反之，如果S.ACD二S.BCD，則可知直線AB平行于CD。ABCD（因?yàn)槠叫芯€間的距離是處處相等的哦！，聰明的你想到了嗎？）（2）兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；特別地，我們有等腰三角形底邊上的高線平分三角形面積 三角形一邊上的中線平分這個三角形的面積。 平行四邊形的對角線平分它的面積（3）共邊定理：若 PAB和厶QAB的公共邊AB所在直線與直線PQ交于M ,則 S PAB ： S QAB - PM ： QM ；（4）共角

3、定理：在 ABC和厶ABC沖，若.A=/A或.A A = 180，則S.A BCAB ACoSabc AB AC（5）過矩形內(nèi)部的一點(diǎn)引兩條直線分別與兩組邊平行，所分得的四個小矩形， 其面積滿足： S S4 =S2 S3 oSiS2S3S4（6）E為矩形ABCM部的任意一點(diǎn)，貝U1S abe - S CDE = S ADE S -bc-SabcD ；當(dāng)E落在矩形的某條邊上時，也成立。特別地，(5) (6)兩條性質(zhì)對于平行四邊形同樣成立。2、五大模型。我們把學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的問題歸納為五個基本的模型， 總的來說，這五個基本模 型都是用來解決三角形邊與面積之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的問題。讓我們一起來感受一

4、下模型的魅力吧！模型一：在同一三角形中，相應(yīng)面積與底成正比關(guān)系： 即：兩個三角形高相等，面積之比等于對應(yīng)底邊之比。 或：兩個三角形底相等，面積之比等于對應(yīng)的高之比。Si - S2 =a - b ;拓展： 等分點(diǎn)結(jié)論(“鳥頭定理”)A2 11如圖'三角形AED占三角形ABC面積的3 X 4 = 6鳥頭定理是對模型一的一個拓展，有興趣的話，你可以試著證明一下哦!模型二：任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”) Si : S2=S : S3 或者 Si X S=SX S AO： 0C=(Si+S2)：( S+S)蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。構(gòu)造模型,方面我們可以使

5、不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系，另一方 面，我們也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。模型三：梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”） S : s=a2 ： b222 Si : S3 : S2 : S=a : b : ab : ab ; S的對應(yīng)份數(shù)為（a+b） 2梯形蝴蝶定理，給我們提供了解決梯形面積與上下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道 構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往有事半功倍的效果。模型四：相似三角形性質(zhì)A B C H ? Si : S=a2 ： A所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形，（只要其形狀不改變, 不論大小怎樣改變他們都相似），與相似三角形相關(guān)，常用的性質(zhì)及定理如

6、下：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。（2）相似三角形的一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于它們的相似比。（3）相似三角形周長的比等于它們的相似比。（4）相似三角形面積的比等于它們相似比的平方。（5）特別的，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段我們叫做三角形的中位線。關(guān)于三角形的中位線我們有這樣一個結(jié)論：三角形中位線定理：三角形的中位線長等于他所對應(yīng)的底邊長的一半。對于梯形，我們也有類似的結(jié)論。連接梯形兩腰得到的線段我們叫做梯形的中位線。梯形的中位線長等于它上下底邊之和的一半。（6）那么如何判斷三角形是不是相似呢？我們一般有三種方法：a：三個角對應(yīng)相等

7、的三角形相似，（事實(shí)上只要有兩個角相等就可以了）。b：有兩邊對應(yīng)成比例且其兩條邊的夾角相等的三角形相似。c :三邊分別對應(yīng)成比例的三角形相似。注意：在小學(xué)奧數(shù)里，最多出現(xiàn)的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)相似三角形，如模型四。相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具。模型五：燕尾定理Sa abG Sagc= S bg：SEGC= BEEC;Sa bgA Sabgc= Sa AG：Safgc= AF：FC;Sa agc Sbcg= Sx adGSadgb= ADDB燕尾定理因?yàn)閳D形類似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三 角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊

8、之間提供互相聯(lián)系的途徑。3、計算過程中連接輔助線的四個原則。幾何作為數(shù)形結(jié)合的學(xué)科，圖形的運(yùn)用往往在解題過程中起到至關(guān)重要的作用。 在小學(xué)階段的平面幾何學(xué)習(xí)中，我們在運(yùn)用圖形連接輔助線時一般遵循以下四個 原則（1）把四邊形或者多邊形變?yōu)槿切?，例如：D（2 ）連接等分點(diǎn)，例如:DC（3）構(gòu)造模型，例如:（4）做高線，構(gòu)造直角三角形三、經(jīng)典透析【例1】（）如下左圖。將三角形 ABC的BA邊延長1倍到D, CB邊延長2倍到E，AC邊延長3倍到F。如果三角形ABC的面積等于1,那么三角形DEF的 面積是0審題要點(diǎn)： 題目中給出的已知條件都是邊的倍比關(guān)系，其余的條件中只有一個 三角形ABC的面積是已知

9、，要想辦法使已知條件能夠相互關(guān)聯(lián)， 使邊 的倍比關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為面積之比，可以選擇模型一應(yīng)用。詳解過程:解：連結(jié)AE BF、CD（如上右圖）由EB=2BC得同理可得SeD=2Sabe=2 X Scbf =6。S CFD=3 X SACD =3。所以 S de= 1+2+3+1+2+6+3=18專家點(diǎn)評：這是北京市第一屆“迎春杯”刊賽第32題，非常經(jīng)典。解題過程中通過連接AE BF、CD使題目中所給的邊的倍比關(guān)系可以構(gòu)造模型一相互關(guān)聯(lián)， 再通過共高三角形面積與相應(yīng)底邊之間的對應(yīng)比例關(guān)系求解。111【例2】（）設(shè)AD二-AB，BE二BC，F(xiàn)C二AC，如果三角形DEF的3 45面積為19平方厘米，那么

10、三角形 ABC的面積是 方厘米。審題要點(diǎn)：和【例1】類似，題目已知條件中邊的倍比關(guān)系比較多，可以考慮應(yīng) 用模型一。解：S ADF = 3£ S ABC = 15 S. ABC4SabC=(+151+2)6 20S abc+19-S.Abc - 45.6專家點(diǎn)評：這是2004年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克 A卷的，其實(shí)競賽題不一定都是很難， 尤其是平面幾何部分，但他們十之八九都是很巧妙的，拿這道題來說, 圖形長得很普通，而題目當(dāng)中又給了那么多的倍比關(guān)系，那我們是不是可以考慮構(gòu)造模型一呢？ 整體看，Sabc =S.adf -S bde - S efc - S def，除了 S def =19，其余三

11、個我們可以直接用“鳥頭定理”。鳥頭定理也是本題的一個中心考點(diǎn)。【例3】（）四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)0 （如圖）所示。如果三角形ABD的面積等于三角形BCD的面積的，且A0 = 2，DO = 3，那么3CO的長度是DO的長度的咅。D審題要點(diǎn)：在本題中四邊形 ABCD為任意四邊形，且出現(xiàn)Saabd壓BC=1： 3 聯(lián)想模型二蝴蝶定理結(jié)論。詳解過程：解法一：AO：OC =S abd ：S-bdc =1：3OC = 2 3=6 OC:OD =6:3 =2解法1- S 'ABCS BCD31 .AH CG3S aod - 3 S.Doc1 .AO CO3.OC=2 3=6.OC:O

12、D =6:3 =2專家點(diǎn)評：本題是2003北京市第十九屆小學(xué)生“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽的試題。 在本題中，三角形ABD和三角形BCD的面積之比如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。方法一直接 應(yīng)用模型二蝴蝶定理的結(jié)論，而我們也可以不應(yīng)用蝴蝶定理，那么觀察題目中給 出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，我們需要一個中介，于是做AH垂直BD于H, CG BD于G，面積比轉(zhuǎn)化為高之比。再應(yīng)用模型一的結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出 AO=iCO例 4】：（）如下圖所示， AE： E01 : 2, CD： D吐 1 : 4, BF： FA1 : 3,三角形ABC的面積等于1,那么四邊形AFHG勺面積是AD C

13、審題要點(diǎn)：四邊形AFHG勺面積可以看作是三角形ABC的面積減去三角形BEC 的面積再分別減去三角形BFH和三角形AGE的面積得到的。如何把三角形邊 的倍比關(guān)系和要求的面積相聯(lián)系，是這道題的重點(diǎn)問題。詳解過程：以下各圖為了強(qiáng)調(diào)相關(guān)部分，暫去掉另外線條。解：如下圖所示，我們分別求出 BFH AGE的面積問題也就解決。女口上圖，我們設(shè) BFH= X，貝U AFH= 3x;設(shè) AHE= y，貝U CEH= 2y;33ACF = 3y+3x=于是有 ABE= 4x+y= 1412x 3y =1A如下圖，我們設(shè) AEG a,貝U CE& 2a；設(shè) CD& b,貝U BD& 4b;于

14、是有 ACD= 3a+b=-52BCE = 2a+5b=-3'15a +5b =1有 2a +5b2，則313* 1 ,所以a= 39 ；這樣，AFH& ABE- BFH- AEG= 1 丄一丄家點(diǎn)評：求四邊形AFHG ,可由三角形ABC的面積減去三角形BEC的面 積，再分別減去三角形BFH和三角形AGE的面積。而三角形BEC的面積可從 三角形面積與底邊的比例關(guān)系得到，于是問題轉(zhuǎn)化為如何求 Sbfh及S-age。S.bfh與Sage可由二元一次方程組分別解得解法1 3 2BH HE=Sbfc： Saef(= ：( X ) =1 ： 24 4 31)=丄

15、4336所以 SbffFSaabeX1 X 1 ) =1 X( 1 X 1)433-同理:AG： GD=Sabe： SabdeF1(2 x 4 ) =5 : 835所以，SagfSxadcX( x 1 )=丄 x( x -)=13 3513339AG : AD=5：( 5+8) =5 : 13 所以，S 四邊形 AFHG= Sa ABE一 S BF S AEG1 一 1 一 133639= 131468專家點(diǎn)評：本題解法二應(yīng)用的考點(diǎn)比較多，基本解題思路和解法一差不多，都是由SafhG= Saabe- S bfh- S aeg得出，而解法二首先應(yīng)用蝴蝶定理，先求線段BH與HE的比例關(guān)系，再利用鳥

16、頭定理解出Sbfh及Sage，最后求出S四邊形afh。比解 法一略顯簡潔，而且計算上也比較方便。注意考點(diǎn)：鳥頭定理和蝴蝶定理的應(yīng)用1【例 葩(、設(shè)正方形的面積為1,下圖中E、F分別為ABBD的中點(diǎn)，GC二FG3 求陰影部分面積。審題要點(diǎn)：陰影部分為三角形，知道底邊為正方形邊長的一半，只要求出高，便 可解出面積。解：作FH垂直BC于H; GI垂直BC于I根據(jù)相似三角形定理 CG： CF=CI： CH=1： 3又 CH=HB CI : CB=1： 6 即 BI : CB=(6-1 ) : 6=5 : 6S= 1 乂 1 乂 5 = 52 2624專家點(diǎn)評：本題考查模型四，利用三角形相似的性質(zhì)，求出

17、三角形對應(yīng)邊的比例 關(guān)系及長度，從而確定陰影部分的面積【例6】() ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E、F分別為AB, BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為平方厘米。審題要點(diǎn)：題目中出現(xiàn)E、F分別為邊的中點(diǎn)， 可以考慮應(yīng)用中位線定理。 解：設(shè)G H分別為AD DC的中點(diǎn)，連接 GH EF、BD1可得S四邊形ABCD4對角線BD被 EF、AC GH平均分成四段，DO： ED= BD： BD=2 : 3OE： ED=( ED-OD : ED=( 3-2 )： 3=1 : 31111所以 S AECP- X S 平行四邊形 ABC= X X 72=63434Sad(= 2 X Saae(=1

18、2o同理可得 Sacfm=6， Sacd=12o所以S ABC S AE& S CFMF24于是陰影部分的面積=24+12+12=48專家點(diǎn)評：這道題是2000年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽 A卷中的一道題。連接EF, BD,根據(jù)模型4以及三角形的中位線定理，判斷出O, M分別是其所在線段的三5個小矩形的面積成9【例7】()如圖， 如圖所示，矩形ABCD勺積。等分點(diǎn)，由此求出Saaeo及 Sacfm,曰 注意：本題應(yīng)用了三角形的中位APOD12E3H4FG16NMJLK審題要點(diǎn)：矩形被分割成9個小矩形，馬上可以聯(lián)想到矩形等積變形的兩個重要 結(jié)論。解：矩形PFM中，矩形OHND勺面積等于2X4-

19、3=8/3矩形 ABC中，矩形 IBLH 的面積等于(1+2)X( 16+4)十(8/3 ) =45/2 所以 矩形 ABC啲面積=1+2+4+16+(8/3 ) + (45/2 ) =289/6專家點(diǎn)評：本題是南京市第三屆興趣杯的原題，難度不大，主要是考察對矩形等積變形兩個重要結(jié)論之一：“過矩形內(nèi)部的一點(diǎn)引兩條直線分別與兩組邊平行，所分得的四個小矩形，其面積滿足：0 SS2 S3?！钡膽?yīng)用。先求出矩形OHND的面積，再求出矩形IBLA的面積，而矩形ABCD勺面積由矩形OHND口矩形IBLA 以及題目中所給的其他4個已知矩形的面積和求得。讀者可以自行通過求各邊比例方法進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)一步加深對定理

20、的理解。【例8 ()如圖，在梯形 ABCD中, AB與CD平行，且CD=2AB點(diǎn)E、F分別是AD和 BC的中點(diǎn)，已知陰影四邊形 EMFN勺面積是54 平方厘米，則梯形ABCD勺面積是平方厘米。審題要點(diǎn)：陰影部分的面積可以分解為兩個三角形的面積之和，而E、F又是梯形兩腰的中點(diǎn)，連接EF，對上下兩個梯形分別應(yīng)用蝴蝶定理。解法一：如圖，設(shè)上底為a，則下底為2a，梯形的高為h，1 3連接 EF,則 EF= (a+2a) =a；2 23 3所以 AB : EF=a：a=2 : 3, EF ： DC= a : 2a=3 : 4;2 2所以 hi=3 x h= h；5210.3x 3 .h2= x h= h

21、；72141 3313327陰影部分=Sefm+Saefn= 一 x - ax 一 h+ x - ax 一 h=一 ah2 21022147027即ah=54, ah=140701 33梯形 ABCD勺面積=x（ 1+2） ah=ah= x 140=210 （平方厘米）2 22專家點(diǎn)評：陰影部分可以看為兩個同底三角形的面積之和，根據(jù)梯形的面 積公式，求出兩個三角形的高和底，進(jìn)一步求出梯形面積，思考方法很簡 單，但要注意計算的準(zhǔn)確性。解法二：如圖，設(shè)上底為a，則下底為2a，梯形的高為h，1 3連接 EF,則 EF=（a+2a）=3a；2 23 3所以 AB : EF=a：a=2 : 3，EF ：

22、 DC= a : 2a=3 : 4;22所以 h1=3 x 一 h= h；5210h1=3 x 丄h=?h；7214所以Sa efm :Saefn= h 133:h1= h :h=7 : 51014根據(jù)梯形中的面積關(guān)系，得下圖因?yàn)?9x : 9y=x : y=7 : 5且x+y=54- 9=6 （平方厘米）所以x=6x =3.5 （平方厘米），y=6-3.5=2.5 （平方厘米）； 12所以梯形ABCD勺面積=3.5 x 25+2.5 x 49=210 （平方厘米）。 專家點(diǎn)評：連接EF以后，我們也可以把它看成是兩個梯形疊放在在一起, 應(yīng)用模型三梯形蝴蝶定理，可以確定各個小的三角形之中的比例關(guān)

23、系，應(yīng) 用比例即可求出梯形 ABC面積。注意：應(yīng)用梯形蝴蝶定理時注意比的運(yùn)算?！纠?】（）如圖，在平行四邊形 ABC中，BE=EC CF=2FD求陰影面積與空白面積的比。審題要點(diǎn)：題目中陰影部分不規(guī)則，但是有邊的倍比關(guān)系，BE=EC CF=2FE可以考慮將邊的倍比關(guān)系轉(zhuǎn)化為為面積之間的關(guān)系。解法：連接CG CH AC交BD于0,設(shè)SaBE=a，根據(jù)燕尾定理 Sa BEC=Sk EG=1 Sa AB(= Saagc2 2Sadh= Sacff= Sa ah= Sa ach236又因?yàn)?Sa ag=S ach 所以 SabeG=3S DHF_ _ 1S a ag=S cg= Saabg2S aAO

24、=SHO=Sahd所以abc=4Sabo=4X( a+2a) =12a陰影面積：Sabeg+ S a agh+ S ADFH=a+2.5a+0.5a=4a 空白面積：12a-4a=8a所以陰影面積與空白面積的比4a : 8a=1 : 2另解：設(shè) SABEG=a，則 SaECG=SaGC=SaAG=a, S AAB=2a； 設(shè)則 Sa HFC=2b,設(shè) Sahc=X,則 Sa ah(=S hc=XS 陰=a+a+x+b =1S 空 a a 2a x x 2b 2 空專家點(diǎn)評：連接CG CA CH構(gòu)造模型五，應(yīng)用燕尾定理，分別求出三個陰影 三角形面積，再求出平行四邊形 ABCD勺面積，用四邊形面積

25、減去三個陰影三角 形面積即為空白面積。亦可得到陰影面積與空白部分的面積之比。注意：本題考點(diǎn)：燕尾定理的應(yīng)用。拓展訓(xùn)練：1、（寧波小學(xué)數(shù)學(xué)競賽 1999），如圖所示，已知三角形 ABC中，BD=DC,CZ =2AZ，AF =3BF，連結(jié)AD、BZ和CF，三條線段分別交于 Mi，M2，M3。若=ABC （面積是1平方米，那么陰影.M1M2M3的面積是多少平方米？初級提示： 連接AM, BM, CM。深度點(diǎn)撥： 設(shè) AM 1Z > BM2F CM3D的面積分別為S1，S2，S3， 分別解出S，S2，S3 全解過程： 連結(jié)AM 2，BM 3，CM 1。得 S adcS BZC設(shè) AM 1Z、 B

26、M2F、厶CM3D的面積分別為S1，S2，S3，-S CDM1' s CAM1- s CDM 1=S cbm1 S czm1 = 2S cdm1 2Si所以有同理有S Bcm 3 - S Bfm-S.AbmS.DbM3 4S 614FM3§3 - 3 22S37S3=22141S JEE=S 心2 +S42 =SH2+4S2 =33S cfa = S 吩 2+ S if、2 =3 S m +3 S2=49S2 =丄S2 -4 36陰影部分面積為 S ：ABC _(S. ：ADC - S ：ABE S.lCBF ) (S1 S2 S3)=1丄丄23 412 14252522、如

27、圖,CB 二 BFEA 二 AB ,=CG , HD二DA，求四邊形ABCD的面積。四邊形EFGH的面積是66平方米,DCF初級提示: 深度點(diǎn)撥:連接 找出四邊形DB AC,構(gòu)造模型一。ABCD四邊形EFGH勺面積關(guān)系。全解過程:連接BD 。設(shè) S ,DCB - S1, S DAB - S2 CB 二 BF ,CB BFS.CdfCB又 DC -CG ,S CDB - 2S CDB ,S.Cfg - S.Cdf - 2S1 ,同理 SAEH = 2S2 ,S.CFG S AEH - 2SABCD連接AC同理 S.HDGS.BEF - 2 SABCDSEFGHSABCD二 S.CFG SAEHS

28、HDGS BEFSABCD - 5SABCD ,11SefGH =13 -(平方米)。5 53、如圖，在梯形 ABCD中，AD： BE=4： 3, BE： EC=2： 3,且厶 BOE的面積比厶AOD勺面積小10平方厘米。梯形ABCD勺面積是平方厘米。C初級提示：應(yīng)用模型一求出三角形 ABD的面積 深度點(diǎn)撥：求出三角形BCD勺面積全解過程：AD : BE： EC=8： 6 : 9,SA ABD 8S3 SSA ABESA ABDSA ABE 64=10,SA ABD - SA ABE = SA AOD - SA BOESa abd =10, Sa abd =40°4AD: BC =8

29、:15 ABD : S cbd二 AD ： BC =8:151515SS4075 cbd a abd8 8SABCD = SA ABD ' Sacbd = 40 ' 75=1154、如圖，在一個邊長為6正方形中，放入一個邊長為2的正方形， 保持與原長正形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個頂點(diǎn)與小正方形 的兩個頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為 初級提示：將小正方形的四個頂點(diǎn)分別與大正方形的四個頂點(diǎn)連接 深度點(diǎn)撥：應(yīng)用梯形蝴蝶定理求出空白部分面積全解過程：解法一：設(shè)任意一個梯形（如圖），上底為a,下底為b,則陰影a部分的面積可以表示為S、S、S3的和，而 S :

30、S=S : S= (S+S3)：( S2+S4) =a : b,同理 Si :S3=S: S=a : b,所以：Si:S2:S3:S=a2： ab : ab :b2，所以陰影部分的面積等于a2 2ab22a 2ab b連接兩個正方形的對應(yīng)頂點(diǎn)，則可以得到四個梯形，運(yùn)用這條結(jié)論,2每個梯形中陰影部分的面積都占到了 222 2 22 26 662專，所以陰影部分面積是兩個正方形之間的面積的-，陰影部分的面積為16722(6-22) =14，16解法二：取特殊值，使得兩個正方形中心相重合，由上右圖可知，A、B、C、D均為相鄰兩格點(diǎn)的中點(diǎn)，則圖中四個空白處的三角形的高為 1.5，因此空白處的總面積為6

31、 1.5-2 4 2 2 =22，陰影部分的面積是6 6 - 22 = 14。A5、如圖所示，三角形BDF三角形CEF三角形BCF的面積分別是2、3、4,問 四邊形ADFE勺面積是多少？初級提示：連接AF,構(gòu)造模型一A深度點(diǎn)撥：應(yīng)用三角形面積之比等于底邊之比求出三角形AFD和三角形AFE的面積全解過程：設(shè) Sa AF=a， Sa AFE=b2a=3+b4b=3(2+a)18 21a=b=-5539s 四邊形 ADF=a+b=516、如圖，在 ABC中，延長 BD=AB CE= BQ2F是AC的中點(diǎn)，若 ABC的面積是2,則厶DEF的面積是多少?2初級提示：連接CD構(gòu)造模型一深度點(diǎn)撥:1Sadc

32、=SadcA=22s11 fc= Sa bc= 22s DE=Sa DC=12全解過程:解法_ 1 _SA dc= Sa dcA=2_11 fce- Sa bcf- 22S DE= Sa DCB=12_ _ 1S deFSadcf+Sxfce+SadeC3 32解法二：本題還可以用共角定理“當(dāng)兩個三角形有一個角相等或互補(bǔ)時, 這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”。在 ABCPACFE中，/ ACB與/FCE互補(bǔ)，SaabcAC BC 2 2 4Safce 一 FC CE 一 17 一 彳同理可得：Sa adf = 2， Sa bde = 3Sa fce Sa def = Sa

33、abc'Sa cef ' Sa deb -Sa adf又 Sa abc = 2 ；=2 - 3_2=3.527. 如圖，長方形ABCD中, E為AD中點(diǎn)，AF與BE BD分別交于 G H,已知AH=5cm HF=3cm求AG初級提示：三角形AHB和三角形DHF相似 深度點(diǎn)撥：作0E垂直AD交AF于0 全解過程：根據(jù)三角形相似的性質(zhì)AB : DF=AH HF=5： 3又因?yàn)镋為AD中點(diǎn)OE： DF=1： 2所以 AB： OE=10： 3AG : G0=10 3AO=1AF=15 3i=42 2所以13138. 在邊長為1的正方形ABCD中，BE=2EC DF=2FC 求四邊形AB

34、GD勺面積。BEC初級提示：連接EF BDGBEC深度點(diǎn)撥：應(yīng)用梯形蝴蝶定理全解過程：等腰梯形四部分面積比為 1 : 3 ： 3 ： 9 所以等腰梯形的面積=丄1 1-丄-22 3 318所以Sabm =4得 Sabdg =Sa adb+S BDG9、如圖，正方形ABCDS積為1, M是AD邊上的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積初級提示:深度點(diǎn)撥:全解過程:D構(gòu)造梯形蝴蝶定理。SAMG S AG： S MCG S 00=1 : 2 ： 2 ： 4SamcbSadcb=4 仁3444梯形AMC中各個三角形面積比1 : 2 : 2 : 4 陰影面積占梯形面積（2+2） / （1+2+2+4 =3 4 1

35、 X=-4 93本題還可有其他解法（如下）解法二：連結(jié)GD、BD，設(shè)BD與AC交于0 , S agm1 S ABG S AGM =4- - 1S.ABG ' S BGOS.BgO = S AGM又 AM =MDS . AGM - S .GMD =X BO =0DS.GOD 二 S BGO得 S aod =3x，又 Sa，OD11=-，所以 3x = , x441 1 一2 412S陰影二 S.abmS.acm - 2S agm - 4丄1213解法三：做厶PAM »；CMD貝U S bpc =1 , BA=AP , CM =MP ,連接PGS abgS CMG-S AGPS，

36、CMG = S.MIGP又T SpBMJSpBC 二-S abgS PMBB S陰影= 2S.abg =3解法四：T .'ACM與.ABM等底等高-S ACM=S abmS.BAG-S.CMG作 GF _ AD , GZ _ AB 設(shè) ZG = GF = a1S.ABM = 4 = S AGB ' S agm1. a 3S陰影=2 S.BAG解法五：T ZG二FGGMBG1 -1- 4X2 -1-2 2-3- SA ABC 二 SA abg SA BCGSa BCM= Sa ACm+Sa BCG= =1-S .Abg =S .Gcm =6=1 1 =S.Abg +s ,'

37、;gcm =二 + 二=小6 6 310: （07年仁華學(xué)校試題）已知四邊形 ABCD CHFG正方形，S甲：S乙=1 : 8, a 與b是兩個正方形的邊長，求a : b=?初級提示：連接EO AF,應(yīng)用燕尾定理深度點(diǎn)撥：做OMLAE ONL EF, 全解過程：如圖，根據(jù)燕尾定理：Saof ： S Ao=b : a (1),S AOF : S FOE=a : b(2)所以S AOES FOEFa作 OML AE, ONL EF, AE=EF2 2OM： ON= a : b Sa aod S HO=a3 : b3=1 : 8 -a : b=1 : 2幾何(二)曲線圖形 知識地圖一個思想”加加減減

38、'加減組合圖形面積割補(bǔ)五個方法” 旋轉(zhuǎn)平移重疊比例旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖邊掃過冋題二線段掃過圖形掃過問題二圖形整體掃過兩個特殊問題活動范圍=圓心變化 硬幣滾動=半徑變化,圓心輪跡兩種二、 基礎(chǔ)知識小學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中，我們學(xué)習(xí)了一些簡單的幾何圖形，充分掌握這些圖形的性質(zhì)特點(diǎn) 及周長和面積的計算方法是我們解決奧數(shù)平面幾何問題的重要前提。名稱圈形周后公式面積公式a5周長=2( a+b )面積=命冏艮二4a面積二£三驚形周快=a>b+c面積#ah平行四邊瘩ZL/t=2 C a+b 面積=ahb d/ h闔長=a+b+c+d面積=*( a+b ) * h擱長=碼面積=-ACED(1 )組合圖形的面積

39、在求解組合圖形的面積時，中心思想只有一個：把不規(guī)則的變?yōu)橐?guī)則的，把不可 求的變?yōu)榭梢郧蟮?，把不熟悉的變?yōu)槲覀兪煜さ?。在小學(xué)奧數(shù)的幾何問題中，這 個思想不單單可以在求組合圖形面積的時候應(yīng)用， 求解立體圖形的表面積和體積 問題時候一樣也是解決問題的法寶，甚至可以說是全部小學(xué)奧數(shù)幾何問題的思想 在求解組合圖形的面積時， 我們通?？梢酝ㄟ^以下思考方法把圖形轉(zhuǎn)化我們所熟 知的圖形。1、加減法 把要求的圖形轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形相加或者相減的形式， 這種解決圖形補(bǔ)問題的 方法，稱為加減法。2、割補(bǔ)法 把要求的圖形通過切割再拼補(bǔ)成規(guī)則圖形，這種方法稱為割補(bǔ)法。3、旋轉(zhuǎn)平移法。圖形的一部分通過旋轉(zhuǎn)或者平移， 正好

40、可以和圖形的其他部分拼成規(guī)則圖形， 這 種方法稱為旋轉(zhuǎn)平移法。4、重疊法要求的組合圖形可以看作是幾個規(guī)則圖形的重疊部分， 可以應(yīng)用容斥原理求得圖 形的面積，這種方法稱為重疊法。5、比例法把要求的圖形分成幾個部分， 通過尋找各個部分之間的比例關(guān)系求解的方法稱為 比例法。（2）圖形旋轉(zhuǎn)的問題在這里， 我們主要研究的是平面圖形在平面旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的問題。 一般情況下， 我 們所能遇到的有以下兩種問題：1、求圖形一邊掃過的面積在遇到這類問題時， 我們只要先找到要求的是哪條邊掃過的面積， 再看這條邊是 以哪個點(diǎn)為圓心運(yùn)動， 首先你讓這條邊以這個點(diǎn)為圓心按照題目的要求轉(zhuǎn)動， 旋 轉(zhuǎn)停止后，這條邊旋轉(zhuǎn)所得的面積

41、就是你要求的圖形一邊掃過的面積。2、求圖形掃過的面積 在求圖形一邊掃過的面積的基礎(chǔ)之上，要注意，圖形中最長處旋轉(zhuǎn)時所成圖形， 我們在旋轉(zhuǎn)的圖形一邊停止旋轉(zhuǎn)時， 在相應(yīng)的位置補(bǔ)上圖形的其他部分就可以很 容易的找到整個圖形掃過的部分。（3）幾個特殊問題1、活動范圍的問題讓我們先來看看下面幾個問題：A、假設(shè)茫茫的草原上有一個木樁，樁子上用一根30米的繩子栓著一只羊，問羊 能吃到的草的面積是多大？B、草場的主人因?yàn)闃I(yè)務(wù)發(fā)展，準(zhǔn)備建羊圈，但是因?yàn)橘Y金短缺，所以只先建了 一道墻，于是把羊還是用 30 米的繩子栓在了墻角邊，問羊這個時候能吃到草的 面積是多大？C、羊圈建成了，羊在平時被栓在羊圈的西北角，羊圈

42、長 20米，寬10米，問羊 這個時候能吃到的草的面積是多大？ 你注意到了嗎？栓著羊的繩子在碰到墻拐角的地方運(yùn)動的圓心在變化， 羊所能吃 到草的范圍活動的半徑也在跟著變化。那么，我們說看變化，找規(guī)律，是解決羊吃草一類問題重要思想。另外，數(shù)學(xué)源 自生活，通過想象生活中的情景， 比照數(shù)學(xué)題， 尋找變化的規(guī)律也是一種不錯的 方法。2、滾硬幣的問題請你一起動手來做一做： 把兩個一角錢的硬幣挨放在一起， 固定其中一個， 把另 一個延著其周圍滾動。當(dāng)滾動回到硬幣原來的位置時，想一想滾動的那個硬幣它 自己自轉(zhuǎn)了多少周？注意觀察，滾動的硬幣繞著不動的硬幣走一周的距離實(shí)際上是以兩個硬幣的半徑 為半徑的一個圓周長，

43、而硬幣自轉(zhuǎn)的周長是以自身為半徑，前者是后者的幾倍， 即是硬幣自轉(zhuǎn)了幾周。這也是一切硬幣滾動類問題的特點(diǎn)。常見的還有齒輪，滑輪等。 經(jīng)典回顧【例1】()圖是由正方形和半圓形組成的圖形。其中 P點(diǎn)為半圓周的中 點(diǎn)，Q點(diǎn)為正方形一邊的中點(diǎn)。已知正方形的邊長為10，那么陰影部分面積是多 少? ( n 取 3.14。)審題要點(diǎn)：整個圖形由正方形和半圓組成。 P為中點(diǎn)，貝U PD=PC要 求陰影部分 的面積，可以考慮我們前面講的幾種方法。解法一：陰影面積=整個面積-空白面積=(正方形ABCD半圓)一(三角形+梯形)=(10X 10+n X 5X 5-2) -15 X 5-2+ (5+15)X 5-2=51

44、.75專家點(diǎn)評：陰影面積的“加減法”。因?yàn)殛幱安糠置娣e不是正規(guī)圖形，所以通過 整個面積減去空白部分面積來求解。過P點(diǎn)向AB作垂線，這樣空白部分面積分成上面的三角形和下面的梯形。11解法二：S 1=小正方形-圓=5X 5- X n X 5X 54 41上面陰影面積=三角形APE-S=15X 5-2-5 X 5+ X n X 5X 541下面陰影面積=三角形QPF-S=10X 5-2- (5X 5- X n X 5X 5)411所以陰影面積=(15X 5- 2-5 X 5+丄 X n X 5X 5) + (10X 5-2-5 X 5+丄 X n X 5 44X 5) =51.75專家點(diǎn)評：面積的“

45、加減法”和“切割法”綜合運(yùn)用，思路出現(xiàn)正方形，出現(xiàn)弧1線時，注意兩個考點(diǎn)：1.半葉形2、丄圓，所以我們可以先把面積補(bǔ)上再減去補(bǔ)4上的面積。1111解法三：半葉形S1=-圓-丄小正方形=-X n X 5X 5- X 5X 5424211上面陰影面積=三角形ADP+E10X 5-2+丄X n X 5X 5- X 5X 54211下面陰影面積=三角形QPC+2=5X 5-2+丄X n X 5X 5- X 5X 5421111陰影面積=(10X 5- 2+ X n X 5X 5- X 5X 5) +(5X 5-2+ X n X 5X 5- X42425X 5) =51.75B Q專家點(diǎn)評：面積的“切割

46、法”出現(xiàn)正方形，出現(xiàn)弧線時，注意兩個考點(diǎn)： 1.半葉 形2. 1圓，這樣可以考慮把陰影面積切成幾個我們會算的規(guī)則圖形。 這道題是4迎春杯真題?！纠?】（）如圖，ABCG! 4X 7的長方形，DEFG是 2X 10的長方形，那 么，三角形BCM的面積與三角形DCM勺面積之差是多少？審題要點(diǎn)：要求兩個三角形的面積之差，題目沒有給出可以直接求出兩個三角形 面積的條件，那么我們只能考慮應(yīng)用差不變原理。AE解法一：GC=7, GD=10隹出 HE=3 BC=4 DE=2陰影BCM面積-陰影MDES積=（BCMB積+空白面積）-（MDES積+空白面積）= 三角形BHE面積-長方形CDEHB積=3X 6-

47、2-3 X 2=3。專家點(diǎn)評：加減思想的應(yīng)用，小升初中的常用方法，而找出公共部分是本題的解 題關(guān)鍵。公共部分要與兩個三角形都可以構(gòu)成規(guī)則可求的圖形才可以。解法二：GC=7 GD=10 知道 CD=3 BC=4 DE=2 知道 BC： DE=CM DM 所以 CM=2 MD=1陰影面積差為：4X 2-2-1 X 2-2=3專家點(diǎn)評：畫陰影的兩個三角形都是直角三角形，而BC和DE均為已知的，所以關(guān)鍵問題在于求CM和 DM這兩條線段之和CD的長是易求的，所以只要知道它 們的長度比就可以了，這恰好可以利用平行線BC與 DE截成的比例線段求得。另 外本題還可以構(gòu)造如下解法，如圖：解法三：連接BDS BC

48、M -SDEM - S . BCD - S. BDE - （34一23）2 = 3【例3】（）求右圖中陰影部分的面積。（二取3）審題要點(diǎn)： ABC可以看出為等腰直角三角形。解法一：我們只用將兩個半徑為10厘米的四分之一圓減去空白的、部分面積和即可，其中、面積相等。易知、部分均是等腰直 角三角形，但是部分的直角邊 AB的長度未知。單獨(dú)求部分面積不易，于是我們將、部分平移至一起，如下右圖所示，則、部分變?yōu)橐粋€ 以AC為直角邊的等腰直角三角形，而 AC為四分之一圓的半徑，所以有 AC=10 兩個四分之一圓的面積和為150,而、部分的面積和為1/2 X 10X10=50,所 以陰影部分的面積為150-

49、50=100 （平方厘米）。解法二：欲求圖（1）中陰影部分的面積，可將左半圖形繞 B點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°,使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖（2）的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間 等腰直角三角形的面積。專家點(diǎn)評：本題考點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)平移法。圖形通過旋轉(zhuǎn)，得到陰影部分的面積=半圓的 面積-等腰直角三角形的面積?！纠?】（）如圖，已知三角形 GHI是邊長為26厘米的正三角形，圓O的半徑為15厘米，/ AOBM CODNEOF=90。求陰影部分的面積。 審題要點(diǎn)：題中每一條陰影部分面積可以看做是兩個大小弓形的面 積之差。解法：設(shè)J為弧GI的中點(diǎn)，則可知GJIO是菱形，GOJ是正三

50、角形,所以，三角形GOI的面積=-15 262 2所以大弓形的面積：Sgji二1 二 15215 263 22= 235.5 -97.5= 138小弓形的面積：Sje=丄二 152 _丄 1524 2= 176.625 -112.5=64.125所以，總陰影面積=(138-64.125 )X 3=221.625 (平方厘米) 專家點(diǎn)評：本題難度在于判斷四邊形 GJIO為菱形，圓中等長的弧所對的弦也是 相等的，所以三角形GOJ為正三角形，其實(shí)三個陰影部分選擇哪一個作為解題的 模型都可以。基本上還是加減思想的應(yīng)用?？傟幱懊娣e=每塊陰影面積X 3=（大弓形一小弓形）X 3關(guān)鍵在于大弓形中三角形的面積

51、?？偨Y(jié)：本題考點(diǎn)加減法?！纠?】（）如圖，ABCD是一個長為4,寬為3。對角線長為5的正方形,它繞C點(diǎn)按順時針方向 旋轉(zhuǎn)90°,分別求出四邊掃過圖形的面積。（二 取3) 審題要點(diǎn)：要求邊掃過的面積，只需分別看一邊旋轉(zhuǎn)所得圖形 分析：1、容易發(fā)現(xiàn)，DC邊和BC邊旋轉(zhuǎn)后掃過的圖形都是以線段長 度 為半 徑 的 圓 的因此DC邊掃過圖形的面積為4二平方厘米, 米。BC邊掃過圖形的面積為專平方厘2、研究AB邊的情況。在整個AB邊上，距離C點(diǎn)最近的點(diǎn)是B點(diǎn)，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是A點(diǎn)，因此整條線 段所掃過部分應(yīng)該 介于這兩 個點(diǎn)所掃 過弧線之 間，見右圖 中陰影 部分:A，最近的點(diǎn)是D,所以我們可以畫出AD邊掃過的圖形，如下圖陰影部分所示:下面來求這部分的面積。觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實(shí)際上是：扇形ACA面積+三角形ABC面積-三角形ABC面積-扇形BCB面積+三角形ABC面 積=扇形ACA0積一扇形BCB0積=4二；3、研究AD邊掃過的圖形。由于在整條線段上距離 C點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是用與前面同樣的方法可以求出面積為:5?二 42 -9 _=31444專家點(diǎn)評：本題是祖沖之杯競賽的一道試題。旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵，是先從整體把握一下“變化過程”，即它是通過什么樣的 基本圖形經(jīng)過怎樣的加減次序得到的。先不去考慮具體數(shù)據(jù)，一定要把思路捋