方法技巧專題07,,圓錐曲線概念及其幾何性質(zhì)（解析版）

1、本文格式為word版，下載可任意編輯方法技巧專題07,圓錐曲線概念及其幾何性質(zhì)（解析版） 方法技巧專題 7 圓錐曲線的概念及其幾何性質(zhì) 解析版 一、 圓錐曲線的概念及其幾何性質(zhì)學(xué)問(wèn)框架 二、圓錐曲線的定義、方程 【一】圓錐曲線的定義 1 、橢圓 （1）秒殺思路：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)(距離為 2c )距離之和為定值( 2a )的點(diǎn)的軌跡； （2）秒殺公式：過(guò)拋圓的一個(gè)焦點(diǎn)作弦 ab ,與另一個(gè)焦點(diǎn) f 構(gòu)造 fab d ，則 fab d 的周長(zhǎng)等于 a 4 。 （3） 當(dāng) c a 2 2 > 時(shí)，表示橢圓；當(dāng) c a 2 2 = 時(shí)，表示兩定點(diǎn)確定的線段； 當(dāng) c a 2 2 < 時(shí)，表示無(wú)

2、軌跡。 2 、雙曲線 （1）秒殺思路： 雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的肯定值是常數(shù) 2a ; 留意定義中兩個(gè)加強(qiáng)條件:（i）肯定值; （ii） 2 2 a c < ； 加肯定值表示兩支(或兩條),不加肯定值表示一支(或一條); （2）秒殺公式：過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作弦 ab （交到同一支上），與另一個(gè)焦點(diǎn) f 構(gòu)造 fab d ，則fab d 的周長(zhǎng)等于 ab a 2 4 + 。 （3） 當(dāng) 2 2 a c < 時(shí)，表示雙曲線； 當(dāng) 2 2 a c = 時(shí)，表示以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)向兩側(cè)的射線； 當(dāng) 2 2 a c > 時(shí)，無(wú)軌跡； 當(dāng) 2 0 a = 時(shí)表示兩定點(diǎn)的中垂線。 3

3、 、拋物線 （1）秒殺思路：到定點(diǎn)(焦點(diǎn))距離等于到定直線(準(zhǔn)線)距離。所以，一般狀況下,拋物線已知到焦點(diǎn)的距離需轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,已知到準(zhǔn)線的距離需轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離。 （2）秒殺公式一：焦點(diǎn)在 x 軸上的圓錐曲線,曲線上的點(diǎn)到同一個(gè)焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列，則橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，反過(guò)來(lái)也成立。 （3）秒殺公式二：作過(guò)拋物線焦點(diǎn)且傾斜角為 ° 60 或 ° 120 的弦,兩段焦半徑分別為:32, 2pp . 1. 例 例 題 【例 1 1 】設(shè) p 是橢圓2 2125 16x y+ = 上的點(diǎn),若2 1 ,ff 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則1 2pf pf + 等于 ( ) a.4

4、b.5 c.8 d.10 【解析】利用橢圓的定義得1 2pf pf + = 10 2 = a ,選 d。 【例 2 2 】已知橢圓 c :2 219 4x y+ = ,點(diǎn) m 與 c 的焦點(diǎn)不重合,若 m 關(guān)于 c 的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為 b a, ,線段mn 的中點(diǎn)在 c 上,則 | | | | an bn + = . 【解析】如圖,22qf bn = ,12qf an = , | | | | an bn + = 12 4 ) ( 22 1= = + a qf qf . 例 【例 3 3 】已知雙曲線 12 2= - y x ,點(diǎn)2 1 ,ff 為其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn) p 為雙曲線上一點(diǎn),若2 1p

5、f pf ,則2 1pf pf + 的值為_(kāi). 【解析】 , 8 , 22221 2 1= + = - r r r r 得2 1pf pf + = 3 2 . 【例 4 4 】設(shè)橢圓1c 的離心率為135,焦點(diǎn)在 x 軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 26,若曲線2c 上的點(diǎn)到橢圓1c 的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的肯定值等于 8,則曲線2c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( ) a. 13 42222= -y x b. 15 132222= -y x c. 14 32222= -y x d. 112 132222= -y x 【解析】由雙曲線定義得 4 = a ， 5 = c ， 3 = b ，選 a。 【例 5 5 】( (202

6、1 年新課標(biāo)全國(guó)卷 i10)以拋物線 c 的頂點(diǎn)為圓心的圓交 c 于 b a, 兩點(diǎn),交 c 的準(zhǔn)線于 e d, 兩點(diǎn).已知 ab = 4 2 , de = 2 5 ,則 c 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 ( ) a.2 b.4 c.6 d.8 【解析】a apx y am 2 8 , 2 2 = = = ,px a4= ,24 ppr + = =4522 2pon dn + = + , 4 = p ,選 b。 例 【例 6 6 】已知拋物線22 ( 0) y px p = > 的焦點(diǎn)為 f ,點(diǎn) ( )1 1 1, y x p , ( )2 2 2, y x p , ( )3 3 3, y x

7、 p 在拋物線上,且2 1 32x x x = + ,則有 ( ) a.1 2 3fp fp fp + = b.2 2 21 2 3fp fp fp + = c.2 1 32 fp fp fp = + d.22 1 3fp fp fp = 【解析】2 1 32x x x = + 可知焦半徑成等差數(shù)列,選 c. 【例 7 7】 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 ii)已知 f 是拋物線 : c 的焦點(diǎn), m 是 c 上一點(diǎn), fm 的延長(zhǎng)線交 軸于點(diǎn) n .若 m 為 fn 的中點(diǎn)，則 fn = . 【解析】28 y x = 則 4 p = ，焦點(diǎn)為 ( ) 2 0 f ， ，準(zhǔn)線 : 2 l x=

8、- ，如圖， m 為 f 、 n 中點(diǎn)，知線段 bm 為梯形 afnc 的中位線, 2 cn = , 4 af = , 3 = mb ,又由定義知 mf mb= ,且 mn nf = , 6 = fn 。 【例 8 8 】 m 是拋物線24 y x = 上一點(diǎn),f 是拋物線的焦點(diǎn),以 fx 為始邊、 fm 為終邊的角 60 xfm Ð = ° ,求fm . 【解析】由秒殺公式得 fm = p 2 =4。 【例 9 9 】拋物線24 y x = 的焦點(diǎn)為 f ,準(zhǔn)線為 l ,經(jīng)過(guò) f 且斜率為 3 的直線與拋物線在 x 軸上方的部分相交于點(diǎn) a , ak l ,垂足為 k ,

9、則 akf 的面積是 ( ) 28 y x = ylfnmcbaoyx a.4 b. 3 3 c. 4 3 d. 8 【解析】由秒殺公式得 4 2 = = = p af ak ， akf d 是邊長(zhǎng)為 4 的正三角形， =dakfs 4 3 。 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1 1 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 14)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,橢圓 c 的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)1 2, f f 在 x 軸上,離心率為22.過(guò)1f 的直線 l 交 c 于 , a b 兩點(diǎn),且2abf d 的周長(zhǎng)為 16,那么 c 的方程為 . 【解析】 4 , 16 4 = = a a ,得方程為:2 2116

10、 8x y+ = . 【練習(xí)2 2】 】已知 為橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò) 的直線交橢圓于 , a b 兩點(diǎn), ,則 = . 【解析】 8 12 4 = - = a ab 。 【練習(xí) 3 3 】已知雙曲線 c 的離心率為 2，焦點(diǎn)為1f 、2f ,點(diǎn) a 在 c 上,若1 22 f a f a = ,則2 1cos af f Ð = a.14 b.13 c.24 d.23 【解析】由雙曲線定義得： a a f a f 22 1= - ，1 22 f a f a = ， a a f a a f 2 , 42 1= = ， a c f f 4 22 1= = ，由余弦定理得：2 1cos af

11、 f Ð =41，選 a。 【練習(xí) 4 4 】若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ,點(diǎn) 在雙曲線 上,且 ,則 等于 ( ) a.11 b.9 c.5 d.3 【解析】由雙曲線定義得： 92= pf ,選 b。 【練習(xí) 5 5 】拋物線24 y x = 上的一點(diǎn) m 到焦點(diǎn)的距離為 1,則點(diǎn) m 的縱坐標(biāo)是 ( ) a.1617 b.1615 c.87 d.0 【解析】由拋物線定義得選 b。 【練習(xí) 6 6 】已知 f 是拋物線2y x = 的焦點(diǎn), , a b 是該拋物線上的兩點(diǎn), =3 af bf + ,則線段 ab 的中點(diǎn)到y(tǒng) 軸的距離為 ( ) 2 1f f、 19 252 2=

12、+y x1f 122 2= + b f a fab2 2: 19 16x ye - =1 2, f f p e13 pf =2pf a.34 b.1 c.54 d.74 【解析】由拋物線定義得選 c。 【練習(xí) 7 7 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 i10)已知拋物線 c :28 y x = 的焦點(diǎn)為 f ,準(zhǔn)線為 l , p 是 l 上一點(diǎn), q 是直線pf 與 c 的一個(gè)焦點(diǎn),若 4 fp fq = ,則 | | qf = ( ) a.72 b.52 c.3 d.2 【解析】利用相像成比例與拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，得 | | qf =3，選 c。 【練習(xí) 8 8】 】(20

13、21 年新課標(biāo)全國(guó)卷 ii 文 12)過(guò)拋物線 x y c 4 :2= 的焦點(diǎn) f ,且斜率為 3 的直線交 c 于點(diǎn) m( m 在 x 軸上方), l 為 c 的準(zhǔn)線,點(diǎn) n 在 l 上且 l mn ,則 m 到直線 nf 的距離為 ( ) a. 5 b. 2 2 c. 3 2 d. 3 3 【解析】斜率為 3 可知 mnf d 為邊長(zhǎng)為 4 的等邊三角形,則 nf = 3 2 ，選 c。 【練習(xí) 9 9】 】設(shè)拋物線28 y x = 的焦點(diǎn)為 f ,準(zhǔn)線為 l , p 為拋物線上一點(diǎn), pa l , a 為垂足,假如直線 af 的斜率為 3 - ,那么 pf = ( ) a. 4 3 b.

14、8 c. 8 3 d.16 【解析】由秒殺公式得選 b。 【練習(xí) 10 】設(shè) o 是坐標(biāo)原點(diǎn), f 是拋物線22 ( 0) y px p = > 的焦點(diǎn), a 是拋物線上的一點(diǎn), fa 與 x 軸正向的夾角為 ° 60 ,則 oa 為 【解析】由秒殺公式得212p 。 【二】圓錐曲線的方程 1、 、 橢圓( 秒殺方法：分母大的為焦點(diǎn)所在軸)： ：2 2 2b a c - = 2 22 21( 0)x ya ba b+ = > >表示焦點(diǎn)在 x 軸橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; 2 22 21( 0)y xa ba b+ = > >表示焦點(diǎn)在y軸橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2、

15、、 雙曲線（秒殺方法：系數(shù)為正的為焦點(diǎn)所在軸）：2 2 2c a b = + 2 22 21( 0, 0)x ya ba b- = > > 表示焦點(diǎn)在 x 軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程; 2 22 21( 0, 0)y xa ba b- = > > 表示焦點(diǎn)在y軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 1. 例題 【例 1 1 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 8)已知等軸雙曲線 c 的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x 軸上,c 與拋物線 x y 162= 的準(zhǔn)線交于 a,b 兩點(diǎn), 3 4 = ab ,則 c 的實(shí)軸長(zhǎng)為 ( ) a. 2 b. 2 2 c.4 d.8 【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為2 2 2a

16、 y x = - ,拋物線的準(zhǔn)線方程為： 4 = x ，聯(lián)立解得 2 = a ,選 c. 【例 2 2 】" '是"方程 '表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓'的 ( ) a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 【解析】橢圓方程可化為：11 12 2= +nymx，如焦點(diǎn)在 y 軸上，只需 01 1> >m n，即 0 > >n m ，所以是充要條件，選 c。 例 【例 3 3 】設(shè) ab 是橢圓的長(zhǎng)軸,點(diǎn) c 在橢圓上,且4p= Ðcba .若 2 , 4 = = bc ab ,

17、則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為 . 【解析】由 4 = ab 得 2 = a ，由4p= Ðcba 與2 = bc得 c ( ) 1 , 1 ， 634代入橢圓 1422 2= +by x得342= b ，382= c ， c 2 = 634。 【例 4 4 】已知雙曲線 和橢圓 19 162 2= +y x有相同的焦點(diǎn),且雙曲線的離心率是 橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為 . 【解析】由橢圓方程得 72= c，47= e ，所以雙曲線的離心率為27， 3 , 42 2= = b a ，由雙曲線的方程為： 13 42 2= -y x。 0 m n > >2 21 mx n

18、y + =2 22 21( 0 b 0)x yaa b- = ， 3 、拋物線（秒殺方法：一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)所在軸）：p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 22 y px = ± ( 0) p > 表示焦點(diǎn)在 x 軸上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程; 22 x py = ± ( 0) p > 表示焦點(diǎn)在y軸上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 【例 5 5 】曲線2 21( 6)10 6x ymm m+ = <- -與曲線2 21(5 9)5 9x ymm m+ = < <- -的 ( ) a.焦距相等 b.離心率相等 c.焦點(diǎn)相同 d.準(zhǔn)線相同 【解析】2 21( 6)10 6x ymm

19、m+ = <- -表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓,2 21(5 9)5 9x ymm m+ = < <- -表示焦點(diǎn)在 y軸上的雙曲線,化簡(jiǎn)為2 21(5 9)5 9x ymm m- + = < <- -,可知焦距相等,選 a。 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1 1 】若 r kÎ ,則" 3 > k '是"方程 13 32 2=+- kykx表示雙曲線'的 ( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 【解析】方程表示雙曲線只需 ( )( ) 0 3 3 > + -

20、 k k ，即 3 > k 或 3 - < k ，所以是充分不必要條件，選 a. 【練習(xí) 2 2 】已知拋物線 x y 82= 的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線 ) 0 , 0 ( 12222> > = - b abyax的一個(gè)焦點(diǎn),且雙曲線的離心率 為 2,則該雙曲線的方程為 . 【解析】拋物線的準(zhǔn)線為 2 = x ，所以雙曲線中 2 = c ，由離心率為 2 得 1 = a ，焦點(diǎn)在 x 軸上，所以雙曲線的方程為 1322= -yx 。 【練習(xí) 3 3】 】下圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在 l 時(shí),拱頂離水面 2 米,水面寬 4 米,水位下降 1 米后,水面寬 米 【解析】設(shè)拱橋所在拋物

21、線的方程為 py x 22- = ，將點(diǎn) ( ) 2 , 2 - 代入得 1 = p ，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn) ( ) 3 ,- x 中的 x ， 將點(diǎn) ( ) 3 ,- x 代入拋物線 y x 22- = 中可得 6 = x ，即水面寬為 6 2 米。 【練習(xí) 4 4 】已知 04pq < < ,則雙曲線2 212 2: 1cos sinx ycq q- = 與2 222 2 2: 1sin sin tany xcq q q- = 的 ( ) a.實(shí)軸長(zhǎng)相等 b.虛軸長(zhǎng)相等 c.焦距相等 d. 離心率相等 【解析】由方程得11coseq= ,( )2 22sin 1 tan1sin cose

22、q qq q+= = ，選 d. 三、圓錐曲線的幾何性質(zhì) 【一】焦點(diǎn)三角形 1. 例題 【例 1 1】 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 i 文 12)設(shè) a 、 b 是橢圓 c 132 3= +my x長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),若 c 上存在點(diǎn) m 滿1 、橢圓的焦點(diǎn)三角形：橢圓上任意一點(diǎn) p 與兩焦點(diǎn)1f 、2f 構(gòu)成的三角形:1 2pff d 。 （1）秒殺題型一：周長(zhǎng)為定值： 2( ) a c + 。 1 2, fpf q Ð = 當(dāng)點(diǎn) p 靠近短軸端點(diǎn)時(shí) q 增大，當(dāng)點(diǎn) p 靠近長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí) q 減??；與短軸端點(diǎn)重合時(shí) q 最大。 （2）秒殺題型二：2tan 22122 1qb y c s

23、pf f= ´ ´ =d， bc s =max即 p 與短軸端點(diǎn)重合時(shí)面積最大。 （3）秒殺題型三：當(dāng)2 1 pff d 底角為 90° ，2 1 pff d 個(gè)數(shù)：4 個(gè)( p 點(diǎn)為通徑端點(diǎn))； 當(dāng)2pq = 時(shí)，2 1 pff d 個(gè)數(shù)：2( 0),022( ),222(1 ),42b c eb c eb c eì> > >ïïï= =íïï< > >ïï î。 。（ p 點(diǎn)為以1 2f f為直徑的圓與橢圓的交點(diǎn)） 2 、雙曲

24、線的焦點(diǎn)三角形： （1）焦點(diǎn)直角三角形的個(gè)數(shù)：肯定為八個(gè)，頂角為直角與底角為直角的各為四個(gè)； （2）1 22 .cot(2pf fs bqq = 為焦點(diǎn)三角形的頂角)= c y × 。（等面積思想在解題時(shí)特別重要） 足 ° = Ð 120 amb ,則 m 的取值范圍是 ( ) a. ( ) +¥ , 9 1 , 0 u b. ( ) +¥ , 9 3 , 0 u c. ( ) +¥ , 4 1 , 0 u d. ( ) +¥ , 4 3 , 0 u 【解析】當(dāng) 0 3 m < < 時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上,要

25、使c上存在點(diǎn)m滿意 120 amb Ð = ,則 tan60 3ab³ = ,即33m³ .得 0 1 m < £ ;當(dāng) 3 m> 時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上,要使 c 上存在點(diǎn) m 滿意 120 amb Ð = ,則tan60 3ab³ = ,即 33m³ ,得 9 m³ ,故 m 的取值范圍為 ( ) +¥ , 9 1 , 0 u ,選 a. 【例 2 2 】已知 , 是橢圓 ) 0 ( > >b a 的兩個(gè)焦點(diǎn), 為橢圓 上一點(diǎn), . 若 的面積為 9,則 = . 【解析】由

26、橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式得： 94tan b2 2= =bp， 3 = b 。 例 【例 3 3 】設(shè)1f 、2f 為橢圓2 219 4x y+ = 的兩個(gè)焦點(diǎn), p 為橢圓上的一點(diǎn).已知 p ,1f ,2f 是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),且1 2pf pf > ,求12pfpf的值. 【解析】 c b< q ，所以頂角為直角與底角為直角的均存在， .假如底角為直角，243pf = ，1143pf = ,12pfpf=72； .假如頂角為直角，1 26 r r + = ，2 21 220 r r + = ，1 24, 2 r r = = ,12pfpf=2。 【例4 4】 】(2021

27、年新課標(biāo)全國(guó)卷i5)已知 ( )0 0 ,yx m 是雙曲線 12:22= - yxc 上的一點(diǎn),2 1 ,ff 是 c 的兩個(gè)焦點(diǎn),若 02 1< ×mf mf ,則0y 的取值范圍是 ( ) a.÷÷øöççèæ-33,33 b.÷÷øöççèæ-63,63 c.÷÷øöççèæ-32 2,32 2 d.÷÷ø

28、;öççèæ-33 2,33 2 【解析】秒殺方法：當(dāng)2 1mf mf 時(shí)，由等面積得：333 12tan2= Þ × = × = = = y y y cbsq，選 a。 【例 5 5 】已知1f 、2f 為雙曲線 c :2 21 x y - = 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn) p 在 c 上,2 1 pff Ð ° = 60 ,則1 2| | | | pf pf × = 1f2f 1 :2222= +byaxc p c2 1pf pf 2 1 fpf d b ( ) a.2 b.4 c.6 d.8

29、 【解析】由等面積得： 43sin2132tan2 1 2 12= Þ = = = pf pf pf pfbspq，選 b。 例 【例 6 6 】雙曲線2 219 16x y- = 的兩個(gè)焦點(diǎn)為1 2, f f ,點(diǎn) p 在雙曲線上,若1 2pf pf ,則點(diǎn) p 到 x 軸的距離為 . 【解析】5165 6 12tan2= Þ × = × = = = y y y cbsq。 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1 1】 】已知1 2, f f 是橢圓2 219 5x y+ = 的焦點(diǎn),點(diǎn) p 在橢圓上且1 23fpfpÐ = ,1 2fpf d

30、的面積為 . 【解析】利用焦點(diǎn)三角形面積公式得33 53352tan2= ´ = =qb s 。 【練習(xí) 2 2 】1f 、2f 是橢圓2 2: 18 4x yc + = 的焦點(diǎn),在 c 上滿意1 2pf pf 的點(diǎn) p 的個(gè)數(shù)為 . 【解析】 c b = q ，p 點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 2 個(gè)。 【練習(xí) 3 3 】已知橢圓 19 162 2= +y x的左、右焦點(diǎn)分別為1 2, f f ,點(diǎn) p 在橢圓上,若1 2, , p f f 是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則點(diǎn) p 到 x 軸的距離為 ( ) a.59 b.3 c.77 9 d.49 【解析】 c b > q ，所以頂角為直角的不

31、存在；而底角為直角時(shí)，p 到 x 軸的距離為通徑，即：492=ab，選 d。 【練習(xí) 4 4 】已知1f 、2f 為雙曲線 c :2 21 x y - = 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn) p 在 c 上,2 1 pff Ð = ° 60 ,則 p 到 x 軸的距離為 ( ) a.32 b.62 c. 3 d. 6 【解析】262 32tan2= Þ × = × = = = y y y cbsq，選 b。 習(xí) 【練習(xí) 5 5 】設(shè) p 為雙曲線22112yx - = 上的一點(diǎn),2 1 ,ff 是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),若1 2| |:| | 3:2 pf pf =

32、 則1 2pff d 的面積為 ( ) a. 6 3 b. 12 c. 12 3 d. 24 【解析】設(shè) t pf 31= ，則 t pf 22= ，由雙曲線的定義得： 2 2 = = a t ， 61= pf ， 42= pf ， 13 22 1= f f , 所以由勾股定理得1 2pff d 為焦點(diǎn)直角三角形，所以 122= =b s ，選 b。 習(xí) 【練習(xí) 6 6 】設(shè)2 1 ,ff 分別是雙曲線2219yx - = 的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn) p 在雙曲線上,且1 20 pf pf × = ,則1 2pf pf + = ( ) a. 10 b. 2 10 c. 5 d. 2 5 【解

33、析】由向量中線定理得：1 2pf pf + = po 2 = 10 2 2 = c ，選 b。 【二】離心率 1. 例題 1 1 、 題型一：利用焦點(diǎn)三角形 （1）橢圓：b ab asin sin) sin(222 12 1+=+= =pf pff face （焦點(diǎn)三角形兩底角分別為 a 、 b ）； （2）雙曲線：b ab asin - sin) sin(- 222 12 1+= = =pf pff face （焦點(diǎn)三角形兩底角, a b）。 2 、題型二：查找 關(guān)系求離心率 （1）秒殺思路：假如建立 或 c b, 或 c b a , , 的關(guān)系，一般狀況要通過(guò)平方消去 b 化簡(jiǎn)為c a,關(guān)

34、系求離心率。 （2）特殊地：當(dāng) c b a , , 成等比數(shù)列時(shí)，即ac b =2，橢圓:5 10.6182e-= »，叫美麗橢圓； 類比：雙曲線：21 5 += e 。 c b a , ,b a, 例 【例 1 1 】在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,已知 abc d 頂點(diǎn) ( 4,0) a - 和 (4,0) c ,頂點(diǎn) b 在橢圓2 2125 9x y+ = 上,則sin sinsina cb+= . 【解析】秒殺公式：sin sinsina cb+=45 1=e。 【例 2 2 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 ii)設(shè)橢圓2 22 2: 1x yca b+ = ( 0) a b &

35、gt; > 的左、右焦點(diǎn)分別為1 2, f f , p 是 c 上的點(diǎn),2 1 2pf ff ,1 230 pff Ð = ,則 c 的離心率為 ( ) a.36 b.13 c.12 d.33 【解析】設(shè) t pf =2， t pf 21= ，則 t f f 32 1= ，即 t a 3 2 = ， t c 3 2 = ，3322= =ace ，選 d。 秒殺公式：( )3330 sin 90 sin30 90 sin=° + °° + °= e ，選 d。 【例 3 3】 】已知 是雙曲線 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn) 在 上, 與 軸垂直, ,則

36、 的離心率為 ( ) a. b. c. d. 【解析】設(shè) ，則 32= mf ， 2 2 22 1= = c f f ， ， ，選 a。 秒殺公式：( )23232 2311cossin 90 sin90 sin1 21 21 2= =-Ð=Ð - °Ð + °=f mff mff mfe ，選 a。 【例 4 4 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 ii11)已知 b a, 為雙曲線 e 的左、右頂點(diǎn),點(diǎn) m 在 e 上, 為等腰三角形,且頂角為 ,則 的離心率為 ( ) a. b.2 c. d. 【解析】可得 ，代入雙曲線得 ，選 d。 2 1

37、,ff2 22 2: 1x yea b- = m e1mf x2 11sin3mf f Ð =e2233 211 =mf 2 21 2= - = mf mf a 2 = eabm d° 120 e5 3 2( ) a a m 3 , 2 ± 2 , = = e b a 【例 5 5 】設(shè)直線 過(guò)雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn),且與 的一條對(duì)稱軸垂直, 與 交于 兩點(diǎn), 為 的實(shí)軸長(zhǎng)的 2 倍,則 的離心率為 ( ) a. b. c.2 d.3 【解析】 為通徑長(zhǎng)， = ，即 ，得 ，選 b。 【例 6 6 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 i15)已知雙曲線 ) 0 , 0 (

38、1 :2222> > = - b abyaxc 的右頂點(diǎn)為 a ,以 a 為圓心, b為半徑作圓 a ,圓 a 與雙曲線 c 的一條漸近線交于 m 、 n 兩點(diǎn).若 ° = Ð 60 man ,則 c 的離心率為 . 【解析】可得 man d 為等邊三角形， a 到漸近線的距離為 b23，得 b a 3 = ，33 2= e 。 秒殺方法：由2323= =bbca可得(利用焦點(diǎn)到漸近線的距離為 b)。 【例 7 7 】如圖, 是橢圓 與雙曲線 的公共焦點(diǎn), 分別是 在其次、四象限的公共點(diǎn).若四邊形 為矩形,則 的離心率為 ( ) a. b. c. d. l c

39、c l c , a b ab cc2 3ab ab aab422=2 22a b = 3 = e2 1 ,ff 14:221= + yxc2c b a,2 1 ,cc2 1 bfaf2c2 32326o x y a b f 1 f 2 【解析】在雙曲線中，可得 ，在橢圓中，利用焦點(diǎn)三角形面積公式得 ，在雙曲線中， ， ， ， ，選 d。 例 【例 8 8 】已知雙曲線 的左,右焦點(diǎn)分別為 ,點(diǎn) 在雙曲線的右支上,且,則此雙曲線的離心率 的最大值為 ( ) a. b. c. d. 【解析】由 得 ，即223pf a c a = ³ - ，513e < £ 。 2. 鞏固

40、提升綜合練習(xí) 習(xí) 【練習(xí) 1 1 】雙曲線2 22 21x ya b- = ( , )的左、右焦點(diǎn)分別是 ,過(guò) 作傾斜角為 的直線交雙曲線右支于 點(diǎn),若 垂直于 軸,則雙曲線的離心率為 ( ) a. b. c. d. 【解析】設(shè) t pf =2， t pf 21= ，則 t f f 32 1= ，即 t a = 2 ， t c 3 2 = ， 322= =ace ，選 b。 秒殺公式：( )330 sin 90 sin30 90 sin=° - °° + °= e ，選 b。 習(xí) 【練習(xí) 2 2 】橢圓2 22 2: 1( 0)x ya ba bg +

41、= > > 的左、右焦點(diǎn)分別為1 2, f f ,焦距為 c 2 ,若直線 3( ) y x c = + 與橢圓 g 的一個(gè)交點(diǎn) m 滿意1 2 2 12 mff mf f Ð = Ð ,則該橢圓的離心率等于 . 【解析】秒殺公式：( )1 321 3130 sin 0 6 sin90 sin- =+=° + °°= e 。 【練習(xí) 3 3 】已知橢圓2 22 21( 0)x ym a ba b+ = > > ： ，雙曲線2 22 21x ynm n- = ： 若雙曲線 n 的兩條漸近線與橢圓 m的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓 m 的

42、兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓 m 的離心率為 ；雙曲線 n 的離心率為 【解析】設(shè)其中一個(gè)交點(diǎn)為 p ，則2 1 fpf d 為焦點(diǎn)直角三角形，設(shè) 11= pf ，則有 2 , 32 1 2= = f f pf ，橢圓的離心率為 1 31- = e ，雙曲線漸近線的傾斜角為 ° 60 ，雙曲線的離心率為 2。 3 = c 12tan212 1= × =dqb sf af12tan22222 1= = × =db b sf afq12= b 22= a 26= e2 22 21,( 0, 0)x ya ba b- = > >1 2, f f p

43、1 2| | 4| | pf pf = e43532731 24 pf pf =2 22 4 a pf pf + =0 a > 0 b >1 2, f f1f ° 30m2mf x6 3 233 【練習(xí) 4 4 】1f 和2f 分別是雙曲線2 22 21( 0, 0)x ra ba b- = > > 的兩個(gè)焦點(diǎn), a 和 b 是以 o 為圓心,以1f o 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn),且 是等邊三角形,則雙曲線的離心為 ( ) a. b. c. d. 3 1+ 【解析】取2 1 faf d ，秒殺公式：( )1 321 3130 sin 0 6 sin9

44、0 sin+ =-=° - °°= e ，選 d。 習(xí) 【練習(xí) 5 5 】在 中, , .若以 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,則該橢圓的離心率 【解析】：設(shè) ，則 ， ， ， 。 秒殺公式： 。 【練習(xí) 6 6】 】設(shè) 是等腰三角形, ,則以 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn) 的雙曲線的離心率為( ) a. b. c. d. 【解析】 c bc ab 2 = = ， ， ， ，選 b。 【練習(xí) 7 7 】已知 為坐標(biāo)原點(diǎn), 是橢圓 的左焦點(diǎn), 分別為 的左、右頂點(diǎn).為 上一點(diǎn),且 軸.過(guò)點(diǎn) 的直線 與線段 交于點(diǎn) ,與 軸交于點(diǎn) .若直線 經(jīng)過(guò) 的中點(diǎn),則 的離心率為 ( ) a. b.21

45、 c.32 d.43 【解析】由線段成比例得：ac aoemf -= ，c aamfoe+=21，得31= e ，選 a。 習(xí) 【練習(xí) 8 8 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 ii9)若雙曲線 c : （ ， ）的一條漸近線被圓ab f 2 d3 525abc 90 a Ð =3tan4b = , a b ce =t ac 3 = t bc 5 = t c ab 4 2 = = t a 8 2 =218422= = =ttace2153154=+= eabc d 120 abc Ð = , a b c22 1+23 1+2 1+ 3 1+ c ac 3 2 = c c a 2

46、 3 2 2 - =21 32 3 2222 +=-= =c ccaceo f ) 0 ( 1 :2222> > = + b abyaxc b a, cp c pf x a l pf m ye bm oe c312 22 21x ya b- = 0 a > 0 b> 所截得的弦長(zhǎng)為 2,則 c 的離心率為 ( ) a.2 b. c. d. 【解析】由圓心到漸近線的距離為 3 ，即 32 22 2= =+cbb ab，平方得 2 = e ； 秒殺方法：畫(huà)圖可得漸近線的傾斜角為3p，即 3 =ab，平方得 2 = e 。 【練習(xí) 9 9 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 iii

47、10)已知橢圓 c :2 22 21x ya b+ = ( 0 , 0 > > b a )的左、右頂點(diǎn)分別為2 1 , aa ,且以線段2 1 aa 為直徑的圓與直線 2 0 bx ay ab - + = 相切,則 c 的離心率為 ( ) a.63 b.33 c.23 d.13 【解析】由于圓與直線相切，即圓心到直線距離等于 a 得： acabb aab= =+2 22 2，即 b c 2 = ， b a 3 = ，36= e ，選 a。 【練習(xí) 10】 】過(guò)雙曲線 的左焦點(diǎn)且垂直于 軸的直線與雙曲線相交于 兩點(diǎn),以 為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn),則雙曲線的離心率等于 . 【解析

48、】設(shè)右頂點(diǎn)為 ，左焦點(diǎn)為 ，則 為等腰直角三角形，可得 ，即，得 ， ， （舍去）。 習(xí) 【練習(xí) 11 】從橢圓2 22 21( 0)x ya ba b+ = > > 上一點(diǎn) p 向 x 軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn)1f , a 是橢圓與 x 軸正半軸的交點(diǎn), b 是橢圓與 y 軸正半軸的交點(diǎn),且 op ab/ ( o 是坐標(biāo)原點(diǎn)),則該橢圓的離心率是 ( ) a.24 b.12 c.22 d.32 【解析】 op ab/ q ， o pf 1 d boa d ，babac2= ， c b= ，22= e ，選 c。 ( )222 4 x y - + =3 22 332 22 21x

49、ya b- = ( ) 0, 0 a b > > x , m nmn2a1f2 1 amf d c aab+ =20 22 2= - - a ac c 0 22= - -e e 2 = e 1 - = e 【練習(xí) 12 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 ii)若 1 > a ,則雙曲線 1222= - yax的離心率的取值范圍是 ( ) a. 2 +¥ （ ， ） b. 2 2 （ ，） c. 2 （1， ） d. 12 （，） 【解析】 21112 22< + =+=a aae ，選 c。 【三】雙曲線的漸近線 1. 例題 【例 1 1 】已知雙曲線 c :2

50、22 21x ya b- = ( 0, 0 a b > > )的離心率為52,則 c 的漸近線方程為 ( ) a.14y x = ± b.13y x = ± c.12y x = ± d. y x = ± 【解析】由25= =ace ，得21=ab，選 c。 例 【例 2 2 】已知 0 , 0 > > b a ,橢圓1c 的方程為 12222= +byax,雙曲線2c 的方程為 12222= -byax,1c 與2c 的離心1 、題型一：由雙曲線的方程求漸近線 秒殺思路：已知雙曲線方程求漸近線方程:2 2mx ny l - =2

51、20 mx ny Þ - = ; 若焦點(diǎn)在 x 軸上，漸近線為 xaby ± = ；若焦點(diǎn)在 y 軸上，漸近線為 xbay ± = 。 2 、題型二：有共同漸近線的雙曲線方程的設(shè)法 秒殺思路：2 2 2 22 2 2 21x y x ya b a bl - = Þ - = 。 3 、題型三：已知漸近線方程設(shè)雙曲線方程 秒殺思路：2 20 ( ) ( ) ax by ax by l ± = Þ - = 。 4、 題型四：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離： b 秒殺公式：焦點(diǎn)到漸近線的距離與頂點(diǎn)到漸近線的距離之比等于雙曲線的離心率。 率之積為2

52、3,則2c 的漸近線方程為 ( ) a. b. c. d. 0 y 2x = ± 【解析】 q232 2 2 2=+´-ab aab a，得22=ab，選 a。 【例 3 3 】設(shè)雙曲線 c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ( ) 2,2 ,且與2214yx - = 具有相同漸近線,則 c 的方程為 ；漸近線方程 為 . 【解析】設(shè)雙曲線方程為： l = -224xy，代入點(diǎn) ( ) 2,2 得 l =-3，雙曲線的方程為： 112 32 2= -y x，漸近線方程為 x y 2 ± = 。 【例 4 4 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 ii)已知雙曲線過(guò)點(diǎn) ,且漸近線方程為 ,則該雙曲線

53、的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【解析】設(shè)雙曲線方程為： l = -224yx，將點(diǎn) ( ) 3 4， 代入得 1 = l ，所以雙曲線方程為 1422= - yx。 【例 5 5 】已知雙曲線2 22 21( 0, 0)x ya ba b- = > > 的離心率為 2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于b a, 兩點(diǎn). 設(shè) b a, 到雙曲線同一條漸近線的距離分別為1d 和2d ，且1 26 d d + = ，則雙曲線的方程為 ( ) a.2 214 12x y- = b.2 2112 4x y- = c.2 213 9x y- = d.2 219 3x y- = 【解析】秒殺方法：由梯形

54、中位線知,焦點(diǎn)到此漸近線的距離為 3，即 3 = b ，選 c。 【例 6 6 】(2021 年新課標(biāo)全國(guó)卷 iii)設(shè)1 2f f ， 是雙曲線 ) 0 , 0 ( 1 :2222> > = - b abyaxc 的左，右焦點(diǎn)， o 是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)2f 作 c 的一條漸近線的垂線,垂足為 p .若 op pf 61= ,則 c 的離心率為 ( ) a. 5 b.2 c. 3 d. 2 【解析】： q2| | pf b = , | | po a = ，又由于1| | 6| | pf op = ，所以1| | 6 pf a = ，在2rt pof d 中， 0 2 x = ±

55、; y 0 2 = ± y x 0 2y x = ±( )4, 312y x = ± 22| |cos| |pf bof cq = = ，在2 1 fpf d 中，2 2 22 1 2 12 1 2| | | | | |cos2 | | | |pf ff pf bpf ff cq+ -= =× ×， 2 2 22 2 2 2 2 2 2 24 ( 6 )4 6 4 4 6 3 32 2b c a bb c a b c a c ab c c+ -= Þ + - = Þ - = -×2 23 c a Þ = 3 e Þ = 。 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí)