初一數(shù)學(xué)壓軸題

1、一.解答題(共19小題)1. (2013雨州)如果10b=n,那么b為n的勞格數(shù),記為b=d (n),由定義可知：10b=門與b=d (n)所表示的b、n兩個量之間的同一關(guān)系.(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d (10)=, d (10_2) =;(2)勞格數(shù)有如下運算性質(zhì)：若 mi n為正數(shù)，則d (mn) =d (mi) +d (n), d(-)=d (mi) - d (n). n根據(jù)運算性質(zhì)，填空：d(二)二(a為正數(shù))，若d (2) =0.3010,d CaJ貝Ud (4) =, d (5) =, d (0.08) =;(3)如表中與數(shù)x對應(yīng)的勞格數(shù)d (x)有且只有兩個是錯誤的，請找出

2、錯誤的勞格數(shù)，說明理由并改正.x1.5356891227d (x)3a- b+c2a - ba+c1+a b c3 3a 3c4a- 2b3 - b - 2c6a- 3b2. (2012殘慶一模)先閱讀下列材料，再解答后面的問題.一般地，若an=b (a0且a乎1, b0),則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為log ab (即logab=n).如34=81,則4叫做以3為底81的對數(shù),記為log 381(即log 381=4). (1)計算以下各對數(shù)的值：log 24=, log 216=,log 264=.(2)觀察(1)中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log 24、log 216、l

3、og 264之間又滿足怎樣的關(guān)系式；(3)猜想一般性的結(jié)論：log aM+logaN=(20且2手1, M0, N0),并根據(jù)募的運算法則：a。a=am+n以及對數(shù)的含義證明你的猜想.3. (2012雙陽模擬)認真閱讀材料，然后回答問題:我們初中學(xué)習(xí)了多項式的運算法則，相應(yīng)的，我們可以計算出多項式的展開式, 如：（a+b） 1=a+b, （a+b） 2=a2+2ab+b2, （a+b） 3= （a+b） 2（a+b） =a3+3a2b+3ab2+b3,下面我們依次對（a+b） n展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細

4、觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：（1）多項式（a+b） n的展開式是一個幾次幾項式？并預(yù)測第三項的系數(shù)；（2）請你預(yù)測一下多項式（a+b） n展開式的各項系數(shù)之和.（3）結(jié)合上述材料，推斷出多項式（a+b） n （n取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和為S,（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）.4. （2009?佛山）閱讀材料：把形如 ax2+bx+c的二次三項式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a22ab+b2= （ab） 2.例如：（x1） 2+3、（x2） 2+2x、（x 2） 2+2x2是 x2 2x+4 的三種不同形式的 24

5、配方（即“余項”分別是常數(shù)項、一次項、二次項-見橫線上的部分）請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）比照上面的例子，寫出 x2- 4x+2三種不同形式的配方；（2）將a2+ab+b2配方（至少兩種形式）；（3）已知a2+b2+c2 - ab - 3b-2c+4=0,求 a+b+c 的值.5. （2007?東營）根據(jù)以下10個乘積，回答問題：11X29; 12X28; 13X27; 14X26; 15X25; 16X24; 17X23; 18X22; 19X21;20X20.（1）試將以上各乘積分別寫成一個“口 2-?2 （兩數(shù)平方差）的形式，并寫 出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從

6、小到大的順序排列起來；（3）若用 albl, a2b2,，anbn 表示 n 個乘積，其中 al, a2, a3,，an, bi, b2, b3,，bn為正數(shù).試由（1）、（2）猜測一個一般性的結(jié)論.（不要求證明） 6. （2006珊江）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”.如： 4=22- 02, 12=42- 22, 20=62- 42,因此 4, 12, 20 都 是“神秘數(shù)”（1） 28和2012這兩個數(shù)是“神秘數(shù)”嗎？為什么？（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k （其中k取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個連續(xù)

7、奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是神秘數(shù)嗎？為什么？8. （2015汗洪區(qū)一模）如圖 1,在 ABC中，/ACB為銳角，點D為射線BC上 一點，連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC / BAC=90 ,當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2,線段CE BD所在直線的位 置關(guān)系為,線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為 ;當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖3,中的結(jié)論是否仍然成立，并說明 理由；（2）如果AA AG /BAC是銳角，點D在線段BC上，當(dāng)/ ACB滿足什么條件時， CFBC C、F不重合），并說明理由.9. （2015硝澤）如圖，已知/ ABC=90 ,

8、D是直線 AB上的點，AD=BC（1）如圖1,過點A作AF，AR并截取 AF=BD連接DC DF、CF,判斷 CDF的形狀并證明；（2）如圖2, E是直線BC上一點，且 CE=BD直線AB CD相交于點P, / APD 的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由.10. （2015武嶺一模）已知：4ABC中,BD CE分別是AG AB邊上的高，BQ=AC 點F在CE的延長線上，CF=AB求證：AFAQ11. （2013?廬陽區(qū)校級模擬）如圖，將兩個全等的直角三角形4 ABD AACE拼在一起（圖1）. 4ABD不動，（1）若將4ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接 DE, M是D

9、E的中點，連接 MB MC（圖2）,證明：MB=MC（2）若將圖1中的CE向上平移，/ CAE不變，連接DE, M是DE的中點，連接MB MC（圖3）,判斷并直接寫出 MB MC勺數(shù)量關(guān)系.（3）在（2）中，若/ CAE的大小改變（圖4）,其他條件不變，則（2）中的MB MC勺數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由.12. （2012?昌平區(qū)模擬）（1）如圖，在四邊形 ABC前,AB=AD / B=/ D=90 ,E、F分別是邊BG CD上的點，且/ EAF/BAD2求證：EF=BE+FD（2）如圖，在四邊形 ABCB, AB=AD /B+/ D=180 , E、F 分別是邊 BG CD 上的點，且/ E

10、AF=JZ BAD （1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖，在四邊形 ABCB, AB=AD /B+/ ADC=180 , E、F 分別是邊 BCCD延長線上的點，且/ EAF=）/BAD （1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.13. （2011藻安）已知：在 ABC中，AC=BC / ACB=90，點 D是AB的中點,點 E 是 AB 邊上一點（1）直線BF垂直于直線CE于點F,交CD于點G （如圖1）,求證：AE=CG（2）直線AH垂直于直線CE,垂足為點H,交CD的延長線于點M （如圖2）,找 出圖中與BE相等的線段，并證明.14. （

11、2005?揚州）（本題有 3 小題，第（ 1）小題為必答題，滿分5 分；第（2） 、（ 3 ）小題為選答題，其中，第（2 ）小題滿分3 分，第（3 ）小題滿分6 分，請從中任選 1 小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分）在 4ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC 直線 MN 經(jīng)過點 C,且 ACL MW D, BE! MN 于 E（1）當(dāng)直線MN點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：4AD孥ACEIB DE=AD+BE（2）當(dāng)直線 MN點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AH BE;（3）當(dāng)直線MN點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE AD BE具有怎樣的等量 關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以

12、證明注意：第（ 2） 、 （ 3 ）小題你選答的是第2 小題15. （ 2012?淮安）閱讀理解如圖1,ABC中，沿/B AC的平分線AB折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B AC 的平分線AE2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B nAC的平分線AR+1折 疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，/BAC是4ABC 的好角小麗展示了確定/ BAC是 ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖 2,沿等腰三角形ABC頂角/ BAC的平分線AB折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3,沿 /BAC的平分線AB折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B iAC的平分線AB折 疊，此時點Bi與點

13、C重合.探究發(fā)現(xiàn)（1） ABC中，/ B=2Z C,經(jīng)過兩次折疊，/ BAC是不是 ABC的好角？ （填“是”或“不是”）.（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了/ BAC是4ABC的好角，請?zhí)骄?B與/C （不妨 設(shè)/B/C）之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊/ BAC是4ABC 的好角，則/B與/C （不妨設(shè)/ B/C）之間的等量關(guān)系為 . 應(yīng)用提升（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15、60、105 ,發(fā)現(xiàn)60和105 的兩個角都是此三角形的好角.請你完成，如果一個三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角.16. （2011?房山區(qū)

14、一模）已知：等邊三角形 ABC（1）如圖1, P為等邊 ABC外一點，且/ BPC=120 .試猜想線段 BP、PC AP 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖 2, P為等邊 ABC內(nèi)一點，且/ APD=120 .求證：PA+PD+PCBD.17. （2010明東）如圖，已知等邊三角形 ABC中，點D, E, F分別為邊AR AC, BC的中點，M為直線BC上一動點， DMN等邊三角形（點 M的位置改變時， DMNfe隨之整體移動）（1）如圖1,當(dāng)點M在點B左側(cè)時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由；（2）如圖2,當(dāng)點M在BC

15、上時，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請利用圖 2 證明；若不成立，請說明理由；（3）若點M在點C右側(cè)時，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié) 論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結(jié)論，不必證明 或說明理由18. （2006?西崗區(qū)）如圖，以 ABC的邊AB AC為直角邊向外作等腰直角4A BE 和ACD M是BC的中點，請你探究線段 DE與AM之間的關(guān)系.說明： （ 1 ）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫 3 步） ；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列、中選取

16、一個補充或更換已知條件，完成你的證明畫出將 ACM繞某一點順時針旋轉(zhuǎn)180后的圖形；/BAC=90 （如圖）附加題：如圖，若以4ABC的邊AR AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角 ABE和4ACD 其它條件不變，試探究線段 DE與AM之間的關(guān)系.19. （2006狀連）如圖1, RtABC中AB=AC點D、E是線段AC上兩動點，且 AD=EC AM垂直BD,垂足為 M, AM的延長線交 BC于點N,直線BD與直線NE相交于點F.試判斷 DEF的形狀，并加以證明.說明：(1)如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來(要求至少寫3步)；(2)在你經(jīng)歷說明(1)的過程之

17、后，可以從下列、中選取一個補充或者更換已知條件，完成你的證明.1、畫出將 BAD沿BA方向平移BAK,然后順時針旋轉(zhuǎn) 90后圖形；2、點K在線段BD上，且四邊形 AKN等腰梯形(AC/1 KNN如圖2).附加題：如圖3,若點D E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷 DEF的形狀，并說明理由.參考答案與試題解析一.解答題(共19小題)1. (2013雨州)如果10b=n,那么b為n的勞格數(shù),記為b=d (n),由定義可知：10b=門與b=d (n)所表示的b、n兩個量之間的同一關(guān)系.(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空： d (10) = 1, d (10-2) = -2 ;(2)勞格數(shù)有如下運算

18、性質(zhì)：若 mi n 為正數(shù)，則 d (mr) =d (mj) +d (n), d (-) =d (mj) d (n). n根據(jù)運算性質(zhì)，填空：j f , 3= 3 (a 為正數(shù))，若 d (2) =0.3010 ,貝U d (4) = 0.6020 , d (5)=0.6990, d (0.08 ) = - 1.0970(3)如表中與數(shù)x對應(yīng)的勞格數(shù)d (x)有且只有兩個是錯誤的，請找出錯誤的勞格數(shù)，說明理由并改正.x1.5356891227d (x)3a b+c2a - ba+c1+a b c3 3a 3c4a- 2b3 b 2c6a- 3b【考點】整式的混合運算；反證法.【專題】壓軸題.【

19、分析】(1)根據(jù)定義可知，d (10)和d (10 2)就是指10的指數(shù)，據(jù)此即可求解；j / 3 x(2)根據(jù) d(a3)=d(a?a?a)=d(a)+d(a)+d (a)即可求得 的值;d CaJ(3)通過9=32, 27=33,可以判斷d (3)是否正確，同理以依據(jù) 5=10+ 2,假設(shè)d (5)正確，可以求得d (2)的值，即可通過d (8), d (12)作出判斷.【解答】解：(1) d (10) =1, d (10 2) =-2;故答案為：1, -2;d (33)_3d (a) q.=3，因為 d (2) =0.3010故 d (4) =d (2) +d (2) =0.6020 ,

20、d (5) =d (10) - d (2) =1 - 0.3010=0.6990 ,d (0.08) =d (8X10 2) =3d (2) +d ( 10 2) = - 1.0970 ;(3)若 d (3)才2a b,貝U d (9) =2d (3)才4a 2b,d (27) =3d (3)才6a- 3b,從而表中有三個勞格數(shù)是錯誤的，與題設(shè)矛盾，.d (3) =2a- b,若 d (5)乎a+c,貝U d (2) =1 - d (5)才 1 a c,.d (8) =3d (2)才3- 3a - 3c,d (6) =d (3) +d (2)乎 1+a b- c,表中也有三個勞格數(shù)是錯誤的，與

21、題設(shè)矛盾.d (5) =a+c.二表中只有d (1.5)和d (12)的值是錯誤的，應(yīng)糾正為：d (1.5 ) =d (3) +d (5) 1=3a b+c 1,d (12) =d (3) +2d =2- b-2c.【點評】本題考查整式的運算，正確理解規(guī)定的新的運算法則是關(guān)鍵.2. (2012校慶一模)先閱讀下列材料，再解答后面的問題.一般地，若an=b (a0且a乎1, b0),則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為log ab (即logab=n).如34=81,貝4叫做以3為底81的對數(shù),記為log 381(即log 381=4). (1)計算以下各對數(shù)的值：log 24= 2 , log 21

22、6= 4 , log 264= 6 .(2)觀察(1)中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log 24、log 216、log 264 之間又滿足怎樣的關(guān)系式；(3)猜想一般性的結(jié)論：logaM+logaN= log a (MN (a0 且 a手 1, M0, N0),并根據(jù)募的運算法則：am?an=am+n以及對數(shù)的含義證明你的猜想.【考點】同底數(shù)募的乘法.【專題】壓軸題；新定義.【分析】(1)根據(jù)材料敘述，結(jié)合 22=4, 24=16, 26=64即可得出答案；(2)根據(jù)(1)的答案可得出10g 24、10g 216、10g 264之間滿足的關(guān)系式；(3)設(shè) log aM=b, lo

23、g aN=b,則 ab1=M, ab2=N,分別表示出 MNM b1+b2的值，即可 得出猜想.【解答】 解：(1) 10g 24=2, log 216=4, log 264=6;(2) log 24+log 216=log 264；(3)猜想 log aM + logaN = loga (MN.證明：設(shè) log aM=b, logaN=b,貝U ab1=M ab2=N,故可得MN=ab1?ab2=ab1+b2， b1+b2=log a（ MN） ，即 log aM+logaN=log a （MN） 【點評】 本題考查了同底數(shù)冪的乘法運算，題目出得比較新穎，解題思路以材料的形式給出，需要同學(xué)們

24、仔細閱讀，理解并靈活運用所給的信息3 （ 2012?沈陽模擬）認真閱讀材料，然后回答問題：我們初中學(xué)習(xí)了多項式的運算法則，相應(yīng)的，我們可以計算出多項式的展開式，如：（a+b） 1=a+b, （a+b） 2=a2+2ab+b2, （a+b） 3= （a+b） 2（a+b） =a3+3a2b+3ab2+b3,下面我們依次對（a+b） n展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：（ 1 ）多項式（a+b） n 的展開式是一個幾次幾項式？并預(yù)測第三項的系數(shù)；（2）請你預(yù)測一下多項式

25、（a+b） n展開式的各項系數(shù)之和.（ 3 ）結(jié)合上述材料，推斷出多項式（a+b） n（ n 取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和為S， （結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）【考點】完全平方公式【專題】壓軸題；閱讀型；規(guī)律型【分析】（1）由題意可求得當(dāng)n=1, 2, 3, 4,時，多項式（a+b） n的展開式是一個幾次幾項式，第三項的系數(shù)是多少，然后找規(guī)律，即可求得答案；（2）首先求得當(dāng)n=1, 2, 3, 4時，多項式（a+b） n展開式的各項系數(shù)之和,即可求得答案；（3）結(jié)合（2）,即可推斷出多項式（a+b） n （n取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和.【解答】解：（1）二.當(dāng)n=1時，多項式（a+b

26、） 1的展開式是一次二項式，此時第三項的系數(shù)為：0=3,2當(dāng)n=2時，多項式（a+b）2的展開式是二次三項式，此時第三項的系數(shù)為：131,2當(dāng)n=3時，多項式（a+b）3的展開式是三次四項式，此時第三項的系數(shù)為：3=亭, 當(dāng)n=4時，多項式（a+b）4的展開式是四次五項式，此時第三項的系數(shù)為：6=9封,多項式（a+b） n的展開式是一個n次n+1項式，第三項的系數(shù)為：門 ”1）；（2）預(yù)測一下多項式（a+b） n展開式的各項系數(shù)之和為：2n;（3） 當(dāng)n=1時，多項式（a+b） 1展開式的各項系數(shù)之和為：1+1=2=21,當(dāng)n=2時，多項式（a+b） 2展開式的各項系數(shù)之和為：1+2+1=4=

27、22,當(dāng)n=3時，多項式（a+b） 3展開式的各項系數(shù)之和為：1+3+3+1=8=2,當(dāng)n=4時，多項式（a+b） 4展開式的各項系數(shù)之和為：1+4+6+4+1=16=2,多項式（a+b） n展開式的各項系數(shù)之和：S=2n.【點評】此題屬于規(guī)律性、閱讀性題目.此題難度較大，由特殊到一般的歸納方法的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.4. （2009?佛山）閱讀材料：把形如 ax2+bx+c的二次三項式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a22ab+b2= （ab） 2.例如：(x1) 2+3、(x2) 2+2x、(x - 2) 2+x2是 x2 2x+4 的三

28、種不同形式的 24配方(即“余項”分別是常數(shù)項、一次項、二次項-見橫線上的部分).請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出 x2-4x+2三種不同形式的配方；(2)將a2+ab+b2配方(至少兩種形式)；(3)已知 a2+b2+c2 - ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.【考點】完全平方公式.【專題】壓軸題；閱讀型.【分析】(1) (2)本題考查對完全平方公式的靈活應(yīng)用能力，由題中所給的已知材料可得x2 4x+2和a2+ab+b2的配方也可分另I常數(shù)項、一次項、二次項三種不同形式；(3)通過配方后，求得 a, b, c的值，再代入代數(shù)式求值.【解答】解：(1

29、) x2- 4x+2的三種配方分別為：x2- 4x+2= (x-2) 2-2,x2 - 4x+2= (x+&) 2 - ( 2/2+4) x,x2 - 4x+2= (V2x- V2) 2-x2;(2) a2+ab+b2= (a+b) 2-ab,a2+ab+b2= (a+b) 2+-b2;24，(3) a2+b2+c2 - ab - 3b - 2c+4,=(a2-ab,b2) + (*2- 3b+3) + (c2-2c+1),=(a2-ab+b2) + (b2- 4b+4) + (c2-2c+1),=(a- gb) + (b-2) + (c - 1) =0,24從而有 a - lb=0, b-

30、2=0, c-1=0, 2即 a=1, b=2, c=1, a+b+c=4.【點評】本題考查了根據(jù)完全平方公式：a22ab+b2= （ab） 2進行配方的能力.5. （2007?東營）根據(jù)以下10個乘積，回答問題：11X29; 12X28; 13X27; 14X26; 15X25;16X24; 17X23; 18X22; 19X21; 20X20.（1）試將以上各乘積分別寫成一個“口 2- ?2 （兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）若用 ab, a2b2,，anbn表示 n 個乘積，其中 ab a2, a3,，an, bb b

31、, b3,，bn為正數(shù).試由（1）、（2）猜測一個一般性的結(jié)論.（不要求證明）【考點】平方差公式.【專題】壓軸題.【分析】利用兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差的積，就是它們的平方差.如11X29;可想幾加幾等于29,幾減幾等于11,可得20+9和20-9,可得11 X29=202 - 92, 同理思考其它的.【解答】 解：（1） 11 X29=202- 92; 12X28=202- 82; 13X27=202- 72;14X26=202- 62; 15X 25=202 - 52; 16X24=202- 42;17X23=202- 32; 18X22=202 - 22; 19X21=202- 12;20X2

32、0=202- 02. （4 分） 例如，11X29;假設(shè) 11X29=0 2-02 因為口2 。2= （D+O） （D-O）;所以，可以令。=11, D+O=29.解得，口=20, 0=9.故 11 X29=202- 92. （5 分）（或 11X29= （ 20 9） （20+9） =202- 92. 5 分）（2）這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11X2912X2813X2714X2615X2516X24 17X2318X2219X21 20X20.（7 分）（3）若 a+b=40, a、b 是自然數(shù)，貝ab202=400. （8 分）若 a+b=40,貝U ab202=400. （

33、8 分）若a+b=m a、b是自然數(shù)，則ab （巴） （9分） 2若 a+b=m 則 ab|a 2 b?|）|a 3 b3|）|a n bn| ,則 ab W a 2b2 W a 3b3 W W a nbn. （10 分）若 a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m 且|a 1 一 b1|a 2 b?|）|a 3 b3|）4 |a n - bn| ,則 abWa2b2 0a3b30nbn. （10 分）說明：給出結(jié)論或之一的得（1分）；給出結(jié)論或之一的得（2分）;給出結(jié)論或之一的得（3分）.【點評】此題主要考查了乘法的平方差公式.即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這

34、個公式就叫做乘法的平方差公式.6 （ 2006?浙江）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”.如：4=22- 02, 12=42- 22, 20=62- 42,因此 4, 12, 20 都是“神秘數(shù)”（ 1 ） 28 和 2012 這兩個數(shù)是“神秘數(shù)”嗎？為什么？（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k （其中k取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4 的倍數(shù)嗎？為什么？（ 3 ）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（k 取正數(shù)）是神秘數(shù)嗎？為什么？【考點】平方差公式【專題】壓軸題；新定義【分析】（ 1 ）試著把28、 2012 寫成平方差的形式，解方程即可判斷是否是神秘數(shù)

35、；（ 2 ）化簡兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2 和 2k 的差，再判斷；（3）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為 2k+1 和 2k1,貝（2k+1） 2 （2k1） 2=8k=4X2k,即可判斷兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù)【解答】解：（1）設(shè)28和2012都是“神秘數(shù)”，設(shè)28是x和x-2兩數(shù)的平方差得到，則 x2 （x-2） 2=28,解得：x=8, x- 2=6,即 28=82 62,設(shè)2012是y和y - 2兩數(shù)的平方差得到，則 y2- （y-2） 2=2012,解得：y=504，y 2=502,即 2012=5042- 5022,所以 28， 2012 都是神秘數(shù)(2) (2k+2) 2 (2k) 2= (

36、2k+22k) (2k+2+2k) =4 (2k+1),由2k+2和2k構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍.(3)設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為 2k+1和2k- 1,則(2k+1) 2- (2k-1) 2=8k=4X2k,即：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是4 的倍數(shù)，是偶數(shù)倍，不滿足連續(xù)偶數(shù)的神秘數(shù)為 4 的奇數(shù)倍這一條件兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù).【點評】 此題首先考查了閱讀能力、探究推理能力對知識點的考查，主要是平方差公式的靈活應(yīng)用7 ( 2007?淄博)根據(jù)以下10 個乘積，回答問題：11X29;12X28;13X27;14X26;15X25;16X24;17X23;18X22;19X21;20X20.

37、(1)試將以上各乘積分別寫成一個“口2- 02 (兩數(shù)平方差)的形式，并寫出其中一個的思考過程；( 2 )將以上 10 個乘積按照從小到大的順序排列起來；( 3 )試由( 1 ) 、 ( 2)猜測一個一般性的結(jié)論 (不要求證明)【考點】整式的混合運算；絕對值【專題】壓軸題；規(guī)律型【分析】( 1)根據(jù)要求求出兩數(shù)的平均數(shù)，再寫成平方差的形式即可(2)減去的數(shù)越大，乘積就越小，據(jù)此規(guī)律填寫即可.(3)根據(jù)排列的順序可得，兩數(shù)相差越大，積越小.【解答】 解：(1) 11X29=202-92; 12X28=202- 82; 13X27=202-72;14X26=202- 62; 15X25=202 -

38、 52; 16X24=202- 42;17X23=202- 32; 18X22=202-22; 19X21=202- 12;20X20=202- 02(4 分)例如，11X29;假設(shè) 11X29=D 2-O2,因為口2 。2= (D+O) (D-O);所以，可以令。=11, D+O=29.解得，口=20, 0=9.故 11X29=202- 92.(或 11X29= ( 20- 9) (20+9) =202- 92(2)這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11X2912X2813X2714X2615X2516X2417X2318X2219X2K20X20(3)若 a+b=40, a, b是自然

39、數(shù)，貝ab202=400.若 a+b=40,貝U ab202=400.(8 分)若a+b=m a, b是自然數(shù)，則ab (?2.若 a+b=m 貝U ab|a 2 b?|)|a 3 b3|)4 |a n - bn| ,則 a b & a 2b2& a 3b3 0& a nbn .(10 分) 若 a1+b=a2+b2=a3+b3= =an+bn=m.且|ai - bi|）|a2 b2|）|a 3 b?|a n bn| ,則 aiblH2b2H3b3 -a nbn.若a+b=mqa, b差的絕對值越大，則它們的積就越小.說明：給出結(jié)論或之一的得（1分）；給出結(jié)論、或之一的得（2分）;給出結(jié)論、或

40、之一的得（3分）.【點評】本題主要考查整式的混合運算，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.8. （2015汗洪區(qū)一模）如圖 1,在 ABC中，/ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC / BAC=90 ,當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2,線段CE BD所在直線的位置關(guān)系為垂直，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為 相等；當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖3,中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（2）如果AA AG /BAC是銳角，點D在線段BC上，當(dāng)/ ACB滿足什么條件時，CFBC C、F不重合），并說明理由.【考點】全等三角形

41、的判定與性質(zhì).【專題】壓軸題；開放型.【分析】（1）當(dāng)點D在BC的延長線上時的結(jié)論仍成立.由正方形ADEFm生質(zhì)可推出 DA軍 AFACC 所以 CF=BD / ACFh ABD 結(jié)合/ BAC=90 , AB=AC得至U/BCFh ACB它 ACF=90 .即 CF BD（2）當(dāng)/ ACB=45時，過點 A作AGLAC交CB的延長線于點 G,則/ GAC=90 ,可推出/ACBNAGC所以 AC=AG由（1）可知CF，BD【解答】證明：（1）正方形ADEM, AD=AF /BACN DAF=90 , / BADN CAF又AB=AC.DA軍 AFAC，CF=BD / B=/ ACF/ACB

42、ACF=90 ,即 CF BD當(dāng)點D在BC的延長線上時的結(jié)論仍成立.由正方形ADEF導(dǎo)AD=AF /DAF=90度. . /BAC=90 , / DAFh BAC / DABN FAC又AB=AC.DA軍 AFAC，CF=BD / ACFh ABD . /BAC=90 , AB=AC，/ABC=45 ,，/ACF=45 ,./ BCFCB”CF=90 度.即 CF BD(2)當(dāng)/ACB=45 時，CF，BD(如圖) 理由：過點A作AGLAC交CB的延長線于點 G,則/GAC=9 0 ,/ ACB=45 , / AGC=90 - / ACB ./AGC=90 -45 =45 , /ACBN AG

43、C=45 ,，AC=AG /DAG=FAC(同角的余角相等),AD=AF.GA國 ACAF.二/ACFg AGC=45 ,/BCFh ACB ACF=45 +45 =90 ,即 CF BC【點評】本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL.判定兩個三角形全等，先根據(jù)已 知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什 么條件，再去證什么條件.9. (2015硝澤)如圖，已知/ ABC=90 , D是直線 AB上的點，AD=BC(1)如圖1,過點A作AFLAR并截取 AF=BD連接DC DF、CF,判斷 C

44、DF 的形狀并證明；(2)如圖2, E是直線BC上一點，且 CE=BD直線AB CD相交于點P, / APD 的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).【專題】壓軸題.【分析】(1)利用SAS證明4AFD和4BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC即可判斷三角形的形狀；(2)作 AF，AB于 A,使 AF=BD 連結(jié) DF, CF,利用 SAS證明AAFDABDC等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC /FDC=90 ,即可得出/FCD4 APD=45 .【解答】解：(1) 4CDF是等腰直角三角形，理由如下：/AFIAR /A

45、BC=90 ,丁 / FADh DBC在4FAD與4DBC中，rAD=BC，ZFAD=ZDBC , tAF=BD.FA乎DBC( SA ,，F(xiàn)D=DC.CDF是等腰三角形，F(xiàn)A乎 ADBC丁 / FDAh DCB. / BDC+DCB=90 ,丁. / BDC+FDA=90 ,CDF是等腰直角三角形；(2)作 AFAB于 A,使 AF=BD 連結(jié) DF, CF,如圖，/AFIAR /ABC=90 ,丁 / FADh DBC在4FAD與ADBC中，AD 二 BC，NFAD:NDBC ,laf=bd.FA乎DBC（ SA ,，F(xiàn)D=DC.CDF是等腰三角形，F(xiàn)A乎 ADBC，/ FDAh DCB.

46、 / BDC+DCB=90 ,丁. / BDC+FDA=90 ,CDF是等腰直角三角形，/FCD=45 ,. AF/ CE 且 AF=CE二四邊形AFC提平行四邊形，AE/ CF,丁./APD4 FCD=45 .【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用.解答時證明三角形全等是關(guān) 鍵.10. （2015武嶺一模）已知：4ABC中,BD CE分別是AG AB邊上的高，BQ=AC點F在CE的延長線上，CF=AB求證：AFAQ 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).【專題】證明題；壓軸題.【分析】 首先證明出/ ABDM ACE再有條件

47、BQ=AC CF=AB得4AB筆AACF進而得到/ F=/BAQ然后再根據(jù)/ F+/FAE=90 ,可得/ BAQ+FAI90 ,進而證出AF AQ【解答】證明：: BD CE分別是AC AB邊上的高，/ADB=90 , /AEC=90 ,丁. / ABQ+BAD=90 , / BACV ACE=90 ,丁./ABD4ACErAB=CF在AABQ和 AACF 中，ZABD=ZACE , BQ 二 AC.AB筆ACIZ（ SA , / F=/ BAQ/F+/ FAE=90 ,/BAQ+FAI90 ,/.AFI AQ【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法，以及

48、全等三角形的性質(zhì)定理.11. （2013?廬陽區(qū)校級模擬）如圖，將兩個全等的直角三角形4ABD AACE拼在一起（圖1）. 4ABD不動，（1）若將4ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接 DE, M是DE的中點，連接 MB MC（圖 2),證明：MB=MC（2）若將圖1中的CE向上平移，/ CAE不變，連接DE, M是DE的中點，連接 MB MC（圖3）,判斷并直接寫出 MB MC勺數(shù)量關(guān)系.（3）在（2）中，若/ CAE的大小改變（圖4）,其他條件不變，則（2）中的MB MC勺數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題；幾何綜合題；壓軸題【分析】（1）連接AM根據(jù)全等三

49、角形的對應(yīng)邊相等可得AD=AE AB=AC全等三角形對應(yīng)角相等可得/ BADN CAE再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到 /MAD = MAE然后利用“邊角邊”證明 ABM和4AC淞等，根據(jù)全等三角形 對應(yīng)邊相等即可得證；（2）延長DR AE相交于E,延長EC交AD于F,根據(jù)等腰三角形三線合一的 性質(zhì)得到BD=BE ,然后求出MB/ AE ,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出 /MBC =CAE同理求出MCZAQ根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出/ BCM = BAD 然后求出/ MBC =BCM再根據(jù)等角對等邊即可得證；（3）延長Bg CE于F,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得/ MDB = MEF

50、 /MBD =MFE然后利用“角角邊”證明 MDB和4MEF全等，根據(jù)全等三角形 對應(yīng)邊相等可得MB=M F然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明 即可【解答】證明：（1）如圖2,連接AM由已知得 ABDAACE，AD=AE AB=AC /BADN CAE. MD=M E ，/ MAD = MAE，/ MAD / BAD4 MAE / CAE即/ BAM=CAMrAB=AC在 ABM?口 ACM, ,NBAM=NCAM, 2二端.AB陣AACIVI( SA ,，MB=M; C MB=MC理由如下：如圖3,延長DR AE相交于E,延長EC交AD于F,，BD=BE, CE=CFM是ED的

51、中點，B是DE的中點，.MB/ AE,丁. / MBC = CAE同理：MC/ AR丁. / BCM = BAD/ BAD4 CAE，/MBC= BCM.MB=M; C(3) MB=MCE成立.如圖4,延長BMX CE于F,V CE/ BR丁./MDB =MEF /MBD = MFE又是DE的中點,，MD=M ErZMDB=ZMEF在MDBfflAMEF中，ZMBD=ZMFE ,lkd=me.MD冬AMEF( AAS ,，MB=M F. /ACE=90 ,./BCF=90 ,，MB=M C【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)， 等角對等邊的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的

52、中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及三 角形的中位線定理，綜合性較強，但難度不大，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形或 全等三角形是解題的關(guān)鍵.12. (2012?昌平區(qū)模擬)(1)如圖，在四邊形 ABC前,AB=AD / B=/ D=90 ,E、F分別是邊BG CD上的點，且/ EAF=1 Z BAD2求證：EF=BE+FD(2)如圖，在四邊形 ABCB, AB=AD /B+/ D=180 , E、F 分別是邊 BG CD 上的點，且/ EAF=Z BAD (1)中的結(jié)論是否仍然成立？(3)如圖，在四邊形 ABCB, AB=AD /B+/ ADC=180 , E、F 分別是邊 BC CD延長線上的點，且/

53、EAF=2/BAD (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請 證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).【專題】證明題；壓軸題；探究型.【分析】（1）可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換.延長EB到G,使BG=DF連接AG目的就是要證明三角形 AG麗三角形AEF全等將EF轉(zhuǎn)換成GE,那么這樣EF=BE+DFT,于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵.三角形ABE和AEF中，只有一條公共邊AE,我們就要通過其他的全等三角形來實現(xiàn)，在三角形ABG和AFD中，已知了一組直角， BG=DF AB=AD因此兩三角形全等，那么 AG=AF /1=/ 2,那么/ 1+/ 3=/ 2+/ 3=/ EAF=/BAD由此就構(gòu)成了三角形 ABE和AEF 2全等的所有條件（SA9,那么就能得出EF=GET.（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過證明三角形 AB邰口 ADF全等中，證明/ ABG=ADF時，用到的等角的補角相等，其他的都一樣.因此與（1）的結(jié)果完全一樣.（3）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換.就應(yīng)該在BE上截取BG使BG=DF連接AG根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BGGE=EF那么EF=GE=BE BG=BE DF.所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成 立的.【解答】證明：（1）延長EB到G,使BG=