知識(shí)講解_指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算_基礎(chǔ)

1、感謝您選擇名昊教育，名昊內(nèi)部教學(xué)資料助力您成績突飛猛進(jìn)!指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算編稿：丁會(huì)敏 審稿：王靜偉【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的根式計(jì)算；(2)能認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確 進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的互化；(3)能利用有理指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)簡化根式運(yùn)算.2 .掌握無理指數(shù)哥的概念，將指數(shù)的取值范圍推廣到實(shí)數(shù)集；3 .通過指數(shù)范圍的擴(kuò)大， 我們要能理解運(yùn)算的本質(zhì)，認(rèn)識(shí)到知識(shí)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，認(rèn)識(shí)到符號(hào)化思想的重要性，在抽象的符號(hào)或字母的運(yùn)算中提高運(yùn)算能

2、力；4 .通過對(duì)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，能學(xué)會(huì)透過表面去認(rèn)清事物的本質(zhì).【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、整數(shù)指數(shù)哥的概念及運(yùn)算性質(zhì)5 .整數(shù)指數(shù)哥的概念4r(a a0,nZ*)(2) 算法則mna ；(3)manan, a(4)abm. ma b榻老師聯(lián)系電話(微信)無要點(diǎn)二、根式的概念和運(yùn)算法則1. n次方根的定義：若xn=y(n N*, n>1, y R),則x稱為y的n次方根.n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)y的奇次方根有一個(gè)，是正數(shù)，記為n/y ；負(fù)數(shù)y的奇次方根有一個(gè)，是負(fù)數(shù)，記為Vy ;零的奇次方根為零，記為 V0 0 ;n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)y的偶次方根有兩個(gè)，記為 匹；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根

3、為零，記為V0 0.2,兩個(gè)等式*一 n(1)當(dāng) n 1且 n N 時(shí)，va a；Vana, (n為奇數(shù))| a | (n為偶數(shù))要點(diǎn)詮釋：尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時(shí)， 開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別； 計(jì)算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值,寫成|a|的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.要點(diǎn)三、分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的概念和運(yùn)算法則1anm anma nna為避免討論，我們約定 a>0, n, m N*,且m為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)哥可如下定義: nn n m n m(.a) .a1man要點(diǎn)四、有理數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算1 .有理數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)a 0, b 0, Q(1) a a a ;

4、(2) (a )a ;(3) (ab)a b ;當(dāng)a>0, p為無理數(shù)時(shí)，ap是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)仍適用要點(diǎn)詮釋：(1)根式問題常利用指數(shù)哥的意義與運(yùn)算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥運(yùn)算；(2)根式運(yùn)算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時(shí)可以交換、何時(shí)不能交換.如十 4)2(4T7)2;21(3)哥指數(shù)不能隨便約分.如(4)4( 4)2 .2.指數(shù)哥的一般運(yùn)算步驟有括號(hào)先算括號(hào)里的；無括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算.負(fù)指數(shù)哥化為正指數(shù)塞的倒數(shù).底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用哥的形式表示，便于用指 數(shù)運(yùn)算性質(zhì).

5、在化簡運(yùn)算中，也要注意公式：a2- b2= (ab) (a+b), (a± b) 2=a2±2ab+b2, (a±b)3=a3±3a2b+ 3ab2土b3, a3- b3= (ab) (a2+ab+ b2), a3+b3= (a+b) (a2ab+ b2)的運(yùn)用，能夠 簡化運(yùn)算.【典型例題】類型一、根式例1.求下列各式的值：(1) 5/TV；(2)4'( 10)2；(3)防一(4)J(a b)2.a b(a>b)【答案】-3； “10；3； 0(a=b)b a(a<b)【解析】熟練掌握基本根式的運(yùn)算，特別注意運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)(1)5(

6、3)53；(2) 4( 10)2.10 ； y(3)4 |3|3;a b(a>b)(4) J(a b)2 |a b| 0(a=b)b a(a<b)【總結(jié)升華】(1)求偶次方根應(yīng)注意，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)， 例如，4的平方根是 2,但不是J4(2)根式運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)遇到開方與乘方兩種運(yùn)算并存的情況，應(yīng)注意兩者運(yùn)算順序是否可換，何時(shí) 可換.舉一反三：【變式1】計(jì)算下列各式的值：(1) 3/( 2)3 ； (2) 4/( 9)2 ； (3) 6/(47； (4)狄a 2)8 .a 2(a 2)【答案】(1) -2 ; (2) 3; ( 3) 4; ( 4)'.2 a(a 2)例

7、2 .計(jì)算：(1)，5 2 函 ，74T3 J6 4 亞;1,2 1【答案】2j2;2j2.【解析】對(duì)于(1)需把各項(xiàng)被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運(yùn)算性質(zhì)求解.對(duì)于則應(yīng)分子、分母同乘以分母的有理化因式.(1) ,5 2,6,7 4.3,6 4.2=，,(3)2 2.3 .2 (.2)2 + 22 2 2 3 (.3)2 - . 22 2 2 2 (.,2)2二(3 -,2)2,(2 、3)2 、(2 6)22.(2),=| -.32 |+| 2 .3 |-| 2 .2 1感謝您選擇名昊教育，名昊內(nèi)部教學(xué)資料助力您成績突飛猛進(jìn)!=F 72+2 73- (2 乃)=2 .2(2)2 1

8、.2 1榻老師聯(lián)系電話（微信）無22. 122. 1(2 1)(.2 1)(J 1)(.2 1).2 1 ,2 1=2 2【總結(jié)升華】對(duì)于多重根式的化簡，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全n次方，再解答，或者用整體思1想來解題.化簡分母含有根式的式子時(shí)， 將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，,2 1的分子、分母中同乘以32 1）.舉一反三：變式 1】化簡：（1）7a 2V2 3/（1 6）3 11 424 ；(2) X2 2x 1, x2 6x 9(|x| 3)【答案】（1）應(yīng)1; （2）2x 2( 3 x 1),4(1 x 3).類型二、指數(shù)運(yùn)算、化簡、求值例3.用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥形

9、式表示下列各式（式中 a>0）:(1) a2 n；(2) a3 3a2 ； (3)51135【答案】a2； a?； a4； y4【解析】先將根式寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)騫的形式，再利用騫的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可._12 15(1) a2 a a2 a2 a 2a2;_23 211(2) a3 3a2 a3 a3 a 3 a3 ；113 13(3) vaVa (a a2)2 (a2)2 a4；(4) 解法一：從里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥2111 2 2 xy2y (x2 y)2 x2yx5=y4解法二：從外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥.24i23 x126 y3 x2=L x5=yZ【總結(jié)升華】此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用manna

10、m (a 0, m, n N，且n 1).當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí)，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里,用分?jǐn)?shù)指數(shù)騫寫出，然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡舉一反三:高清課程：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算例1【變式1】把下列根式用指數(shù)形式表示出來，并化簡132【答案】（1）2%x3.【變式2】把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)哥:3x(5/)2(1)6y872； (2) 7aVa(a 0); (3) b3 訴"；(4)3- a4113b3 ； x 5【解析】（1）5872=623 227221-33 1a4(2) Qa& Va a2Va2(a2)2(3)b3b32b311b3感謝您選擇名昊教育，名昊內(nèi)部教學(xué)資料助力

11、您成績突飛猛進(jìn)!榻老師聯(lián)系電話(微信)無=13P例4.計(jì)算：19-T(x5)31-3x5(0.0081)181 0.253 (38)3(2)73 3 33 24 63 1 94 33 33 125 4 ( 36)23 (3)3【解析】(1)原式= (0.3)1 1 23(3 3)1033(2)原式=733 63/3 233 33(3)原式=-5+6+4-(3-)=2 ;注意：(1)運(yùn)算順序(能否應(yīng)用公式)；舉一反三：【變式1】計(jì)算下列各式：0；(2)指數(shù)為負(fù)先化正;(3)根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥I, 88025(3 23)6;(2)-a3413 8a3 b23 ab24b3(123(2)原式(1)原

12、式二81)(1(23)工12413)61(3萬)632 2"14八2八34231121a3 (a11(a3)2 2a3b8b)113 (2b3)2a-1a312b31a31a313 (a 8b)【變式2】計(jì)算下列各式：高清課程：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算1(a')3例31(2b3)3(1.03)0 ( 1)3【答案】21 + 1564【解析】原式=16+6+5+2 .6+4t 15、6V6 =21 +-4例5.化簡下列各式.21-x45x 3 y1【答案】24y6 ；13y一 一 1 cmm 211m 2m22(0.027)327125290.51m2 ； 0.09同一字母的化為該字母的

13、指數(shù)運(yùn)算;(2)對(duì)字【解析】(1)即合并同類項(xiàng)的想法，常數(shù)與常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算, 母運(yùn)算的理解要求較高，即能夠認(rèn)出分?jǐn)?shù)指數(shù)的完全平方關(guān)系;(3)具體數(shù)字的運(yùn)算，學(xué)會(huì)如何簡化運(yùn)算1-x4215x 3 y215 3X65 ( 4)124x0y65124y62-)3i)1m2(2) m-m11一 2 一2m 2 m22(3) (0.027)3271m 2131m2112一22m2125290.5=(3 0.027)21252725一 二0.095 =0.093【變式1】化簡:3 xy2(、, xy)3 .57【答案】x6y61【解析】原式=xy2(x211y2)33(xy233 1x2 y2)357x6y

14、6.注意：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Van|a|2 x 【變式2】化簡x 32x2x 3a(a 0)a(a 0)2y2y 3【答案】2*xy【解析】應(yīng)注意到x 2之間的關(guān)系，對(duì)分子使用乘法公式進(jìn)行因式分解,2222原式(x3)3 (y3)3 (x3)3 (y*)3八222_2x 3 y 3 x 3 y 3222(x 3)2 x 3 y 3222 22(y 3)2 (x 3)2 xy3 (yW)2感謝您選擇名昊教育，名昊內(nèi)部教學(xué)資料助力您成績突飛猛進(jìn)!22(xy) 332金xy【總結(jié)升華】根式的化簡結(jié)果應(yīng)寫為最簡根式.（1）被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；（2）被開方數(shù)分母為1,且不含非正整數(shù)指數(shù)哥；（3）被開

15、方數(shù)的每個(gè)因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù).【變式3】化簡下列式子：(1) -3 ' _(2) ,422 ,2 .3 x2 2x 1 3 x3 3x2 3x 1【答案】2夜 76； 4/18 4/2 ；【解析】（1）原式.2(3.3)2(33)(3 、. 3)(2) Q(418 4 2)218 24 18-2.2(3 ,3)2 、4 2 ,3.2(12 6 .3)2x(x2(x、2(31)1) ,3).2(3 . 3)3 ；36(4花)2 24 爪 4 2(4 2)22 3 2 24 622 4:22.6 0榻老師聯(lián)系電話（微信）無，由平方根的定義得: Q3x3 3x23x 13 (x 1)3.x

16、2 2x 1 |x 1|x 1(xx 1(xx2 2x 1 3 x3 3x23x1)1)-2x(x2(x1)1)高清課程：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算11例6.已知x2 x 2例43x2-2 x3-的值.2【解析】1與條件x213從已知條件中解出 x的值，然后代入求值,這種方法是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果x23x22 x1x 21,23的聯(lián)系,3, x2 49,3x 22 x3_(x_3 (7 1) 345進(jìn)而整體代入求值.22 x121x 9,x 2 451x 2)(x 147 2x 1)1545【總結(jié)升華】對(duì)于“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換”或“化簡后代換”方法求值.本題的關(guān)鍵是先求33x2 x 2及