2015年江蘇高考數(shù)學(xué)

1、2015年江蘇高考數(shù)學(xué)試題參考公式圓柱的體積公式：=Sh，其中S是圓柱的底面積，h為高。圓錐的體積公式： Sh，其中S是圓錐的底面積，h為高。1、 填空題：本大題共14個(gè)小題,每小題5分,共70分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上。1. 已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi).2. 已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi).3. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則z的模為_(kāi).4. 根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果S為_(kāi).5. 袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_(kāi).6. 已知向量=（2,1），=（1，-

2、2），若=（9，-8）（m，nR），則m-n的值為_(kāi).7. 不等式的解集為_(kāi).8.已知，則的值為_(kāi).9.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè)。若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為 。10.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。11.數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列前10項(xiàng)的和為 。12.在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。若點(diǎn)到直線的距離大于c恒成立，則是實(shí)數(shù)c的最大值為 。13.已知函數(shù)，則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為 。14.設(shè)向量，則的值為 。二、解答題 （

3、本大題共6小題，共90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡制定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 15.（本小題滿分14分）在中，已知(1)求BC的長(zhǎng)；（2）求的值。16.（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，已知.設(shè)的中點(diǎn)為D，求證：（1）(2)17. （本小題滿分14分）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到的距離分別為20千米和2.5千米，以所在的直線分別為x，y軸，建立平

4、面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）模型.（I）求a，b的值；（II）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t. 請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出其定義域； 當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度.18. （本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.（1） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.19.（本小題滿分16分）已知函數(shù)。（1）試討論的單調(diào)性；（2）若（實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個(gè)

5、不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是，求c的值。20.設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d的等差數(shù)列（1）證明：依次構(gòu)成等比數(shù)列；（2）是否存在，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；（3）是否存在及正整數(shù)，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由。數(shù)學(xué)試題參考答案一、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算和基本思想方法.每小題5分，共計(jì)70分.1.2 2.6 3. 4.7 5. 6.-3 7. 8.3 9. 10. 11. 12. 13.4 14. 二、解答題15.本小題主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系與二倍角公式，考查運(yùn)算求解能力.滿分14分。解：（1）由余弦定理知，所以（2）由正弦定理知，所以因?yàn)?，所以為銳

6、角，則因此.16.本小題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分。證明：（1）由題意知，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，因此又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?）因?yàn)槔庵侵比庵云矫嬉驗(yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，平面，平面，所以平面又因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)椋跃匦问钦叫?，因此因?yàn)?，平面，所以平面又因?yàn)槠矫?，所?7. 本小題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.滿分14分.解：（1）由題意知，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，將其分別代入，得，解得（2）由（1）知，（），則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)在點(diǎn)處的切線交，軸分別于

7、，點(diǎn)，則的方程為，由此得，故，設(shè)，則令，解得當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)從而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時(shí)答：當(dāng)時(shí)，公路的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為千米18.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線的方程、直線與直線、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分析問(wèn)題及運(yùn)算求解能力.滿分16分.（1）由題意，得且，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)軸時(shí)，又，不合題意當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得，則，的坐標(biāo)為，且若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意從而，故直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而因?yàn)椋?，解得此時(shí)直線方程為或19.本小題主要考查利用

8、導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性、極值及零點(diǎn)問(wèn)題，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題以及邏輯推理能力.滿分16分。解：（1），令，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋ǎ院瘮?shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）知，函數(shù)的兩個(gè)極值為，則函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，從而或又，所以當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍恰好是，則在上，且在上均恒成立，從而，且，因此此時(shí)，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)異于的不等實(shí)根，所以，且，解得綜上20.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化

9、與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)研究與解決問(wèn)題的能力.滿分16分.解：（1）證明：因?yàn)椋?，）是同一個(gè)常數(shù)，所以，依次構(gòu)成等比數(shù)列（2）令，則，分別為，（，）假設(shè)存在，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且令，則，且（，），化簡(jiǎn)得（），且將代入（）式，則顯然不是上面方程得解，矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列（3）假設(shè)存在，及正整數(shù)，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且分別在兩個(gè)等式的兩邊同除以及，并令（，），則，且將上述兩個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù)，得，且化簡(jiǎn)得，且再將這兩式相除，化簡(jiǎn)得（）令，則令，則令，則令，則由，知，在和上均單調(diào)故只有唯一零點(diǎn)，即方程（）只有唯一解，故假設(shè)不成立所以不存在，及正整數(shù)

10、，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列數(shù)學(xué)（附加題）21、 （選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。A、 選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，在中，的外接圓O的弦交于點(diǎn)D求證：B、選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知，向量是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量，求矩陣以及它的另一個(gè)特征值。C.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）已知圓C的極坐標(biāo)方程為，求圓C的半徑.D選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）解不等式22.如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯

11、形，,(1)求平面與平面所成二面角的余弦值；（2）點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時(shí)，求線段BQ的長(zhǎng)23.（本小題滿分10分）已知集合，設(shè)，令表示集合所含元素的個(gè)數(shù).（1）寫(xiě)出的值；（2）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。21.選做題 A.（選修41：幾何證明選講）本小題主要考查圓的基本性質(zhì)和相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力.滿分10分。證明：因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，又為公共角，可知ABCEDO（第21A題）B選修42：矩陣與變換本小題主要考查矩陣的特征值與特征向量的概念等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分10分。解：由已知，得，即，則，即，所以矩陣從而矩陣的特征多

12、項(xiàng)式，所以矩陣的另一個(gè)特征值為C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程本小題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分10分。解：以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以極軸為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系圓的極坐標(biāo)方程為，化簡(jiǎn)，得則圓的直角坐標(biāo)方程為，即，所以圓的半徑為D選修45：不等式選講本小題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法，考查分類討論的能力。滿分10分。解：原不等式可化為或解得或綜上，原不等式的解集是22.【必做題】本小題主要考查空間向量、二面角和異面直線所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題的能力.滿分10分。解：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，（1）因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，即令，解得，所以是平面的一個(gè)法向量從而，所以平面與平面所成二面角的余弦值為（2）因?yàn)椋O(shè)（），又，則，又，從而設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，此時(shí)直線與所成角取得最小值又因?yàn)椋?3.【必做題】本題主要考查計(jì)數(shù)原理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查探究能力及