矩陣論楊明華中科技大學(xué)課后習(xí)題答案

1、 （2）由 åx k =0 ¥ k = (1 - x-1 得 1 æ ¥ k ö¢ æ 1 ö¢ k -1 kx = å ç å x ÷ = ç 1 - x ÷ = (1 - x 2 ø k =1 è k =0 ø è ¥ , x <1 所以 å kA k =1 ¥ k -1 = ( I - A) -2 æ ç4 0 ç 9 = ç

2、0 ç 4 ç ç0 0 è ö 0 ÷ ÷ 27 ÷ 4 ÷ 9 ÷ ÷ 4 ø æ1 2 -6 ö ç ÷ At A 8. A = 1 0 -3 ，求 e ， e ，sinA。 ç ÷ ç1 1 -4 ÷ è ø 解：由 l I - A = - ( l + 1) 3 A 的特征值 l1 = l2 = l3 = -1 由此得 æ -1 ç P=ç

3、 1 ç0 è 2 1 1 -1 1 ö ÷ 0 ÷ ÷ 0 ø ,P -1 æ 0 1- ç =ç 0 0 ç 1 1- è ö1 ÷ ÷1 ÷3 ø æ -1 ö ç ÷ A = PJ A P = P ç -1 1 ÷ P -1 ç -1÷ è ø æ e-1 ç A A 對(duì) f ( A = e ， e

4、= P ç ç è 對(duì) f ( A = e ， e At At e-1 ö æ 3 2 -6 ö ÷ ç ÷ e-1 ÷ P -1 = e-1 ç 1 2 -3 ÷ ç 1 1 -2 ÷ e-1 ÷ è ø ø ö -6t ö æ 2t + 1 2t ÷ -1 ÷ -t ç te ÷ P = e ç t 1 + t -3t ÷

5、ç t e-t ÷ t 1 - 3t ÷ è ø ø -t æ e-t ç = Pç ç è e -t 對(duì) f ( A = sin A ， 2cos1 -6cos1 ö æ sin(-1 ö æ 2cos1 - sin1 ç ÷ -1 ÷ -t ç SinA = P ç sin(-1 cos(-1 ÷ P = e ç cos1 cos1 - sin1 -3cos1 ÷

6、 ç ç sin(-1 ÷ cos1 cos1 - sin1 - 3cos1÷ è ø è ø 9.已知 A2=A，求 sinA。 解：設(shè) l 為 A 的特征值， X ¹ 0 為特征向量 由 得 l X = AX = A2 X = A( AX = l AX = l 2 X l1 = 1 , l2 = 0 因 A2=A，故有 A( A - I = 0 于是 g (l = l (l - 1 為矩陣 A 的化零多項(xiàng)式（最小多項(xiàng)式） ，且為一次銀子乘積，所以 A 可對(duì)角化 即有 æI A = P

7、1; r è 這里 rank ( A = r ö -1 ÷P 0ø æ æI sin A = P ç sin ç r è è ö ö -1 ÷÷ P 0øø æ sin1 ç ç ç = Pç ç ç ç ç è sin1 0 ö ÷ ÷ ÷ -1 ÷P ÷ ÷ 

8、47; 0÷ ø æI = P sin1ç r è 10.求解微分方程組 ö -1 æ Ir ÷ P = sin1P ç 0ø è ö -1 ÷ P = (sin1 A 0ø ì æ 3 - 1 1ö æ 0 ö ï ç ÷ ç ÷ +ç ÷0 ï X ( t = ç 2 0 - ÷ 1 X t( í

9、; ç 1 - 1 2÷ ç e 2t ÷ è ø è ø ï T ï X( 0 =( 1 1) 1 î 解： 21 2t æ1 3t ö ç 2 - (9t + 2 e + 16e ÷ ç ÷ 1ç 5 9 2t 3t ÷ X (t = - (9t + e + 8e ÷ 6ç 2 2 ç ÷ 2t 3t 1 - 3e + 8e ç ÷ ç

10、; ÷ è ø 習(xí)題五 æ1 2 0ö ç ÷ + 1.設(shè) A = 0 0 1 ，求 A ç ÷ ç1 2 2÷ è ø æ1 2 0ö æ1 2 0ö ç ÷ ç ÷ 解： A = ç 0 0 1 ÷ ® ç 0 0 1 ÷ = F ç1 2 2÷ ç0 0 0÷ è ø &#

11、232; ø 取矩陣 A 的第 1、3 列構(gòu)成列滿秩矩陣 B，取矩陣 F 第 1、2 行構(gòu)成行滿秩矩陣 C æ1 0ö ç ÷æ1 2 0ö A = BC = ç 0 1 ÷ ç ÷ ç1 2÷è0 0 1ø è ø æ 5 -2 1 ö 1 ç ÷ A = C (CC ( B B B = ç 10 -4 2 ÷ 30 ç ÷ è -10

12、 10 10 ø + T T -1 T -1 T 2.證明非齊次線性方程組 AX = b 有解的充分必要條件是 AA b = b 。 證明：必要性 設(shè) AX = b 有解，由 A = AA A 得， ( AA AX = b ，即有 + + + ( AA+ b = b 充分性 設(shè) AA b = b ，則有 A( A b = b ，令 x0 = A b ，于是 Ax0 = b ，故方程組 Ax = b 有解 + + + x0 = A+ b 3.設(shè) A Î R m´n ，且 A 的 n 個(gè)列是標(biāo)準(zhǔn)正交的，證明 A = A 。 T T + 證明：因?yàn)榫仃?A 的 n 個(gè)列

13、向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的，則矩陣 A 為列滿秩的矩陣，且有 A A = I 于是 A+ = ( AT A AT = AT 4. A 是冪等且為 Hermite 矩陣，證明 A = A 。 證明：因?yàn)?A = A ，且 A 2 H + = A ，矩陣 A 是正規(guī)陣，可酉相似對(duì)角陣，即 æI U H A U= ç r è0 于是 0ö ÷ ，U 為酉矩陣，并設(shè) rank ( A = r 0ø æ Ir 0ö H ÷U = U ç 0ø è0 0ö H ÷U = A 0

14、ø æ I -1 A+ = U ç r è 0 æ 0 2 0 öæ x1 ö æ1ö ç ÷ç ÷ ç ÷ 5.求線性方程組 1 0 2 x2 = 1 的最佳的最小二乘解。 ç ÷ç ÷ ç ÷ ç 0 1 0 ÷ç x ÷ ç1÷ è øè 3 ø è ø æ 0 1 0ö 1ç ÷ 解： A = 2 0 1÷ ç 5ç ÷ è 0 2 0&#