矩陣的概念及運算

1、第二章 矩陣2.1 矩陣的概念及運算授課題目 2.1 矩陣的概念及運算 授課時數(shù)：4課時教學目標：掌握矩陣的定義，矩陣的運算包括加法、數(shù)乘、乘法矩陣的運和轉置的定義及運算規(guī)律。幾個特殊矩陣 -單位矩陣 ，三角形矩陣，對稱矩陣，反對稱矩陣教學重點：，矩陣的運算包括加法、數(shù)乘、乘法矩陣的運和轉置的定義及運算規(guī)律。教學難點：矩陣的計算及對稱矩陣，反對稱矩陣的證明教學過程：一矩陣的定義及表示1. 實例假設在一地區(qū)，一物資有s個產(chǎn)地和n個銷售地，其物資調(diào)運方案為銷地產(chǎn)地2. 矩陣的定義定義1 由數(shù)域個數(shù)列的一個數(shù)表 稱為數(shù)域個，簡稱矩陣，通常用大寫字母表示矩陣。3. 矩陣的表示三種表示法：矩陣與行列式的

2、區(qū)別：數(shù)，表。4. 方陣-行數(shù)等于列數(shù)的矩陣行向量 -的矩陣 列向量-的矩陣5. 矩陣的初步運用坐標變換 兩組變量的線性關系線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣陣.同形矩陣與相等矩陣定義2 兩個矩陣，當它們的行數(shù)和列數(shù)分別相等時，稱為同形矩陣。當它們的對應位置元素也相等時，即 則稱矩陣二矩陣的運算1. 加法1）定義定義3 設是兩個同形矩陣，則稱矩陣的和，記作2）運算規(guī)律 交換律 ； 結合律 ； ； 移項法則2. 矩陣的數(shù)乘1）定義定義4 設。2）運算規(guī)律 其中* 關于加法與數(shù)乘的運算規(guī)律與向量空間定義中的8條是一致的，實際上構成向量空間。3. 矩陣的乘法1）定義定義5 設規(guī)定 乘積稱為向量的行列積。定義

3、6 設，記作 其中 示意圖： 例1 例2 例3 線性代入的矩陣表示，線性方程組的矩陣表示。2）注意事項 矩陣的乘法不滿足交換律（1）；（2）都有意義，但不同形；（3）都有意義且同形，但 兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣. 矩陣乘法不滿足消去律。即若 ； 列是3）運算規(guī)律 乘法對加法的分配律： 乘法結合律：證明 設，顯然（AB）C與A(BC)都是的矩陣。令 于是（AB）C=VC，A（BC）=AW,VC的第 i行第l 列元素為 從而（AB）C=A（BC） 數(shù)乘與乘法結合律： 對有 4方冪 定義 A的m次冪為 式中m是整數(shù)，約定 指數(shù)法則 矩陣多項式的可代入性設 是數(shù)域F上的一元多項式，而A是F上的一

4、個n階方陣，那么 有確定意義，它也是F上的一個n 階方陣，我們將它記為f(A),即為如果f(x),g(x)是F上的一元多項式，A是F上的一個n 階方陣令U(x)=f(x)+g(x),v(x)=f(x)g(x),那么由矩陣的運算規(guī)律容易得出U(A)=f(A)+g(A),v(A)=f(A)g(A),5轉置1）定義定義7 設矩陣 把的行依次變成列所得到的矩陣，叫做的轉置記為，即 2）運算規(guī)律 ； ； ； （穿脫原理）* 、可推廣到多個的情形三幾類特殊的矩陣1. 對角陣 2. 乘量矩陣 3三角形矩陣 定義 主對角下方元素全為零的n 階矩陣稱為上三角形矩陣，主對角上方元素全為零的n 階矩陣稱為下三角形矩陣上三角形矩陣形狀為 下三角形矩陣形狀為 容易驗證，兩個n 階上（下）三角形矩陣的和與乘積仍為上（下）三角形矩陣4. 對稱矩陣與反對稱矩陣定義9 設A是n階方陣，如果，則