隨機(jī)變量的數(shù)字特征第3節(jié)綜合講練

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征第3節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)綜合講練要覽題型一協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、期望向量二、方差向量三、協(xié)方差及協(xié)方差矩陣1、協(xié)方差的定義2、協(xié)方差的計(jì)算公式3,協(xié)方差的性質(zhì)4、協(xié)方差矩陣四、相關(guān)系數(shù)1、相關(guān)系數(shù)的定義2相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)王、不相關(guān)1 .隨機(jī)變量尤與y不相關(guān)的等價(jià)條件2, “隨機(jī)變量工與F不相關(guān).與“隨機(jī)變量X與y相互獨(dú)立k的關(guān)系K例16】；【補(bǔ)例4.3】；【§生3課堂練習(xí)】；第四章考研真題1,3,7,&11】；【習(xí)題4TEX110；【總習(xí)題四EX14-211.題型二矩、兀維正態(tài)分布一、矩的定義二、M維正態(tài)分布的概率密度三、乂維正態(tài)分布的幾

2、個(gè)重要性質(zhì)【例7】.【習(xí)題4-3EX11,12.第5頁（共40頁）題型一協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)提示熟記隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)及計(jì)算公式（簡(jiǎn)算公式）熟記隨機(jī)變量的協(xié)方差的定義、性質(zhì)及計(jì)算公式（簡(jiǎn)算公式）熟記隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)的定義及性質(zhì)辨析約定i)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)中(X,Y)的聯(lián)合概率分布為PX=xi,Y=yj=pij(i=1,2,|,m,j=1,2,|,n;或i,j=1,2,|1)關(guān)于X的邊緣分布為piX=PX=xi=Zpij(i=1,2,|,m或i=1,2,|)關(guān)于Y的邊緣分布為p=PY=yj=Epij(j=1,2,|,n或j=1,2,|)iii)二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,

3、Y)中-二：二 x .；：，-二：二 y ：二 二 ）(-二；x ：1 )（X,Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)（簡(jiǎn)稱概率密度）為f（x,y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為fX（x）=.二f（x,y）dy關(guān)于Y的的邊緣密度函數(shù)為My）=._二f（x,y）dx、期望向量稱（EX,EY）為二維隨機(jī)向量（X,Y）的期望向量，其中，隨機(jī)變量X、Y的數(shù)學(xué)期望（均值）分別為£xipX當(dāng)X為離散型EX=i言xfx(x)dx當(dāng)X為連續(xù)型"Ho(假設(shè)工xipj<+°0,fxfX(x)dx<+)i=1ZyjpY當(dāng)Y為離散型EY=jJ：£yfY（x）dy當(dāng)Y為連續(xù)型（假設(shè)Yyyj

4、Pj <+ao,j=1y fY(x)dy <+8 )隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）成X）可以作為刻畫隨機(jī)變量X取值的平均值的穩(wěn)定值（密集程度）的一個(gè)數(shù)字特征.典型模式離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望=Z各取值點(diǎn)X各取值點(diǎn)的概率（離散求和）i口吐幽峰機(jī)變量的教學(xué)期望=l4"各取值點(diǎn)X各取值點(diǎn)的概率（海朦加）.-cof（x）dx表示連續(xù)型隨機(jī)變量X在點(diǎn)x處長(zhǎng)度為dx的區(qū)間內(nèi)取值的概率稱（DX,DY）為二維隨機(jī)向量（X,Y）的方差向量，其中，隨機(jī)變量X、Y的方差分別為Zxi-EX2piX當(dāng)X為離散型DX=EXEX2=i二x-EX2fx（x）dx當(dāng)X為連續(xù)型（假設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX存在

5、，且£一xi-EX2piX<+的，i=1J”xEX2f（x）dx<+=o）oOZyj-EY2PjY當(dāng)Y為離散型DY=EY-EY2=j：yEY2fY（y）dy當(dāng)Y為連續(xù)型（假設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EY存在，且/xj-EY2pY<+8,j=1二2r、qyEY2fY（y）dy+吧）隨機(jī)變量工的方差D（X）=EX-E（X）2可以作為刻畫隨機(jī)變量工聯(lián)值的波動(dòng)大?。ɑ蚍稚⒊潭龋┑囊粋€(gè)數(shù)字特征.典型模式離散劈S機(jī)變量的方差=z離差平方的取值點(diǎn)x各取值點(diǎn)的假率（離散榴1）連制隨機(jī)變量的方差=|'離差平方的取值點(diǎn)X各取值點(diǎn)的載率（連續(xù)累加）f（x）dx表示連續(xù)型隨機(jī)變量X在點(diǎn)

6、x處長(zhǎng)度為dx的區(qū)間內(nèi)取值的概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第3節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)綜合講練方差的簡(jiǎn)算公式如果E(X)、E(X2)均存在，則DX =EX 2 (EX )2記為EX 2-E2X其中,z x2piX當(dāng)X為離散型ij十* x2 f x (x) dx當(dāng)X為連續(xù)型 一二二X 、' 如果E(Y)、E(Y2)均存在，則DY =EY2 -( EY)2記為EY 2 - E 2Y第9頁(共40頁)其中,EY2£y2p當(dāng)Y為離散型i|ky2fY(y)dy當(dāng)y為連續(xù)型Y三、協(xié)方差及協(xié)方差矩陣1、協(xié)方差的定義設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)向量，E(X)、E(Y)均存在，如果EX-E(

7、X)Y-E(Y)存在，則稱其為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差(Covariance),記為cov(X,Y)即cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)(3.1)協(xié)方差劃(片,丫)=£【x-e(x)Y-e(y)是描述兩個(gè)隨機(jī)變量X與F之間關(guān)系的一個(gè)數(shù)字特征2、協(xié)方差的計(jì)算公式cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)ZZ(xi-EX)(yj-EY)pij當(dāng)(X,Y)為離散型ij(3.2)、(3.3)匿、(x-EX)(y-EY)f(x,y)dxdy當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型簡(jiǎn)算公式cov(X,Y)=E(XEX)(YEY)=E(XY)(EX)(EY)(3.4)其中ZZxiyjpij當(dāng)(X,Y)為離散

8、型E(XY)=ij!廣盤Jxyf(x,y)dxdy當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型3、協(xié)方差的性質(zhì)(1) cov(X,X)=DX(2) cov(X,Y)=cov(Y,X)(3) cov(aX,bY)=abcov(X,Y)(a、b為任意常數(shù))(4) cov(c,Y)=cov(Y,c)=0(c為任意常數(shù))(5) cov(X1X2,Y)=cov(X1,Y)cov(X2,Y)cov(X,Y1Y2)=cov(X,Y1)cov(X,Y2)(6) 如果隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則cov(X,Y)=0(7) 隨機(jī)變量的方差與協(xié)方差的關(guān)系設(shè)X與Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，如果其方差均存在，則X+Y的方差也存在，且D(X±

9、Y)=DX十DY±2cov(X,Y)(3.5)即D(X-Y)=D(X)D(Y)2E(XY)-(EX)(EY)(8)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，即(X,Y)口N(邑1,邑2尸2,02")cov(X,Y)=：，二1二2(9)設(shè)X與Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，如果其方差均存在，則(3.6)cov(X,Y)|<E(XEX)(YEY)wjDXJDY4、協(xié)方差矩陣設(shè)隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差cov(X,Y)存在，則稱cov(X,X)cov(X,Y)記為一C11C12cov(Y,X)cov(Y,Y).C21C22為二維隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣推廣n維隨機(jī)向量(X1,X2,|,Xn)的

10、協(xié)方差矩陣(見教材P106)cov ( X 1 , X 1 )cov ( X 2 , X 1 )川cov ( X n , X 1 )cov ( X 1 , X 2 ) III cov ( X 2 , X 2 ) III 111 IH cov ( X n , X 2 ) IIIcov ( X 1 , X n ) 1cov ( X 2 , X n ) IIIcov ( X n , X n )-C11c12HIc1nIt?Ic21c22山c2nIllHIIIIIII'1c22tilcnn_四、相關(guān)系數(shù)1、相關(guān)系數(shù)的定義設(shè)(X ,Y)為二維隨機(jī)向量DX0、DY0均存在，則稱(3.7)cov(X

11、,Y)、0XDY為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)(Coefficient0fCorrelation)。注思 隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差cov(X,Y)是反映兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y之間相互關(guān)系的一個(gè)數(shù)字特征，然而協(xié)方差的值還受到兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y自身取值水平的影響，比如X與Y同時(shí)增大k倍，記X1=kX,Y1=kY盡管X1、Y1之間的相互關(guān)系與X、Y之間的相互關(guān)系從直觀上看并無差別，但是2cov（X1,Y1）=k2cov（X,Y）即協(xié)方差卻增大了k2倍，為了避免隨機(jī)變量自身取值水平對(duì)度量相互關(guān)系的影響，可先將隨機(jī)變量X與Y“標(biāo)準(zhǔn)化”； 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量分別為vX-EXvY-EYXY:DX；DY則

12、（X=Y”）的協(xié)方差為cov( X ,Y )=cov( X ,Y)二（kXkY"）的協(xié)方差為cov( kXcov(kX,kY)cov(X,Y),kY)=二XYDkX,DkYDX、.DY,協(xié)方差劃（x,y）=£是描述兩個(gè)隨機(jī)變量X與F之間關(guān)系的一個(gè)數(shù)字特征會(huì)受到兩個(gè)隨機(jī)變量自身取值水平的影響n“標(biāo)準(zhǔn)化”（“無量綱化”）相關(guān)系數(shù)PK是描述兩個(gè)隨機(jī)變量刀與y之間關(guān)蓋的一個(gè)數(shù)字特征不受兩個(gè)隨機(jī)變量自身取值水平的影響概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征第3節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)綜合講練2、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)0EPx,y<1u-1WPx,yW1(2)若Y=aX+b,則1當(dāng)a

13、>0-1當(dāng)a<0(3)Px,Y=1=PX,Y=±1u隨機(jī)變量X與Y具有線性關(guān)系u存在任意常數(shù)a。及b,使PY=aX十b=1注思相關(guān)系數(shù)PXY的大小反映了隨機(jī)變量X與Y之間線性關(guān)系的密切程度：PX,Y=0時(shí)，X與Y之間無線性關(guān)系；|PX,Y的值越近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱；|PX,Y=1時(shí)，X與Y之間具有線性關(guān)系（Y與X的變化可完全由X的線性函數(shù)給出）；PXY的值越接近1,Y與X的線性相關(guān)程度越高.隨機(jī)變量，與y之間的關(guān)系星與F相依（不獨(dú)立）x與y非線性相依用相關(guān)系數(shù)戶片廳來刻劃種類繁多，目前尚無實(shí)用指標(biāo)來區(qū)分第11頁（共40頁）兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系圖概率論與數(shù)理統(tǒng)

14、計(jì)第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第3節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)綜合講練第23頁(共40頁)PX,Y 10 *等 工與F非線性相關(guān)工與F完全正相關(guān)*與p正相關(guān)PX,Y = * * * 羊，爭(zhēng)4 穹電* x才與y不相關(guān)才與y完全負(fù)相關(guān)相關(guān)圖（4）如果隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則PX,Y=0,隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立二（反之不然）（5）若（X ,Y ）服從二維正態(tài)分布，即（X,Y）|_ N （匕，匕；仃；，。2； P）,則（6）若（X ,Y ）服從二維正態(tài)分布，即（X,Y）|_ Nd%;。；，4; P）,則隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立u例外情形（7）設(shè)e = EY-（aX+b）2,稱為用aX+b來近似Y的均方誤差，則有下列

15、結(jié) 論：設(shè) D(X )>0, D(Y)>0,則cov( X , Y)a。= nr、，b0 =E(Y)-aoE(X ) D ( X )(3.8)使均方誤差達(dá)到最小.我們可用均方誤差e來衡量以aX +b近似表示Y的好壞程度,e值越小表示y,xtY仃等.弗:等*aX+b與Y的近似程度越好.且知最佳的線性近似為a0X+b而其余均方誤差e=D(Y)(1p/,y).從這個(gè)側(cè)面也能說明.PX,Y越接近1，e越小.反之,PXY越近于0，e就越大.丫與X的線性相關(guān)性越小.五、不相關(guān)如果隨機(jī)變量X與Y之間不存在線性關(guān)系，則稱X與Y不相關(guān)|.1、隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)的等價(jià)條件:?X ,Y =0covX

16、Y, 二) 0E( XY)= ( E X) ( E Y)D( X Y ) = D X DY(1)隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)之(2)隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)之(3)隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)之(4)隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)之2、“隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)”與“隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立”的關(guān)系隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立口隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)(反之不然)注思隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)；隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)，不一定有隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立U隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)例外情形【例U03 0.05 0.120,15 00.1例1已知離散型隨機(jī)向量(X9F)的概率分布

17、如右表，求cov(X,7).解容易求得X的概率分布為PX=0=0.3,PX=l=0_45,PX=2=Q.25;y的概率分布為尸y=_1=0.55,PF=0=0.25,尸V=2=0.2,于是有E(X)=0x03+1x0.45+2x025二g95,E(Y)=(-l)x0.55+0x0.25+2x0.2=0.15.計(jì)算得E(XY)=0x(-l)x0J+0x0x02+0x2x0+1x(-1)x03+1x0x0.5+1x2x0,1+2x(-1)xQ,15+2x0x0+2x2x0J=0.于是cov(X,F)=E(X¥)-£(X)£(y)=0.95x0.15=0.1425.【提

18、示】利用有關(guān)定義、性質(zhì)ZxipiX當(dāng)X為離散型EX=ixfx(x)dx當(dāng)X為連續(xù)型記為DX=EX2-(EX)2=EX2-E2X(方差的簡(jiǎn)算公式)協(xié)方差的計(jì)算公式cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)ZZ(xi-EX)(yj-EY)pij當(dāng)(X,Y)為離散型=ijI學(xué)f/(xEX)(yEY)f(x,y)dxdy當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型簡(jiǎn)算公式cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-(EX)(EY)其中當(dāng)（X ,Y）為離散型E(XY)=+30O0:泰xyf（x,y）dxdy當(dāng)（X,Y）為連續(xù)型【例2】例2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量（X*F）的密度函數(shù)為/（尤，J）=8aj, n <

19、 x < y < 1I 0, 求 cov(x, V)和 q( x + y).其它解由（X,F）的密度函數(shù)可求得其邊緣密度函數(shù)分別為:4x(1 X2), 0 < x < 10,其它f(y)=其它于是y4y3dy = 4/5,E(X)=xfx(x)dx=x4x(1-x2)dx=8/15.E(XY)=j二匚xyf(x,y)dxdy=J：必：從而cov(X,Y)=EXY)-EX)EY)=4/225,rr+0cr1* 4x(l-x2)dx = 1/3,E(X)=L2/X()=jflvE(y"=L J*(y)"y=J：y2.4yyjy = 2/3,所以D(X)=

20、E(X2)-E(X)2=11/225,D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=2/75,D(X+Y)=2)(X)+D(F)+2cov(X,F)-1/9.【提示】利用有關(guān)定義、性質(zhì)£xipJ當(dāng)X為離散型EX=i墨xfX(x)dx當(dāng)X為連續(xù)型記為DX=EX2-(EX)2=EX2-E2X(方差的簡(jiǎn)算公式)協(xié)方差的計(jì)算公式cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)ZZ(xi-EX)(yj-EY)pij當(dāng)(X,Y)為離散型=ij仁J(x-EX)(y-EY)f(x,y)dxdy當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型簡(jiǎn)算公式cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-(EX)(EY)其中ZZxiyjpij

21、當(dāng)(X,Y)為離散型E(XY)=ij二：黑xyf(x,y)dxdy當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型D(XY)=DXDY2cov(X,Y)【例3】例3設(shè)(X,F)的分布律為X2一112Py=yi101/41/401/241/4001/41/2PX=31/41/41/41/41易知E(X)=O,E(Y)=5/2,E(XF)=O,于是=x,y不相關(guān).這表示x、y不存在線性關(guān)賽,但PX=-2,=0/=f13知x,y不是相互獨(dú)立的.事實(shí)上，x和y具有關(guān)系：f=v的值完全可由x的值所確定.【辨析】利用有關(guān)定義、性質(zhì)X1111.EXCxipiXK-2)-(-1)-120i14444Y115EY='yjp14一二

22、一jjj222_1E(XY)xxiy,pi=(-2)10(-2)4ijjj4,111c(1)1-(-1)4011-14021024=0444cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-(EX)(EY)=00x52：X ,Ycov(X,Y)二0DXDYDX、DY注思Px,Y=0u隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)（表示X,Y不存在線性關(guān)系）但PX-2,Y=1二0=PX-2PY=1知X,Y不是相互獨(dú)立的.事實(shí)上，X和Y具有關(guān)系:Y=X2Y的值完全可由X的值所確定.【例4】例4設(shè)9服從-兀，兀上的均勻分布,且X=sin。號(hào)Y=cos6判斷x與y是否不相關(guān),是否獨(dú)立.1 ”Cn解由于E(X)=Isin

23、£dO=O,2 71江£(F)=-fcos6de=0,2k-九而E(XY)=CNndcosed*0.2兀J-n因此E(XY)=E(X)E(F),從而X與F不相關(guān).但由于X與Y滿足關(guān)系：x人0-0 =0 二EXY = E ( sin)( cos )于是E XY =( EX )( EY )=+y2=所以x與y不獨(dú)立.【辨析】利用有關(guān)定義、性質(zhì)由題設(shè)知，u-Ua,b(a=n,b=n),即日的密度函數(shù)為-a<e<bI-n<e<JT%(e)=Jb-a=«2n、0其它0其它利用定義，分別求出一一收一一一一.ii1一一EX=E(sin)=_.(sin)f

24、，()d=(sin)d-0(奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于零)二1.EY=E(cos1)=(cosu)f.-.(【)d-(cosu)du?-oOD*-JIOttsin 輿 一 sin ( 一更)：cos日d=工(sin8)J_ (sin)( cosu) f Odu(奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于零)cov( X ,Y ) = E ( XY ) -( EX )( EY ) = 0/2n-n、cov(X,Y)0n：XY=0,DX,DY.DXxDY二隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)另一方面，由于X與Y滿足關(guān)系X2Y2=sin2icos21-1所以，隨機(jī)變量X與Y不獨(dú)立本例中隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)，且隨機(jī)變量X與Y不獨(dú)

25、立即隨機(jī)變量X與Y不相關(guān),隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立【例5】（第2版課件補(bǔ)充）例5已知X7V(1,3,(九4)且X與V的相關(guān)1vy系數(shù)Pxy=5*設(shè)2二三一3弓求D(Z)及0Az占J1£解因D(X)=3工，Z)(y)=4且cov(X5Y)=D(X)DYPxn=3x4x(；)=6,所以»(Z)=D(y-1p(X)+1D(y)-2cov|pyj=1/>W+1o(K)-2x|x|Cov(X,K)=7,lijfii又因=Icov(X,X)-；cov(X,Y)=；O(X)_；cov(X,F)=6,iMl1cov(X,Z)627Pxz=IJ=產(chǎn)z一4d(X)DZ3-J77【辨析】利用有關(guān)

26、定義、性質(zhì)cov(X,Y)XY二X,YDX*DYD(X_Y)=DXDY_2cov(X,Y)D(aX)=a2DX(常數(shù)因子從方差記號(hào)中提出后變?yōu)槠椒?cov(aX,bY)=abcov(X,Y)(a、b為任意常數(shù))cov(X1X2,Y)=cov(X1,Y)cov(X2,Y)cov(X,Y1Y2)=cov(X,Y1)cov(X,Y2)所以XYXYXYD(Z)=d”d()D("2cov(§，2)121211=(-)2D(X)(-)2D(Y)-2-cov(X,Y)3232111D(X)-D(Y)-cov(X,Y)94312121r=3242-(-6)=7943【例6】(教材P105例

27、5)例6設(shè)二維甌機(jī)變量(X,F)”(小，,/,內(nèi),。)，求相關(guān)pXY*解根據(jù)二維正態(tài)分布的邊緣概率密度知E(X)二小，磯F)=2,D(X)=。；，D(F)二內(nèi),r+30r+比而cox(X.¥)j_j_(x-l)(y-2)f(x,y)dxdy4-00r4-gcxexpy-2* Mi)2b：dxdy.cov（X,F）=一02加2兀J-8j一工+P仃（T2H2）e（tl：+fl）2dttlu=絲10（，口與加）（7代市）2九JoqJor;/=.5,72n，VZtt,2k即有cov（x,y）=p5%,于是_cov（X,F）_P'L叵面注：從本例的結(jié)果可見，二維正態(tài)隨機(jī)變量（X,F）的

28、分布完全由x和y各自的數(shù)學(xué)期望，方差以及它們的相關(guān)系數(shù)所確定.此外，易見有結(jié)論：若my）服從二維正態(tài)分布，則x與y相互獨(dú)立,當(dāng)且僅當(dāng)x與y不相關(guān).【提示】利用有關(guān)定義、性質(zhì)cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)ZZ(xi-EX)(yj-EY)pij當(dāng)(X,Y)為離散型ij匕圖(x-EX)(y-EY)f(x,y)dxdy當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型_cov(X,Y)X,Y./dXxDY【補(bǔ)例4.3.1（填空題）設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且U=sin2X,V=cos2X,則U與V的相關(guān)系數(shù)PUV為【分析與答案】注意到UV=sin2Xcos2X=1利用有關(guān)性質(zhì)，得D(UV)=DUDV2cov(U,V)=

29、D(1)=DUDV2cov(U,V)=0二DUDV2cov(U,V)1 cov( U ,V ) = - 一( DU2故由相關(guān)系數(shù)的定義得,DV )U與V的相關(guān)系數(shù)為1(DU DV )p _ cov( U ,V )2： _U ,V - DUT d DV 、而"DV-；D(sin 2X) D ( cos2 X ) D(sin 2X) % D(cos2X )；D(sin 2X) D(1 sin2X).D(sin 2X)、D(1 -sin 2X )一 ；D(sin 2X ) D(sin 2X ) D ( sin 2 X )、D (sin 2 X )12-2D(sin2X)-122D(sin2

30、X)【§4.3課堂練習(xí)】對(duì)不同品牌的某種機(jī)械的兩項(xiàng)重要指標(biāo)評(píng)分，設(shè)X1,X2為其所得分?jǐn)?shù)(百分制)，已知E(X1)=68,9,E(X2)=72.8;D(Xt)=81,D(X2)=49;cov(X”)=36.97現(xiàn)以服從正您分布的綜合分y=x,+來決定各161162參評(píng)品牌的名次.(1)試求y的分布；(2)如果對(duì)綜合分F之85的品牌頒獎(jiǎng)，試計(jì)算獲獎(jiǎng)?wù)叩陌俜直?97解由于£(r)=X68.9+-X72.7=70.6,1616Z)(F)=(-Vx81+2xxx36+(fx49=52-7,116/1616116/所以FN(70.6,52.7).(2)PF>85=1-PF<

31、;85=”心70.6=1-3(1.29)、0.1,即對(duì)綜合分在85及其以上的品牌頒獎(jiǎng).獲獎(jiǎng)品牌約占10%.【習(xí)題4-3EX1】L設(shè)X服從參數(shù)為2的泊松分布，V=3X-2,試求E(y),D(r),8V(X,F)及Pxy.解E(Y)=E(3X-2)=3E(X)-2=3x2-2=4,D(F)=D(3X-2)=9/)(X)=9x2=18,cov(X,K)=cov(X,3X-2)=3D(X)=6,eov(X,y)62Jd(x)Jd麗JI.而.【習(xí)題4-3EX2】2,設(shè)甌機(jī)變量X的方差(X)=16,的機(jī)變量Y的方差£>(F)=25,又X與F的相關(guān)系數(shù)0w=0.S,求Q(X+F)與D(X-V

32、).解D(X+F)=D(X)+D(F)+2cov(X,K)=D(X)+Z)(V)+2萬的而5&y=16+25+2x4x5x0,5=61,DX-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,F)=16+25-2x4x5x0,5=21.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征第3節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)綜合講練【習(xí)題4-3EX3】3.設(shè)（X,F）服從單位圓域2<1上的均勻分布,證明X,F不相關(guān).- ydy = J 1 x(l - x2)rfv = 0,頤XF)="|xydxdy”+尸4L兀JJ5/1-XE(X)= JJ xiixdy一十戶1第27頁（共40頁）同理，E(F)=0,故

33、cov(X,¥)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即X,F不相關(guān).【習(xí)題4-3EX44,設(shè)100件產(chǎn)品中的一，二，三等品率分別為0.8,0.1料0.L現(xiàn)從中隨機(jī)地第1件，弁記求 Px、x;取得i等品 其它("123),解首先求（XUX2）的聯(lián)合分布律PA=0,X2=0=PX3=1=0.1,PX=0,X2=l=PX2=1=OJ,PX1=1,X*=0=PX=l=0.8,PX=1,X2=1=P(0)=0.關(guān)于X和x2的邊緣分布律為禹川二0.8,PX=0=0ZPX2=1=OJ?PX2=0=0.9,于是從而風(fēng)入)=0.8,D(X1)=0.16;£(X2)=0J,DX2)=

34、0,09.二cov(Xi，Xz)*品-Jd(xjJd(X2)_E(黑3)-4禹)石。2)一出不小一)1*0+Ox0.8+()x(M+0x。.1-0.080.4x0*3_2""r【習(xí)題4-3EX5】5 .設(shè)XN",仃)，F(xiàn)且X,F相互獨(dú)立，試求Zx-aX+/3Y和Z2-otX-/3Y的相關(guān)系數(shù)(其中戊，/7是不為零的常數(shù)).解cov(Z,?Z2)=covaX+/7F,aX-fiY)=tz2cov(X,X)-%ov(F,F)=£z2Z)(X)-/72Z)(y)=(cr2-/72)(72,D(Z)=DaX+“)=a叨(X)+p2DY+laflcov(X,7),

35、D(Z2)=D(aX-/3Y)=a2D(X)+/32D(Y)-2a/3cov(X.F).因?yàn)閤q相互獨(dú)立，所以cov(x,y)二。，故。0)=®2+WD(Z2)=(/+")。2,cov(ZVa2-/31相關(guān)系數(shù)為P二,'2幺=J.Jd(4Wa"【習(xí)題4-3EX6】6 .設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度一、:（x+川，0<x<2,0<j<2I0,其它求e（x）,E（y）,cov（X,F）,"狂弓z>（x+y）.十乜，解 E(X)=J -0G +ccI y)dydx-X217*人=N7由對(duì)稱性知，E（Y）=6'E

36、(XY)p +8 廣 +-xif 2,=孫f(KP)心心二J 20 J OGJ Q J歲1（x+y）心力= ：(如 2,)力于是8V（x,y）二頤叼-項(xiàng)X）項(xiàng)y）=：* =一看E(X2)f22x2J Q J 011- g(x+y)力心二 iz5(x3 + x2)dxa3(Ioo由對(duì)稱性知，E(FZ)=p2故D(X)=E(X2)-E(X)2=會(huì)，。二會(huì),3<673636cov(X,F)361p,-二YFD(X)D(Y)1111，D(X+F)=D(X)+D(Y+2cov(X,F)1111->153636369*【習(xí)題4-3EX7】7.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的分布律為1/81/81/807

37、/801/81/81/81/8驗(yàn)證x和f是不相關(guān)的,且x和y不相互獨(dú)文.證先求X,¥的邊緣分布律X 1 0 IPk 3/8 2/8 3/8Pk 3/8 2/8 3/8概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征第3節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)綜合講練因?yàn)?0二0一20,所以 X與F不是獨(dú)立的，又£(X) = -lx + lx=0, E(F) = -1乂883+lx3一 T 1 X 88£(XF) = (-l)x(l)x| + (-l)x1x1 oo+ lx(fx*xlx/=0,于是 cov (X, Y)= E(XY)-E(X)E(Y)= 0, 即?”=0因此，X與F是不相關(guān)

38、的.JU. 1【習(xí)題4-3 EX8】8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X, F)的概率密度為/(X，y)=l/rr, x2 + y1 <t0, 其它 '試驗(yàn)證x和v是不相關(guān)的*且x和y不相互獨(dú)立*證首先求人(幻和人。，).r +R二L/(x, y)dy =/GM公=L高:曲4g，T""lr +ao/陽)=J 0,其它E(X)二r +0°ri 7 (-公= J_J,小第29頁（共40頁）同理可得E(y)= o, +8 r » E(XY) = f fJ)da的=Jxydxdy=0.*+T電1因此cov(X,r)=E(XY)-EXE(Y)=0,即0/=d,故x

39、與y是不相關(guān)的.又因?yàn)閒(x.y)fx(x)fY(y故x與y不是相互獨(dú)立的.【習(xí)題4-3EX9】9.設(shè)(X,F)服從二維正態(tài)分布，且XN(0,3),yN(0,4),相關(guān)系數(shù)PXy=-1/4,試寫出X與y的聯(lián)合概率密度.解依題意知，二維正態(tài)分布5個(gè)參數(shù)分別為4=0,=bj=3,（r=4,yf=_；,故其X,Y的聯(lián)合概率密度為【習(xí)題4-3EX10】10.設(shè)（M,F）服從二維正態(tài)分布，且有D（X）=<t3%D（y）=b：.證明：當(dāng)/二時(shí)隨機(jī)變量X-aY道=X+"相互獨(dú)立.解根據(jù)多維正態(tài)分布的性質(zhì)可知,由于（X,F）服從二維正意分布，故印與V的聯(lián)合分布也是二維正態(tài)分布,又知，二維正態(tài)分

40、布二分量間相互獨(dú)立與不相關(guān)是等價(jià)的.因此.欲證明郎與V相互獨(dú)立，也就是要證cov（卬；r）=o,為此求COV（憶）.cov（W.V）=cov（X-"KX+qy）二D（X）=上bV令cov（叱P）=0,即看=0,則得2=故證工衣得當(dāng)業(yè)2=0時(shí)，隨機(jī)變量/與JZ相互獨(dú)文，其中內(nèi)%=X-“，V=X+iK【總習(xí)題四EX1414.已知XN(l,3)FN(O,42)，pxy=-,Z=+-232求Z的期望與方差及X與Z的相關(guān)系數(shù).解由已知，E(X)=1,D(X)=32,E(y)=0,D(Y)=4匕所以E(Z)=E(4+9=9(X)+£(y)=；,D(Z) = D(專+ 引=表D(X) +

41、力(F) + 2x；x|cov(X,F)=1+4+9仆/再方TB")kJ*3x4 = 3,=5 + lx/VkCOVCOV(A,Z)/d（x）Jd（f），Jd（xNd（y）-n(x)+ -cov(x,y)夕燈飛麗 一 - -1 + - “(X)”(Z)343a/3 473*3dz)(Z)21 D(Z)【總習(xí)題四EX1315,設(shè)X, Y的概率密度為/(x, y)=J 1, I J|<A-, O<X<1lo,其它（1）求關(guān)于 X, Y的邊緣概率密度; 解失百出f（x.y）不為0的區(qū)域G （1）當(dāng) 0<x<1 明A（）= ldy2x,J -X2招 0 <

42、 x< 1I 0, 其它概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第3節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)綜合講練當(dāng)0"W,40)=一當(dāng)-18£0時(shí)，-1< j<0其它當(dāng)-l<y<1其它4(r)=J1dx=l+y,”,故fr(y)=1一，I0,求E(X),E(F)及O(X),D(F);解先畫出/(*,切不為。的區(qū)域G(2)E(X)=J*2M=/,E(X2)=fx2*2xdx=fJo2故。=;一周、上E(F)=)(1-|")力=0,包尸)=J：/(1-3)療=2)工(1-丁)%=/.(3)求cov(X,Y).cov(X, y)=o.解先畫出/(x,>

43、0不為0的區(qū)域G(3) E(X¥) =xydy = Q.【總習(xí)題四EX1G16餌隨機(jī)變量X17(0,1).¥-U(l,3),X與F相互獨(dú)立,求石(XF)與f1,0<x<11/2,1<v<3解因?yàn)?，fY(y)=二1/2,0<X<1J<1<3所以f(x,y)=?,|0,其它則E(XF)=£公=；2=1,故D(XV)=E(X2¥2)-lE(XY)2=-i=.【總習(xí)題四EX1力17.iftE(X)=2,E(F)=4,D(X)=4,D(V)=9,pxr=0.5,求：(1)U=3X2-2XY+Y2-3的數(shù)學(xué)期望；(2)

44、V=3XF+5的方差.廨(1)E(U)=E(3X2-2XYY2-3)=3£(Xz)-2E(XF)+E(r)-3=3+(E(X)2|-2E(X)E(Y)+qW+1D+伊了I3=36;(2)D(F)=D(3X-F+5)=9Z)(X)+D(F)-6cov(X,F)=45-6pxyJD(X)Jd(Y)=27.【總習(xí)題四EX他18.設(shè)W=(flX+3F)£(X)=E(F)=0,D(¥)=4,D(=16,。、干=-0£.求常數(shù)。，使石(/)為聶小，并求E("的班小J>>1值.解E(lV)=E(aX+3Y)2=E(a2X249產(chǎn)+6oXF)=a2

45、£(X2)+9E(F2)+6aE(XY)=a2P(X)+£(%)2+9Z>(F)+£(y)l2+6fl|pDXD¥)+E(X)E(F)|=4«2+144-24a=4(«-3)2+27I,易見，當(dāng)"=3時(shí)弓E(%)達(dá)到最小，且E(%)n-“=4x27=108，注：求E(小)最小時(shí)的/也可利用求導(dǎo)法.竽=8("3),da令察=0,得以=3是唯一駐點(diǎn).又因之與=8>0,故。=3dada2為極小點(diǎn)，也是最小點(diǎn)，所以，當(dāng)。=3時(shí)最小，且及小磯小)值為108.【總習(xí)題四EX1919.某班有學(xué)生，f名，開新隼聯(lián)歡會(huì)，

46、每人帶一位禮物互贈(zèng),禮物集中放在一起，并將禮物編了號(hào)y當(dāng)交換禮物時(shí).每人越機(jī)地拿到一個(gè)號(hào)碼，并以此去領(lǐng)用禮物，試求恰好拿到自己準(zhǔn)備的禮物的人數(shù)X的期里和方差.解設(shè)隨機(jī)變量»“，若第I個(gè)人拿到自己準(zhǔn)備的禮物.(/=1,2,>n10,若第i個(gè)人未拿到自己準(zhǔn)備的禮物n顯然有x=Ex,易知二iPXF=l=：,PXf=O=l4i=1,2,E(X)=1,由于X1X工,xn不相互獨(dú)立,因此DPO=E5XJ+2ZZcov(x;,Xj),二11£/</<#»而D()=E(X-E(Xf)2=PX：=I(jcov(X-,Xj)=E(XjXj)E(Xf)EXXiX-串值

47、為0,1,定義：P'x尸i=PXf=i,二i=PXf=1P巧=1因=1_11風(fēng)¥占)=1 PXjXj=H于是因而所以"rt-1'cov(X,，Xj)二J_1一1/(/-I)n1/(口一1)n,y_1II'iZ1_W_1,1_Z)(A)=，-1+2c.*=1nV«Jn2(n-A)nn【總習(xí)題四EX2a20t設(shè)力和笈是隨機(jī)試驗(yàn)e上的兩事件,且P（A）n,p（b）o,定義隨機(jī)變量x,y為x=,若4發(fā)生，y=1,若J?發(fā)生0,若/不發(fā)生10.若B不發(fā)生證明：若夕”=0,則X和F必定相互獨(dú)立.II«證x,y的分布律分別為XI0PiP(/)P

48、(A)Y10PiP(B)P(B)第39頁(共40頁)XY10PrP(AB)l-P(AB)于是E(X)=產(chǎn)(4)，E(Y)=P(B),E(XY)=P(AB),cov(X,K) EXY) E(X)E(Y)e（xf）=E（x）E（y）,即P(AB)=尸(4)P(B),故力與相互獨(dú)立號(hào)由事件獨(dú)立的性質(zhì)可知4與彳，彳與8,彳與否也相互獨(dú)立，于是PX=19Y=1=P(AB)=P(A)P(B)=PX=1PY=1,PX=1,F=0)=P(AB)=P(A)P(B)=PX=1PY=0,PX=0,V=1=P(AB)=P(A)P(B)=PX=0PF=1,PX=0,K=0=P(AB)=P(萬P(»)=PX=H

49、PY=0,故X與F相互獨(dú)立.【總習(xí)題四EX2U21.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,F)N(049;，扇，上其中仃"cr：又設(shè)X=Xcosa+Fsina，Xz=-Xsin+Fcosa,問何時(shí)Xi與占不相關(guān)，X1與占獨(dú)立？解因?yàn)槭?X,)的線性變換，所以X。仍然是二維正態(tài)甌機(jī)變量，若X與X2不相關(guān),X與X工必然獨(dú)立.£(X)=E(Xz)=0,cov(X|,X2)=£(Xcosa+Ysina)(-Xsina+Fcosa)-0=E-X2sin«costif+F2sincrcos£Z+XF(cos2cr-sin2cz)|-(cr；-b；)sinacosex+pa、

50、a2(cos2fz-sin2cr).者X1與修不相關(guān)，則cov(XX/=。，從而有.Isinizcostz2/766S112a一一二2，costr-sintr片一仃：此時(shí)X與X?不相關(guān)，且X與x2獨(dú)立.【第四章考研真題111.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,F)服從二維正態(tài)分布，則故機(jī)變量&=x+y與=x-f不相關(guān)的充分出要條件為()-(A)£(X)-E(F);(B) E(X2)-£(X)2=E(Y2)-E(Y)2;(C) E(X2)=E(Y2);(D) E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)應(yīng)選B.ou數(shù)一解與不相關(guān)，cov(,)=0,即El-E(£)rj-E

51、(EX+Y-E(XY)lX-Y-E(X-Y)=E(X-E(X)+(r-E(F)|(X-E(X)-(Y-E(Y)=E(X-E(X)2-(Y-E(X)2E(X-E(X)2-E(Y-E(K)2="X)-£>()=0一D(X)=D(F)E(X2)-E(X)二E(r)-E(y)【第四章考研真題3】3,將一枚硬市重復(fù)擲次，以X和F分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和F的相關(guān)系數(shù)等于().(A)-1;(B)0;(C)1/2;(D)1.應(yīng)選A.。1數(shù)-解法一設(shè)擲一枚玻幣正面朝上的概率為(0<p<1),貝!J反面朝上的概率為g=1-p,若硬幣是均勻的,則p=g=l/2,

52、依題意XB(%p),y(株,q)*于是E(X)-叩,D(X)=npq,E(Y)-nqD(K)=npq.注意到X+F=%從而E(XT)=EXQ?-X)=E(nX)-EX2)=nE(X)-D(X)+E(X)1=n1p-npq+n1p1=n1pnpq-，產(chǎn)cov(XtF)=E(XY)-E(X)E(Y)=n2p-npq-n2p2-n2pq=/i2p(1-p)-n(n+1)pq-n2pq-n(n+1)pq-npq故x和y的相關(guān)系數(shù)為cuv（X,Y）-npq-p,=1，Jd（X）Jd（Y）Jnpqjnpq解法二因X+F=，F(xiàn)=-X+，即X與F存在線性關(guān)系,且一*次項(xiàng)的系數(shù)-1<0,故p=-1*【第四章考研真題717.設(shè)隨機(jī)變量X,X±,獨(dú)立同分布，且其方差為/o,令F=：fx，則()n/'=1(A)cov(X,y)=彳;(B)cov(X|I)=<7工；(C)D(&+了)二野/;(D)D(XF)=*n解因Xi，X4rX修相互獨(dú)立，故cov(X”XJ=0,i=2,3,，如爾(占,F)=皿1,1Z*卜皿生XJ+£生,：X；=；cov(XrXi)+；Xcov(X,X)=；O(X)=.【第四章考研真題8