2013年高中數(shù)學教學論文在解析幾何中求參數(shù)范圍的9種方法Word版

1、從高考解幾題談求參數(shù)取值范圍的九個背景解析幾何中確定參數(shù)的取值范圍是一類轉為常見的探索性問題，歷年高考試題中也常出現(xiàn)此類問題。由于不少考生在處理這類問題時無從下手，不知道確定參數(shù)范圍的函數(shù)關系或不等關系從何而來，本文通過一些實例介紹這類問題形成的幾個背景及相應的解法，期望對考生的備考有所幫助。背景之一：題目所給的條件利用題設條件能溝通所求參數(shù)與曲線上點的坐標或曲線的特征參數(shù)之間的了解，建立不等式或不等式組求解。這是求范圍問題最顯然的一個背景。例1：橢圓的焦點為F1、F2，點P(x, y)為其上的動點，當F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍是_。解：設P(x1, y)，F(xiàn)1PF2是鈍角co

2、sF1PF2 =。說明：利用F1PF2為鈍角，得到一個不等式是解題的關鍵。把本題特殊化就可以得到2000年全國高考題理科第14題：橢圓的焦點為F1、F2，點P為其上的動點，當F1PF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是_。（答案為 x，）例2：（2000年全國高考題理科第22題）如圖，已知梯形ABCD中，=2，點E分有向線段AC所成的比為，雙曲線過點C、D、E三點，且以A、B為焦點。當時，求雙曲線離心率e的取值范圍。解：如圖，以線段AB的垂直平分線為 y 軸。因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且與A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關y軸對稱，依題意，記A，C(，h)，E(x0，y0), 其中c =為雙

3、曲線的半焦距，h是梯形的高。由定比分點坐標公式得：x0=，y0=。設雙曲線方程為=1，則離心率e =。由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和e =代入雙曲線方程得 由式得將式代入式，整理得：說明：建立與e的函數(shù)關系式，再利用已知的范圍，即可求得e的范圍。背景之二：曲線自身的范圍圓、橢圓、雙曲線及拋物線都有自身的范圍，如橢圓>b>0)中，x，利用這些范圍是確定參數(shù)范圍的途徑之一。例3：（2002年全國高考題）設點P到點M(1，0)、N(1，0)距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍。解：設點P的坐標為(x，y)，由題設得，即y = 由于x，所以點P(x，y)、M(

4、1，0)、N(1，0)三點不共線，得因此，點P在以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線上，故=1將式代入，解得由且，得，又m(0, 說明：P到x軸、y軸距離之比為2，所以P不能在x軸上，由此得到m，這一隱含條件容易忽視。例4：（2004年全國卷理科21題 文科22題）設橢圓的兩個焦點是F1(c, 0)與F2(c, 0) (c > 0)，且橢圓上存在一點P，使得直線PF1與PF2垂直。(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)設l相應于焦點F2的準線，直線PF2與l相交于Q，若，求直線PF2的方程。解：(1)依題設有m1>1,即m > 0，c =,設點P的坐標為(x0, y0)，由PFPF2

5、 ，得 將與聯(lián)立，解得x由此得 故m, +)(2)答案為y =() (x-) ( 解答略)背景之三：二次方程有解的條件直線和圓錐曲線的關系，是解析幾何中最常見的關系，它們聯(lián)立消元后所得的判別式非負是直線和圓錐曲線有公共點的充要條件；若有限制條件，則還應考慮根的分布情況等，這是確定參數(shù)取值范圍的一個常見背景。例5：（全國高考題）給定雙曲線x= 1，過點B(1，1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于P1及P2，且點B是線段P1P2的中點？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由。解：畫出圖像知，當直線斜率不存在時，滿足題設條件的l不存在。當直線l斜率存在時，設為k，則l方程為y =

6、 k(x1)1，聯(lián)立，得。設。故滿足已知條件的直線l不存在。例6：（2004年湖北省高考題理科20題 文科20題）直線與雙曲線的右支交于不同的兩點A、B。(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。解：(1)將直線代入雙曲線方程，并整理得依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故(2)答案是存在滿足題設。說明：問題(1)涉及到直線與雙曲線右支相交的問題，轉化為方程有不等的兩正根，由方程根的分布的充要條件建立不等式組即可。背景之四：已知變量的范圍利用題中給出的某個已知變量的范圍，或由已知條件求出某個變量

7、的范圍，然后找出這個變量與欲求的參變量之間的關系，進而求解。1、雙參數(shù)中知道其中一個參數(shù)的范圍；例7：（2004年浙江省高考題理科21題 文科22題）已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A(1, 0)，點P、Q在雙曲線的右支上，點M(m, 0)到直線AP的距離為1。(1)若直線AP的斜率為k，且，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當時，的內心恰好是點M，求此雙曲線的方程解：(1)由條件知直線AP的方程為，因為點M到直線AP的距離為1，所以。故(2)答案是（解答略）例8：（2004年全國高考卷理科21題）給定拋物線，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點。(1)設l的斜率為1，求的夾角的大??；(2

8、)設，求l在y軸上截距m的變化范圍。解：(1)答案為（解答略）。(2)F(1, 0), 設A(x1, y1), B(x2, y2), 由題設, 得，即由得得聯(lián)立、解得，依題意有得直線l方程為：當時，方程l在y軸上的截距。由，可知在上是遞減的。故直線l在y軸上截距m的變化范圍是。說明：例7和例8都是已知一個變量的范圍求另一變量的范圍，可先利用題設條件建立變量的關系式，將所求變量和另一已知變量分離，得到函數(shù)關系，再由已知變量的范圍求出函數(shù)的值域，即為所求變量的范圍。這類背景也可歸結為背景一。2、雙參數(shù)中的范圍均未知例9：（2004年全國卷文2 理21）設雙曲線與直線相交于不同的點A、B。(1)求雙

9、曲線C的離心率e的取值范圍；(2)設直線l與y軸的交點為P，且，求a的值。解：(1)由C與l相交于兩個不同的點，故知方程有兩個不同的實數(shù)解，消去y并整理得：由雙曲線的離心率故(2)略說明：先求出a的范圍，再建立e與a的函數(shù)關系式，即可求出e的范圍。例10：直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，直線l經(jīng)過點和AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍。解：由方程組，消去y得：設，AB中點，則有：設直線l的方程為，則有，它在上單調遞減。說明：這類問題可先求出一個變量的范圍，另一個變量范圍就相應可求出來了。背景之五：點在圓錐曲線內域或外域的充要條件如果我們規(guī)定圓錐曲線包含焦點的區(qū)域稱為圓錐曲線的內域

10、，同時坐標平面被圓錐曲線所劃分的另一部分稱為圓錐曲線的外域，則點，在橢圓內（外）域的充要條件是；點在雙曲線內（外）域的充要條件是；點在拋物線的內（外）域的充要條件是。以這些充要條件為背景的范圍問題利用上述不等式可獲解。例11：（1986年全國高考題）已知橢圓，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓C上有不同的兩點P，Q關于該直線對稱。解：設中點，則：得，=又由、解得又點在橢圓內部，即。背景之六：三角形兩邊之和大于第三邊橢圓或雙曲線上一點與它們的兩個焦點的構成一個三角形，具有這一背景的問題往往可以利用三角形兩邊之和大于第三邊產(chǎn)生的不等式來確定參數(shù)的范圍。例12：已知雙曲線的左、右兩個焦點分別為F

11、1、F2，左準線為l，在雙曲線的左支上存在點P，使|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項，求離心率e的取值范圍。解：由|PF1|2 = d |PF2|又|PF2| = 2a|PF1|由、得|PF1|PF2|在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即。說明：因為P點還可能在雙曲線頂點上，所以|PF1|PF2|F1F2|。背景之七：參數(shù)的幾何意義解析幾何是一門數(shù)與形相結合的學科，其中許多的變量都有十分明顯的幾何意義，以此為背景的范圍問題只要抓住了參數(shù)的幾何意義都可以達到目的。例13：橢圓C的上準線是拋物線的準線，且C經(jīng)過這條拋物線的焦點，橢圓的離心率，求橢圓的長半軸a的范圍。解：設

12、橢圓的上焦點為F(x, y)，由定義知，。故橢圓上焦點F的軌變是以A(0, 1)為圓心，半徑為1的圓。由此易知焦點F到準線y = 1的距離p的范圍是。又背景之八：平均值不等式解析幾何的本質是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質。利用代數(shù)基本不等式是求范圍的又一方法。例14：已知直線l過定點A(3, 0)，傾斜角為，試求的范圍，使得曲線的所有弦都不能被直線l垂直平分。解：當直線的斜率為0或不存在時，符合題意。設直線l的方程為，被它垂直平分的弦的兩端點為，則BC中點P。當線段BC被l垂直平分時，有。符合題意的直線斜率。說明：本題的求解利用補集法，即先求弦能被l垂直平分的直線l的斜率，取其補集就是滿足題設的

13、斜率，再利用斜率和傾斜角的關系，就可以求出的范圍。背景之九：目標函數(shù)的值域要確定變量k的范圍，可先建立以k為函數(shù)的目標函數(shù)，從而使這種具有函數(shù)背景的范圍問題迎刃而解。例15：是橢圓上任一點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，求|PF1|·|PF2|的取值范圍。解：|PF1|PF2| = 2a|PF1|·|PF2| = |PF1|·(2a|PF1|) =(|PF1|a)2a2又當時, 有最小值b2; 當時, |PF1|·|PF2|有最大值a2。故|PF1|·|PF2|的取值范圍是。例16：（2004年福建省高考題理科22題）如圖，P是拋物線上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q。(1)若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌變方程；(2)若直線l不過原點且x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍。解：(1)設，依題意有。由過點P的切線的斜率為不合題意直線l的斜率直線l的方程為聯(lián)立直線l和拋物線方程，消去y，得M是PQ的中點消去x