離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

1、離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差2.5.2離散型隨機(jī)變量的離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差甲、乙兩個(gè)工人生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，在相同的條件下，他甲、乙兩個(gè)工人生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，在相同的條件下，他們生產(chǎn)們生產(chǎn)100件產(chǎn)品所出的不合格品數(shù)分別用件產(chǎn)品所出的不合格品數(shù)分別用X、Y表示，表示，X、Y的分布列如下：的分布列如下：X0123P0.60.20.10.1Y0123P0.50.30.20如何比較甲、乙兩人的技術(shù)？如何比較甲、乙兩人的技術(shù)？ 比較出廢品的均值！比較出廢品的均值！( )0 0.6 1 0.22 0.1 3 0.1 0.7E X ( )0 0.5 1 0.32

2、0.23 00.7E Y ( )( )E XE Y從這個(gè)意義上講，甲、乙技術(shù)相當(dāng)！從這個(gè)意義上講，甲、乙技術(shù)相當(dāng)！離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差我們知道，當(dāng)樣本平均值相差不大時(shí)，可以利我們知道，當(dāng)樣本平均值相差不大時(shí)，可以利用樣本方差考察樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離用樣本方差考察樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度程度X1x2xnxP1p2pnp的偏離程度，故的偏離程度，故 則則 描述了描述了 相相對(duì)于均值對(duì)于均值2() ()ixE X(1,2,., )ix in 能否用一個(gè)類似于樣本方差的量來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)能否用一個(gè)類似于樣本方差的量來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)變量的波動(dòng)程度呢？變量的波動(dòng)程度呢？離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

3、2221122()().()nnxpxpxp12(0,1,2,., ,.1)inpin ppp刻畫(huà)了隨機(jī)變量刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值與其均值 的平均偏離程的平均偏離程度，我們將其稱為離散型隨機(jī)變量度，我們將其稱為離散型隨機(jī)變量X的方差，的方差，記為記為V(X)或或 . 2方差公式也可用公式 計(jì)算221()niiiV Xx p離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的方差也稱為的方差也稱為X的概率分布的方差，的概率分布的方差，X的方差的方差V(X)的算術(shù)平方根稱為的算術(shù)平方根稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差，的標(biāo)準(zhǔn)差，即即 ()V X思考：思考：隨機(jī)變量的方差和樣本方差有何區(qū)別和聯(lián)系？隨機(jī)變量的方差和樣本方

4、差有何區(qū)別和聯(lián)系？隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了的取值偏隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了的取值偏離于均值的平均程度離于均值的平均程度.隨機(jī)變量的方差或標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量的方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度就差越小，隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度就越小越小.離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差例例1若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x的分布如表所示：求方的分布如表所示：求方差差V(X)和標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差 ( )V XX01P1-pp解：解： ()0 (1) 1E Xppp 22()(0) (1)(1)(1)V Xpppppp()(1)V Xpp離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差例例2求第求第2.5.1節(jié)例節(jié)例1中超幾何分布

5、中超幾何分布H(5,10,30)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的方差和標(biāo)準(zhǔn)差X012345P258423751807523751855023751380023751700237514223751解：隨機(jī)變量解：隨機(jī)變量X的概率分布為的概率分布為:P(X=K)=H(K;5,10,30);K=0,1,2,522222222584807585503800700425( ) 012345( )23751237512375123751237512375130.9579V X 5()3nME XN( ) 0.9787V X221( )niiiV Xx p離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差一般地，由定義可求出超幾何分布的方差的一

6、般地，由定義可求出超幾何分布的方差的計(jì)算公式：當(dāng)計(jì)算公式：當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ( ,)XH n M N2()()()(1)nM NMNnV XNN()nME XN離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差例例3求第求第2.5.1節(jié)例節(jié)例2中的二項(xiàng)分布中的二項(xiàng)分布 的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的方差和標(biāo)準(zhǔn)差(10,0.05)B解：隨機(jī)變量解：隨機(jī)變量X的概率分布為的概率分布為:P(X=K)=H(K;5,10,30);K=0,1,2,5()0.5E Xnp221( )niiiV Xx p2200102119210100210101000.050.9510.050.95. 100.050.950.5CCC0.7250.250.475

7、故標(biāo)準(zhǔn)差故標(biāo)準(zhǔn)差0.6892X012345PX678910P001010(1)C pp11910(1)C pp22810(1)C pp33710(1)C pp44610(1)C pp55510(1)C pp66410(1)C pp77310(1)C pp88210(1)C pp99110(1)C pp1010010(1)C pp離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差一般地，由定義可求出二項(xiàng)分布的方差的計(jì)一般地，由定義可求出二項(xiàng)分布的方差的計(jì)算公式：當(dāng)算公式：當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ( , )XB n p()(1)V Xnpp()E Xnp離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差例例4有甲、乙兩名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，他們?cè)谟屑住⒁覂擅麑W(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，他們?cè)诮獯鹜环輸?shù)學(xué)試卷時(shí)，各自的成績(jī)?cè)诮獯鹜环輸?shù)學(xué)試卷時(shí)，各自的成績(jī)?cè)?0分、分、90分、分、100分的概率分布大致如下表所示：分的概率分布大致如下表所示：甲甲分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)X 8090100概率概率0.20.60.2乙乙分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)Y8090100概率概率0.40.20.4試分析兩名學(xué)生的答題成績(jī)水平試分析兩名學(xué)生的答題成績(jī)水平離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差五回顧小結(jié)：五回顧小結(jié)：1離散型隨機(jī)變量