觀課量表參考

1、觀課分工會議時間： 4 月 27 日上午地點(diǎn)：林業(yè)大廈第七會議室。指導(dǎo)專家：李萬江研修組長：孫魯參加人員：王亮升 劉潔 陳永芹 邢萬里 高紅翠 李靜玲 王娥 李雪陳建國記錄整理：邢萬里會議紀(jì)實：一、 專家李萬江為大家解讀觀課有關(guān)事項。李老師指出觀課必須有主題，主題來源于課堂教學(xué)中遇到的問題。在課堂教學(xué)中會遇到各種各樣的問題，這些問題困擾著教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，解決這些問題，既是完成教學(xué)任務(wù)的需要，也是教師成長發(fā)展的需要。仔細(xì)記錄教學(xué)細(xì)節(jié)是發(fā)現(xiàn)問題的最好途徑。課堂觀察應(yīng)從小問題入手，越是細(xì)小的問題，越容易實施觀察，容易通過觀察研究解決。另外，觀察主題還應(yīng)具有共享性，即反映多數(shù)老師的共性問題，可通過問卷

2、、訪談等方法，聚焦教學(xué)的熱點(diǎn)，以引起更多人的關(guān)注，在研究中發(fā)揮評課小組的作用。確定觀課維度，介紹觀課方法，李老師指出觀課方法有許多，主要有注視、掃視、定時定點(diǎn)觀察、換位觀察、傾聽、詢問、訪談、錄音錄像方法等。同時李老師對觀課量表記錄的內(nèi)容作了詳細(xì)的要求。指出觀課的一項重要任務(wù)就是認(rèn)真記錄教者的教學(xué)流程，這需要記錄。記錄的內(nèi)容可以包括板書、教師的重點(diǎn)提問、學(xué)生的典型發(fā)言和質(zhì)疑、師生活動的主要情況以及有 效的教學(xué)方法和手段等。在記錄的同時還應(yīng)把自己的感悟、 想法、不同意見、 欣賞之處等寫下來，還可以在記錄本上記下發(fā)言次數(shù)、流程使用時間等記錄。 無論怎樣記錄，都必須保證記錄盡可能簡潔明了，能有效地記

3、錄數(shù)據(jù)并進(jìn)行 后續(xù)解釋。二、研修組長孫魯希望大家在課堂觀課前必須進(jìn)行周密的準(zhǔn)備。觀課的準(zhǔn)備工作包括：觀察主題的確定、觀課內(nèi)容的確定、觀察工具表的制定以及 做好分工等事項。根據(jù)研究的主題以及確定的觀課維度，進(jìn)行觀課分工，具體如下：陳永芹、李雪負(fù)責(zé)“學(xué)生課堂學(xué)習(xí)表現(xiàn)”這一觀測維度。李靜玲、王娥負(fù)責(zé)“學(xué)生回答問題如何體現(xiàn)模型思想”這一觀測維度。王亮升、劉潔負(fù)責(zé)“教師教學(xué)方式如何有效滲透模型思想”這一觀測維度。高紅翠、邢萬里負(fù)責(zé)“教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計和時間分配”這一觀測維度。三、專家李萬江最后強(qiáng)調(diào)：老師們明確分工后，商量定出適用、可操作 的觀課量表，然后上傳，小組內(nèi)進(jìn)行研討、審查、互相借鑒學(xué)習(xí)。附：觀課量表教

4、學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計和時間分配觀察量表執(zhí)教教師陳建國工作單位泰安第一實驗學(xué)校執(zhí)教課 題乘法分配律觀察者工作單位觀課維 度教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計觀察中心整節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)時間分配是否合理教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計是否有利于模型思想 的滲透主要教 學(xué)劃、節(jié)時間 分配劃、節(jié)描述簡評一、創(chuàng)設(shè)情 境，提出問 題二、獨(dú)立解 決，初步感 知三、觀察比 較，猜測驗 證四、分析概 括，總結(jié)規(guī) 律五、鞏固拓 展，應(yīng)用規(guī) 律六、課堂總 結(jié)，回顧提 升備注：教師教學(xué)方式有效滲透模型思想觀察量表執(zhí)教者姓名陳建國單位泰安市第實驗學(xué)校課題乘法分配律觀課者姓名單位觀課維度教師采用的教字方式觀察中心教師采用的教學(xué)方式是否有助于在探索規(guī)律的過程中滲透模型思想，

5、是否實現(xiàn)了教學(xué)效果的有效性觀察記錄教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)方式有效性備注一、創(chuàng)設(shè)情境 提出問題二、獨(dú)立解決 初步感知三、觀察比較 猜測驗證四、分析概括 總結(jié)規(guī)律五、鞏固拓展 應(yīng)用規(guī)律六、課堂總結(jié) 回顧提升學(xué)生回答問題體現(xiàn)模型思想觀察量表授課者陳建國課題乘法分配律單位泰安市第實驗學(xué)校觀課人王娥 李靜玲模型建構(gòu)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師的問題學(xué)生回答問題 的語言描述含有模型思想的等級總?cè)舜胃鞯燃壢舜卧杏Ｐ蛣?chuàng)設(shè)情境提出問題ABCD感知模型解決問題ABCD猜測模型猜想驗證ABCD抽象模型分析概括規(guī)律ABCD應(yīng)用模型鞏固練習(xí)ABCD學(xué)生課堂學(xué)習(xí)表現(xiàn)觀察量表執(zhí)教者 資料姓名陳建國單位巾 第一實驗學(xué)校課題乘法 分配律觀察者 資

6、料姓名陳永芹單位德州建設(shè)街小學(xué)觀察點(diǎn)學(xué)生課堂 學(xué)習(xí)表現(xiàn)姓名李雪單位德州市實驗小學(xué)視 角課堂記錄學(xué) 生 聽認(rèn)真聽課人數(shù)認(rèn)真聽課時間傾聽同學(xué)發(fā)言 人數(shù)傾聽中的輔助行為練習(xí)查閱|回顧|其他課 情 況本課 堂 互 動 情 況課堂參與度小組活動個人活動互動習(xí)慣人數(shù)時 問質(zhì)量人數(shù)時 問質(zhì)量人數(shù)時 問質(zhì)量良好學(xué) 生自主學(xué)習(xí)時間自主學(xué)習(xí)人數(shù)是否啟序自主學(xué)習(xí)方式自 主練習(xí) 本閱讀思考其他學(xué) 習(xí)學(xué) 生 學(xué) 習(xí) 效 果目標(biāo)達(dá)成度達(dá)成目標(biāo)人數(shù)練習(xí)止確率達(dá)成的效果作業(yè)板演其他教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計和時間分配執(zhí)教教師陳建國工作單位泰安第一實驗學(xué)校課題乘法分配律觀察者高紅翠 邢萬里工作單位濟(jì)寧金鄉(xiāng)化雨小學(xué) 德州武城實驗小學(xué)觀課 維度

7、教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計觀察中心整節(jié)課教學(xué)環(huán)節(jié)時間分配是否合理教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計是否有利于模型思想的滲透主要教 學(xué)劃、節(jié)時間 分配劃、節(jié)描述簡評一、創(chuàng)設(shè) 情境，提 出問題2分鐘1.讀懂情境圖（57秒） 出示情境圖一一學(xué)生找信息 2.提出問題（1分07秒） 學(xué)生提問題，教師出示本節(jié)課解決的兩 個問題。結(jié)合具體情境，引出問題 簡潔省時。二、獨(dú)立 解決，初 步感知18分鐘26秒1 .棵樹問題（11分37秒） 學(xué)生獨(dú)立解決一一解釋算法一一得出 等式一一根據(jù)乘法的意義解釋2 .面積問題（4分38秒） 學(xué)生獨(dú)立解決一一簡介算理一一得出3 .價格問題（2分11秒）學(xué)生口述算式一一簡介算理一一得出陳老師用比較充足的時 間，設(shè)

8、計的整個環(huán)節(jié)層層 推進(jìn)，讓學(xué)生能夠充分感 知乘法分配律這一模型思 想。三、觀察 比較，猜 測驗證5分鐘46秒1 .觀察三組等式（2分54秒）等相同點(diǎn)（橫向觀察、豎向觀察）一一猜測是否是規(guī)律2 .驗證（2分51秒）學(xué)生舉例一一教師有選擇地展示陳老師引領(lǐng)學(xué)生充分經(jīng)歷 探究過程，為抽出乘法分 配律模型積累經(jīng)驗。四、分析 概括，總 結(jié)規(guī)律6分鐘1 .分析概括（4分23秒）引導(dǎo)學(xué)生用字母表示一一解釋 a、b、c 各代表什么一一如何寫出右邊算式2 .總結(jié)規(guī)律（1分40秒）課件出示乘法分配律同時教師板書課題本環(huán)節(jié)設(shè)計劃、劃、相扣，抽 出乘法分配律的模型用時 充足，分析特別到位，突 出了本節(jié)課的重點(diǎn)與難 點(diǎn)。

9、五、鞏固 拓展，應(yīng) 用規(guī)律4分鐘1 .填空練習(xí)（1分50秒）2 .辨析練習(xí)（1分44秒）3 .新舊知識之間的練習(xí)（1分06秒）六、課堂 總結(jié)，回 顧提升2分鐘1 .學(xué)生談收獲（1分）2 .教師總結(jié)（1分）我們組是從教學(xué)環(huán)節(jié)及時間分配的維度進(jìn)行觀課的。經(jīng)過課堂觀察與計算我們得到一些數(shù)據(jù)， 大家可以看這個觀察量表。 這些數(shù)據(jù)告訴我 們一些問題，陳老師設(shè)計的六個教學(xué)環(huán)節(jié)中， 老師們看，二三四三個環(huán)節(jié)大約用了 30分鐘的時間，給學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、探索、分析、概括、抽象模型，經(jīng)歷建立模型的全過程，在時間上提供了保證，正是充足的時間保證，才有了課堂上學(xué)生精彩的表現(xiàn)， 在這一點(diǎn)上，值得大家 思考和借鑒。讓

10、學(xué)生感悟。不給時間怎么感悟啊陳老師恰恰做到了這一點(diǎn)，為我們做了一個很好的榜樣， 他的整個課堂教學(xué)這里的時間給的足足的，這也正是我們教學(xué)當(dāng)中模型思想感悟最重要的過程?；诖龠M(jìn)建構(gòu)模型的學(xué)生活動的觀察量表執(zhí)教教師陳曦課題乘法分配律觀察者鞠福霞曹慧若觀察緯度學(xué)生活動的創(chuàng)設(shè)是否有助于模型的 構(gòu)建觀察中心學(xué)生活動的創(chuàng)設(shè)是否有助于模型的構(gòu)建，是否實現(xiàn)了教學(xué)效果的高效性教學(xué)劃、節(jié)觀測點(diǎn)綜合分析觀察與發(fā)現(xiàn)思考與表達(dá)合作與探究ABCABCABC在這個環(huán)節(jié)里，學(xué)生 發(fā)現(xiàn)信息較好，表達(dá)上也 很充分和積極；提出問題 時多數(shù)學(xué)生也做到了真 正的思考與準(zhǔn)確地表達(dá)， 僅FS分孩子在提問題 時還/、夠主動，自信心也 不足。一

11、、創(chuàng)設(shè)現(xiàn) 實情境，發(fā) 現(xiàn)提出問 題48人26人22人二、分析解 決問題，初 步構(gòu)建模 型28人15人5人26人18人4人17人31人本課中，學(xué)生活動集 中體現(xiàn)在解決問題、發(fā)現(xiàn) 規(guī)律、初步建構(gòu)模型這一 劃、節(jié)中0從學(xué)生的作業(yè)紙和 回答與交流中可以捕捉 到學(xué)生思維的三個/、同 梯度。整節(jié)課，真正意義上的合 作與探究就體現(xiàn)在本教 學(xué)環(huán)節(jié)中“找二組算式共 同點(diǎn)”的這個地方。非常 有利于學(xué)生深刻感知模 型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。19人21人8人17人25人6人三、解釋模 型，應(yīng)用模 型45人3人23人21人4人此環(huán)節(jié)中學(xué)生的思維 及表達(dá)以作業(yè)紙和講數(shù) 學(xué)故事為主要載體加以 呈現(xiàn)。思考及表達(dá)都很積 極踴躍，效果好?；?/p>

12、于促進(jìn)建構(gòu)模型的學(xué)生活動的 觀課報告:我現(xiàn)在從學(xué)生的觀察、 操作、表達(dá)這三方面來談一下學(xué)生的活動情況:我們不難看出，課堂上學(xué)生在觀察上做的還是挺好的，不論是在情境圖中發(fā)現(xiàn)信息、還是在觀察、比較多個算式特點(diǎn)，學(xué)生們能夠做到仔細(xì)、敏銳，能很快就找到有用的信息、發(fā)現(xiàn)、感知到模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。而這些恰恰是我們建構(gòu)模型的基礎(chǔ)，也只有牢牢抓住了這點(diǎn)，才能找到我們模型的根！比如在找三組算式共同點(diǎn)時，觀察的價值體現(xiàn)的特別突出，只有孩子能夠通過仔細(xì)觀察、并加以比較，孩子才會發(fā)現(xiàn)進(jìn)而才有可能在腦中初步建構(gòu)乘法分配律的結(jié)構(gòu)模型。而隨著教學(xué)環(huán)節(jié)的推進(jìn)，學(xué)生在觀察時，也越來越敏銳，直至在解釋、應(yīng)用模型時，即使對于變式練習(xí)

13、，孩子仍能夠做的很好，這說明孩子們對于乘法分配律已構(gòu)建起來，而且還能觀察出細(xì)微的差別，這一點(diǎn)我覺得觀察應(yīng)該是先決條件。學(xué)生的操作活動，集中體現(xiàn)在學(xué)生解決 “一共有多少棵花”問題，動手圈一圈、畫一畫， 而這個操作活動，促進(jìn)了孩子從意義上理解乘法分配律！俗話說“動作是思維的體操”。孩子們在動手中動腦，而動手又促進(jìn)了孩子對模型本質(zhì)的深刻理解，這才是我們追求的價值所在！這節(jié)課中，學(xué)生的表達(dá)主要有書面和口頭兩種方式。書面表達(dá)情況，我們根據(jù)學(xué)生作業(yè)紙的情況來交流一下，從學(xué)生 1 號作業(yè)紙及學(xué)生回答、交流等方面的觀察，可以看出學(xué)生表達(dá)分為會圈、會算而且能結(jié)合圖意說、會圈、會算僅僅會圈三個不同梯度。課后，我統(tǒng)

14、計學(xué)生的3 號作業(yè)紙發(fā)現(xiàn)，有45 人能夠很好地運(yùn)用模型，規(guī)范、正確地填寫，掌握較好，3 人出現(xiàn)下面的答案：（12+40）X3=40X 3+12X 3,說明這三個孩子已經(jīng)深刻理解乘法分配律，并能靈活運(yùn)用。這不正說明陳老師已引領(lǐng)孩子很好地構(gòu)建起了乘法分配律這一模型嗎另外學(xué)生口頭表達(dá)，更加直觀和有說服力！在講數(shù)學(xué)故事時，先后有8 人次發(fā)言，6 人從不同角度用數(shù)學(xué)故事的形式加以解釋和運(yùn)用乘法分配律模型，難能可貴的是有兩個孩子能夠?qū)ν瑢W(xué)的發(fā)言及時的糾錯和進(jìn)行補(bǔ)充。在回顧整理環(huán)節(jié)里，一小女孩清晰地回顧了探索規(guī)律、建構(gòu)模型的流程及方法，學(xué)生們說的特別好。隨著課堂的推進(jìn)我們還會發(fā)現(xiàn)，孩子們觀察和操作的行為越來

15、越少，而表達(dá)上卻越來越多和充分，這也反映出學(xué)生已由直觀逐步抽象、步步深入地構(gòu)建起了乘法分配律這一模型。這節(jié)課上孩子們能夠眼、腦、手、口多種感官參與活動，這樣構(gòu)建的知識才會印象深刻！教師的教學(xué)方式是否有利于學(xué)生模型思想的滲透在創(chuàng)設(shè)情境，提出問題環(huán)節(jié)陳老師主要采用了創(chuàng)設(shè)情境，問題導(dǎo)學(xué)，話語轉(zhuǎn)換的教學(xué)方式。比如，出示情境圖后，老師問：你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息，能提出什么數(shù)學(xué)問題， 關(guān)于面積你還能提出哪些問題關(guān)于棵樹，你還想知道什么及時引導(dǎo)學(xué)生的思路。用了很短的時間就導(dǎo)入了課題，這一環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)過自己的思考，從具體情境中抽象出了數(shù)學(xué)問題，對模型有了初步的體會，為學(xué)生探究模型留足了時間。獨(dú)立解決，初步感知環(huán)

16、節(jié)。陳老師主要運(yùn)用了“問題導(dǎo)引 - 自主探索師生交流”的方式，幫助學(xué)生結(jié)合情境圖理解算式的意義，初步感知模型思想。如在學(xué)生結(jié)合情境圖明確了算式的意義后，教師適時反問，如果不計算，你能發(fā)現(xiàn)他們之間的關(guān)系嗎學(xué)生說出了都是20 個9，從而脫離情境，初步的感悟模型。之后陳老師遵循著列算式、說意義、找關(guān)系的思路來進(jìn)行，學(xué)生找到了門道，思維逐步從具體到抽象，從而進(jìn)一步感悟模型思想。觀察比較，猜測驗證和分析概括，總結(jié)規(guī)律環(huán)節(jié)陳老師主要采用了問題導(dǎo)引、生生、師生對話互動的方式，抓住學(xué)生的生成資源來滲透模型思想。如陳老師提出這樣一個問題，觀察這三組等式，有什么相同點(diǎn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了不論是先加后乘，還是先乘后加，結(jié)果

17、都是一樣的的感悟。陳老師及時追問，所有這樣的式子都相等么，引導(dǎo)學(xué)生列舉這樣的等式，并運(yùn)用學(xué)生正反兩方面的例子來驗證結(jié)論。教師又提出，這樣的等式能寫完嗎，寫不完，怎么辦，教師利用學(xué)生用字母表示的等式，來理解乘法分配律，在學(xué)生初步理解了字母可以表示具體的數(shù)這個起點(diǎn)開始，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了代表很多數(shù)到代表一類數(shù)的提升， 完成了模型的構(gòu)建，滲透了模型思想?？傊竟?jié)課陳老師的教學(xué)方式主要是問題導(dǎo)引- 自主探索- 師生生生交流產(chǎn)生新的問題這樣的循環(huán)進(jìn)行的。具體效果怎么樣呢請我們的課后采訪執(zhí)教者 姓名陳建國單位泰安巾第一實驗 學(xué)校課題乘法分配律觀課者 姓名王亮升單位德州市臨邑縣臨 盤教育辦公室觀課 維度教師米用

18、的教學(xué)方 式是否啟利于學(xué)生 模型思想的滲透觀察 中心教師米用的教學(xué)方式是否有助于在探索規(guī)律的過程中滲透模型思想，是否 實現(xiàn)了教學(xué)效果的有效性觀察記錄教學(xué) 劃、節(jié)教學(xué)方式有效性一、創(chuàng)設(shè) 情境，提 出問題創(chuàng)設(shè)情 境，問題 導(dǎo)學(xué)，及 時轉(zhuǎn)換， 教師引導(dǎo)在創(chuàng)設(shè)情境，提出問題環(huán)節(jié)教學(xué)方式主要采用了創(chuàng)設(shè)情境，問題導(dǎo)學(xué)，及時 轉(zhuǎn)換，教師引導(dǎo)等教學(xué)方式。比如，出示情境圖后，老師問：你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù) 學(xué)信息，能提出什么數(shù)學(xué)問題。在學(xué)生提問題/、到位 的情況下教師適當(dāng)引導(dǎo)，如，學(xué)生提出芍藥比牡丹的 面枳多多少時，老帥適時引導(dǎo)，關(guān)十面積你還能提出 哪些問題，學(xué)生提出了芍藥和牡丹一共種了多少平方 米。又如，教師適當(dāng)轉(zhuǎn)化

19、話題引導(dǎo)學(xué)生提出問題，關(guān) 于棵樹，你還想知道什么及時引導(dǎo)學(xué)生的思路。學(xué)生 提出了芍藥和牡丹一共有多少棵。教師適時篩選問題， 為模型的探索順利的導(dǎo)入課題，模型的構(gòu)建過程第一 個環(huán)節(jié)就是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，提出數(shù)學(xué)問題，在這個環(huán) 節(jié)，陳老師的教學(xué)方式是恰當(dāng)?shù)?，高效的。用了二?半鐘的時間就導(dǎo)入了課題，為學(xué)生探究模型思想留足 了時間。課程標(biāo)準(zhǔn)在核心理念中提出，從現(xiàn)實生活或 具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、 不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律， 求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有 助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和 應(yīng)用意識。這一環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)過自己的思考，從

20、具體 情境中抽象出了數(shù)學(xué)問題，達(dá)到了滲透模型思想的目 標(biāo)。二、獨(dú)立解決 初步感知自主探索 一師生交 流一問題 導(dǎo)引教學(xué)方式，在總體上是用了，學(xué)生自主探索一師 生交流一問題導(dǎo)引的方式，幫助學(xué)生結(jié)合情境圖理解 算式的意義，初步感知模型思想。比如，在解決芍藥和牡丹一共種了多少棵這個問 題時，老師提出，可以圈一圈、畫一畫，也可以直接 列式計算的要求；學(xué)生在自主探索時，教師適時巡視 指導(dǎo)，為生生、師生交流，教師適當(dāng)指導(dǎo)做好準(zhǔn)備， 在組織交流階段，教師的恰當(dāng)引導(dǎo)和問題導(dǎo)引，將學(xué) 生的思維引向深入。如在學(xué)生結(jié)合情境圖明確了算式 的意義后，教師適時反問，如果不計算，你能發(fā)現(xiàn)他 們之間的關(guān)系嗎學(xué)生說出了都是 2

21、0個9,從而脫離情 境，初步的感悟模型。之后關(guān)于面枳問題，價格問題的探討，都遵循著列算式、說意義、找關(guān)系的思路來 進(jìn)行，學(xué)生找到了門道，在解決第三個問題價格問題 時，學(xué)生輕松解決。為學(xué)生觀察抽象模型做好了準(zhǔn)備。 其中在探討芍藥和牡丹一共種了多少面積這一問題 時，教師適時用課件演示，對學(xué)生理解算式的意義起 到了促進(jìn)作用?？傊?，本環(huán)節(jié)陳老師第一個問題用圈 f畫一畫，第二個問題用課件演示，第三個問題學(xué) 生獨(dú)立解決，逐步將學(xué)生的思維從具體到抽象的過渡。 史丁中教授講得好，學(xué)生是否理解了，最好的方法就 是能否舉出例子。從以上可以看出，學(xué)生對乘法分配 律已經(jīng)初步理解。三、觀察比 較，猜測 驗證問題導(dǎo) 引、

22、生生、 師生對話 互動的方 式，期間 善于抓住 學(xué)生的生 成資源來 滲透模型思想如陳老師提出這個問題，觀察這三組等式， 有什么相同點(diǎn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了不論是先加后乘，還是先 乘后力口，結(jié)果都是一樣的，這樣的感悟。陳老師及時 追問，所有這樣的式子都相等么，引導(dǎo)學(xué)生列舉這樣 的等式，并運(yùn)用學(xué)生正反兩方面的例子來驗證結(jié)論。 教師又提出，這樣的等式能寫完嗎，從而引導(dǎo)學(xué)生的 思考。這個環(huán)節(jié)學(xué)生探索興趣盎然。四、分析概 括，總結(jié) 規(guī)律問題引 導(dǎo)，及時 追問型思 想主要采用了問題引導(dǎo)，及時追問的教學(xué)方式，運(yùn) 用生成資用源，師生對話，幫助學(xué)生逐步抽象概括出 乘法分配律的模型。這樣的式子能寫完嗎，寫/、完， 怎么辦，

23、可以用字母表示，利用學(xué)生用字母表示的等 式，來理解乘法分配率，在學(xué)生初步理解了字母可以 表示具體的數(shù)，是很不夠的，從代表具體數(shù)，到代表 一類數(shù)的提升，完成了模型的構(gòu)建，滲透了模型思想。五、鞏固拓 展，應(yīng)用 規(guī)律練習(xí)法主要采用了基本練習(xí)、判斷題。學(xué)生通過對比， 進(jìn)一步鞏固乘法分配律六、課堂總 結(jié)，回顧 提升談話法教師適時總結(jié)模型的構(gòu)建過程，為學(xué)生的后續(xù)學(xué) 習(xí)提供方法的指導(dǎo)?；诖龠M(jìn)建構(gòu)模型的教學(xué)策略的觀課分析報告發(fā)布者：李秀芹發(fā)布時間：2013-05-16 08:44 修改時間：2013-05-16 08:44基于促進(jìn)建構(gòu)模型的教學(xué)策略的觀察量表課題乘法分配律執(zhí)教教師陳曦單位淄博桓臺二小觀課者李

24、秀芹吳麗觀課維度教學(xué)策略觀課時間2013. 5. 9觀察中心教學(xué)策略的選擇是否有利于數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建教學(xué)策略綜合分析數(shù)形結(jié)合的 策略：教師采用數(shù)形結(jié)合的策略建立直觀圖模型。 通過花壇的實物圖呈現(xiàn)信息，通 過學(xué)生的點(diǎn)子圖感悟算理，通過數(shù)字圖呈現(xiàn)數(shù)學(xué)算式，再到教師板書的結(jié)構(gòu)圖。整個過程由具體到抽象，借助直觀讓學(xué)生明白兩種算法的實質(zhì)。也就是意義相同， 結(jié)構(gòu)不同。理解兩種算法的異與同，實現(xiàn)事理和算理的對接。整個過程有利于乘 法分配律模型建構(gòu)。猜想、驗證、 得出結(jié)論教 學(xué)策略猜想規(guī)律-讓學(xué)生讀中感悟。讓學(xué)生先讀一讀黑板上面的三個算式， 然后 找一找共同點(diǎn)。讓學(xué)生在讀中感悟到：數(shù)字沒變，得數(shù)都是一樣的。都是

25、兩個數(shù) 的和乘一個數(shù)，可以用這兩個數(shù)分別把兩個加數(shù)同這個數(shù)相乘，最后把它們的積 相加，讓學(xué)生進(jìn)一步感知三組算式共同的結(jié)構(gòu)特征。從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法分配律 的模型。驗證規(guī)律-教師設(shè)計合理肩效的作業(yè)紙，仿寫上面的式子。在仿寫交流的 過程中，再次強(qiáng)化分配律模型。得出結(jié)論-教師設(shè)計有價值的問題。通過提出：“這個規(guī)律是什么，你能 用自己的話說一說嗎”這一有價值的問題，引發(fā)學(xué)生深度思考，學(xué)生通過觀察、 思考、交流從而總結(jié)出規(guī)律，形成模型。整個過程，層層遞進(jìn)，從而達(dá)到建立乘 法分配律模型的目的。這節(jié)課我們從“教學(xué)策略的選擇是否有助于模型的構(gòu)建”這一維度進(jìn)行觀課，下面作如下分析大家都知道，教師是課堂的組織者、引

26、導(dǎo)者。教師在實際教學(xué)中選擇的教學(xué)策略決 定著學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。陳老師這節(jié)課中運(yùn)用了很多策略幫助學(xué)生建模，但給我感受最深 是：“數(shù)形結(jié)合”和“猜想一驗證一得出結(jié)論”這兩大教學(xué)策略。陳教師采用數(shù)形結(jié)合的策略建立直觀圖模型。通過花壇的實物圖呈現(xiàn)信息，通過學(xué)生的 點(diǎn)子圖讓學(xué)生感悟算理，通過數(shù)字圖呈現(xiàn)數(shù)學(xué)算式，再到教師板書的結(jié)構(gòu)圖。整個過程 由具體到抽象，借助直觀讓學(xué)生明白兩種算法的實質(zhì)。也就是意義相同，結(jié)構(gòu)不同。通 過直觀圖讓學(xué)生理解兩種算法的異與同，實現(xiàn)事理和算理的對接。整個過程非常有利于 乘法分配律模型的建構(gòu)。另外就是：猜想、驗證、得出結(jié)論這一教學(xué)策略。猜想規(guī)律-讓學(xué)生讀中感悟。讓學(xué)生先讀一讀黑板上

27、面的三個算式，然后找一找共同 點(diǎn)。讓學(xué)生在讀中感悟到：從左往右看每組算式的左右兩邊數(shù)字都沒變，而且得數(shù)也一 樣的。從上往下看這三組算式都是兩個數(shù)的和乘一個數(shù)，可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù) 相乘，最后把它們的積相加，讓學(xué)生在讀中感知三組算式共同的結(jié)構(gòu)特征。從而讓學(xué)生發(fā) 現(xiàn)乘法分配律的模型。驗證規(guī)律-教師設(shè)計合理有效的作業(yè)紙，讓學(xué)生仿寫上面的式子。在仿寫交流的 過程中，就起到了再次強(qiáng)化分配律模型目的。得出結(jié)論-教師設(shè)計有價值的問題。通過提出：“這個規(guī)律是什么，你能用自己 的話說一說嗎”這一有價值的問題，引發(fā)學(xué)生深度思考，學(xué)生通過觀察、思考、交流從 而總結(jié)出規(guī)律，形成模型。整個過程，層層遞進(jìn)，從而達(dá)到

28、建立乘法分配律模型的目的。學(xué)生課堂學(xué)習(xí)表現(xiàn)觀課報告發(fā)布者：李雪 發(fā)布時間：2013-05-16 22:36 修改時間：2013-05-16 22:36我們組呢是站在學(xué)生的角度，從課堂學(xué)習(xí)表現(xiàn)維度進(jìn)行觀課，選取了四個觀察點(diǎn)：學(xué)生聽課、課堂互動、自主學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)效果。學(xué)生聽課：認(rèn)真聽課人數(shù)42 人， 傾聽學(xué)生發(fā)言人數(shù)41 人， 在開始的提問題環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)最后排一個同學(xué)好像低頭，可能是坐在后排情境圖看不太清楚。認(rèn)真聽課時間大約38分鐘，認(rèn)真聽講率達(dá)到 98 % o課堂互動：有兩次小組交流生生互動，時間大約是5 分鐘， 全班學(xué)生參與，有針對性，有目標(biāo)。在師生互動方面有4 次匯報展示，總時間大約是15 分

29、鐘：第一次是解決棵樹的問題，利用直觀圖，用圈、 畫的方法來理解。第二次是對面積問題的解決，這次啊， 學(xué)生脫離直觀圖，直接列算式，匯報交流。學(xué)生的思維這不就從直觀過渡到抽象了第三次是學(xué)生列舉算式，驗證猜想的環(huán)節(jié)，當(dāng)出現(xiàn)四個類似的等式時，教師及時追問：師：同學(xué)們寫了這么多，你還能寫嗎生：能。師：你有什么好的方法嗎生：我可以用字母代替。進(jìn)而就出現(xiàn)了（a+b） x c=ax c+ bx c的表示方法。第四次就是對這個算式的解釋。師：為什想用字母表示生：如果寫就有無數(shù)種形式，這樣寫呢簡單。師：那你這里的a 代表什么生：我想用上面這個算式舉個例子，學(xué)生自己就說：“我借著這個例子（65+35） X 4=65

30、X 4+35X 4來說吧。a就代表 65,b 就代表 35,c 就代表4”。老師們看，師生之間的這種互動，多么自然。正想?yún)抢蠋熣f的：我們的課不是上給研究者的，而是上給孩子的。兒童是主體，四次的互動交流，孩子的思維由利用直觀抽象列式列舉驗證結(jié)論闡述， 得到了進(jìn)一步的發(fā)展，學(xué)生經(jīng)歷了由直觀到抽象的這樣一個思維提升的過程，學(xué)生的主體地位一下子就體現(xiàn)出來了。自主學(xué)習(xí)：本節(jié)課學(xué)生進(jìn)行了3 次自主學(xué)習(xí)，第一次 2 分鐘， 第二次 3 分鐘左右，第三次用時5 分鐘， 總共 10 分， 全體學(xué)生都積極參與。目標(biāo)達(dá)成：課堂回答問題參與人達(dá) 30多人次，正確率達(dá)97%。四次匯報參與 人數(shù)共10人，其中一人出現(xiàn)計算

31、錯誤，正確率達(dá) 90%。課堂練習(xí)達(dá)標(biāo) 率%。課后我們采訪了5 個不同類型的學(xué)生，以訪談形式來檢測本節(jié)課的目標(biāo)達(dá)成情況。第一個問題：你覺得本節(jié)課和以往的課相比有什么不同學(xué)生回答：學(xué)知識時比較輕松感覺，感覺自己都學(xué)會了。第二個問題是：這節(jié)課你最大的感悟是什么學(xué)生的回答是在驗證方面，我們驗證了猜測，豁然開朗了。還有一個學(xué)生是這樣回答的（請看視頻）（開始猜測時我覺得心繃得緊緊的，是真的都一樣還是結(jié)果一樣）本節(jié)課學(xué)生最大的收獲就是學(xué)會了如何猜測、驗證、得出結(jié)論。掌握了一種最重要的數(shù)學(xué) 思想方法，很好的滲透了數(shù)學(xué)模型思想。第三個問題是：你覺得（3X4） X5能不能寫成3X5+X 4X5呢學(xué)生的 回答非常堅

32、定：”不是，因為3和4是相乘的而不是相加的，不是用兩個數(shù) 的和乘一個數(shù)，必須是（3+4） X5”。我們老師接著又問：（25+20+6） X4 能用乘法分配律嗎學(xué)生說：“能，就是把他們一個一個的分開，然后再相乘?！?這不正是分配的重要體現(xiàn)嗎學(xué)生既很好的理解了分配，又能對分配律進(jìn)行更一步的拓展。第四個問題是：最后，你想對陳老師說句什么呢讓我們聽聽學(xué)生心底的 聲音吧（視頻）（原來關(guān)背光背，現(xiàn)在一下子就進(jìn)去了）綜合以上我們對學(xué)生課堂學(xué)習(xí)表現(xiàn)的觀察，可以看出，無論哪種類型學(xué) 生基本上都能積極投入到學(xué)習(xí)中，在小組合作時都能積極發(fā)表自己的觀點(diǎn)， 更重要的是學(xué)生經(jīng)歷了這樣一種猜測、驗證、結(jié)論的過程，掌握了一種

33、重要 的數(shù)學(xué)思想方法，我覺得這就是我們這節(jié)課所達(dá)到的最終目的。觀察量表四：學(xué)生課堂學(xué)習(xí)表現(xiàn)執(zhí)教者 資料姓名陳建國單位巾 第一實驗學(xué)校課題乘法 分配律觀察者 資料姓名陳永芹單位德州建設(shè)街小學(xué)觀察點(diǎn)學(xué)生課堂 學(xué)習(xí)表現(xiàn)姓名李雪單位德州市實驗小學(xué)視 角課堂記錄學(xué) 生 聽 課 情 況認(rèn)真聽課人數(shù)認(rèn)真聽課時間傾聽同學(xué)發(fā)言 人數(shù)傾聽中的輔助行為42人38分鐘41人練習(xí) 本查閱回顧其他課 堂課堂參與度小組活動個人活動互動習(xí)慣互 動 情人數(shù)時間質(zhì)量人數(shù)時 問質(zhì)量人數(shù)時 問質(zhì)量良好況4240分鐘較局42人10分 鐘較局42人15分 鐘較 高學(xué)生.自主學(xué)習(xí)時間自主學(xué)習(xí)人數(shù)是否啟序自主學(xué)習(xí)方式目 主12分鐘42人是練

34、習(xí) 本閱讀思考其他學(xué) 習(xí)學(xué) 生目標(biāo)達(dá)成度達(dá)成目標(biāo)人數(shù)練習(xí)止確率達(dá)成的效果學(xué) 習(xí)較高40人C/作業(yè)板演其他效果6-1組學(xué)生回答問題體現(xiàn)模型思想觀課報告發(fā)布者：王娥 發(fā)布時間：2013-05-17 01:50 修改時間：2013-05-17 02:02學(xué)生回答問題體現(xiàn)模型思想觀察量表我們組從“模型思想是否有效滲透”的維度進(jìn)行觀課。本節(jié)課突出的目授課者資料陳建 國單位泰安市第一實驗學(xué) 校課題乘法分配律觀測者資料王娥單位德州齊河第一實驗 小學(xué)觀測點(diǎn)學(xué)生回答問題的語言描述李靜玲單位德州夏津勝利希望 學(xué)校模型建構(gòu)過 程教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)生回答問題的諦言描述含有模型思想的等級總?cè)舜胃鞯燃壢舜卧杏Ｐ蛣?chuàng)設(shè)情境提出問

35、題60A 05B 83 %0C 01D 17 %感知模型解決問題183A 16 %9B 50 %4C 22 %2D 12 %抽象模型猜想驗證分析 概括規(guī)律1811A 61%4B 22%2C 11 %1D 6 %應(yīng)用提升模 型鞏固練習(xí)全課小 結(jié)1512A 80 %2B 13 %1C 7 %0D 0標(biāo)就是在探索乘法分配律的過程中滲透模型思想，那么通過一節(jié)課的學(xué)習(xí),語言是思維目標(biāo)是否達(dá)成學(xué)生對模型思想感悟的程度如何都需要深入觀察 的外殼，觀課時我們主要記錄了學(xué)生針對老師提出的問題所做的回答，根據(jù)學(xué)生回答問題時的語言表述來分析學(xué)生體悟模型思想的程度，從而進(jìn)行量化分析。根據(jù)模型建構(gòu)的幾個步驟，我們重點(diǎn)觀

36、察了四個環(huán)節(jié)，對每個環(huán)節(jié)學(xué)生問題回答情況進(jìn)行了等級評價。第一環(huán)節(jié) : 提出問題，孕育模型，共有6 個同學(xué)發(fā)言，5 人發(fā)現(xiàn)并提出有價值的信息和問題，我們把它評價為 B占83% , 1人提出了與本節(jié)課無關(guān) 的問題評價為D占17%。從觀察可以看出，學(xué)生能夠借助生活經(jīng)驗，很好的 讀懂生活情境，篩選數(shù)學(xué)信息，發(fā)現(xiàn)并提出問題，為后面解決問題，進(jìn)而探索乘法分配律做好了鋪墊，為學(xué)生的建模打下了良好的基礎(chǔ)。第二環(huán)節(jié)“解決問題，感知模型”，這個環(huán)節(jié)依次解決了棵數(shù)、面積、價錢這三個問題。共有18人次發(fā)言，其中有3人屬于A等級占16%, 9人 屬于B等級占50% , 4人屬于C等級占22%, 2人屬于D等級占12%。

37、尤其 是在解決價錢問題時，一名學(xué)生匯報時說“我是先算一套衣服花多少錢，是先加后乘的”，而另一個學(xué)生在匯報另一種解題思路時，說出“我是先算 4件上衣花多少錢，再算4 條褲子花多少錢，然后再求一共花多少錢，是先乘后加的?！睆膬蓚€學(xué)生回答問題的語言描述中，可以看出學(xué)生已經(jīng)很條理的解決類似的問題，并在解決問題的同時感悟出“各種不同的事物之間存在著相同的東西”。從觀察可以看出，學(xué)生已經(jīng)在初步感悟模型。第三環(huán)節(jié)“猜測 -驗證-得出結(jié)論，抽象模型”，共有18人發(fā)言，11 人屬于A等級占61% , 4人屬于B等級占22% , 2人屬于C等級占11 % , 1人 屬于D等級占6%。這個環(huán)節(jié)陳老師共分了兩步，第一

38、步；猜測驗證，當(dāng)時學(xué)生橫著觀察，發(fā)現(xiàn)了數(shù)字前后相同，豎著觀察，左面先加后乘，右面是先 乘后加，總體觀察，每組等式結(jié)果相同，學(xué)生的語言表述簡潔明了，從這里 可以看出學(xué)生對于三組等式蘊(yùn)含的相同特點(diǎn)已經(jīng)有很清晰的感悟。第二步得出結(jié)論時有個學(xué)生不但能夠說出用字母表示簡便，還結(jié)合上面的例子分別解 釋a、b、c分別代表什么，并用圖勾畫出“分配”的關(guān)系。從以上觀察來看，學(xué)生已經(jīng)在頭腦中建構(gòu)起來乘法分配律的模型。能夠 從“風(fēng)馬牛不相及”的事物中抽取出共同的規(guī)律，自主的完成了模型構(gòu)建。我們認(rèn)為最后由學(xué)生分析、歸納、概括的環(huán)節(jié)正是滲透建模思想的一個落腳點(diǎn)，是整節(jié)課的一個亮點(diǎn)?！钡谒拇蟓h(huán)節(jié)“鞏固練習(xí)，應(yīng)用提升模型”

39、，共有 15人次回答問題，A 等級有12人占80% , B等級有2人13%, C等級有1人占7% ,從觀察看， 學(xué)生已經(jīng)很熟練的運(yùn)用乘法分配律完成練習(xí)?？v觀觀測量表中四個環(huán)節(jié)的等級變化，由一開始學(xué)生沒有A等級的人次，也就是他們頭腦中沒有乘法分配律的模型，到 16%,再到61%,最后 到80%,百分比逐漸上升；B等級的人次由83%到50%再至U 22%最后到13 %,百分比逐漸下降，從數(shù)據(jù)中可以看出，模型思想是在循序漸進(jìn)的滲透， 模型構(gòu)建經(jīng)歷了一個孕育、感悟、構(gòu)建、應(yīng)用的過程?；诖龠M(jìn)建構(gòu)模型的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計觀課分析報告發(fā)布者：史昌靖 發(fā)布時間：2013-05-14 21:29 修改時間：2013

40、-05-14 21:29觀課分析報告6-2史昌靖馬春霞基于促進(jìn)建構(gòu)模型的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計觀察量表執(zhí)教教師陳曦課 題乘法分配律觀察者馬曲愛 史昌靖觀察 維度教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計是否有利于數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)觀察中心教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué) 劃、節(jié)時間分 配安排環(huán)節(jié)過程簡述建模效果簡評改進(jìn)建議一、創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實 情境，發(fā) 現(xiàn)提出問 題2分鐘課件出示情境圖，學(xué) 生發(fā)現(xiàn)信息，提出數(shù) 學(xué)問題，教師板書問 題：1、一共有多少棵 花2、芍藥比牡丹多多 少棵從具體情境中抽象出 了數(shù)學(xué)問題，而發(fā)現(xiàn) 和提出問題止是數(shù)學(xué) 建模的起點(diǎn)。在提出問題這個環(huán) 節(jié)給學(xué)生充足的時 問，并在此基礎(chǔ)上， 教師進(jìn)行問題的篩 選和定向。二、分析解決 問題，初 步構(gòu)

41、建模 型25 分 45秒1.借助直觀，理解事 理和算理，解決第1 個問題，初步感知乘 法分配律的結(jié)構(gòu)形 式，用時約9分45秒； 2、增加素材，解決兩 個新問題，進(jìn)一步感 知乘法分配律的內(nèi)涵 本質(zhì)，用時約2分10 秒；3、通過讀三組算 式，觀察比較，感知 模型結(jié)構(gòu)形式，并大 膽猜想，用時約5分 鐘；4.舉例驗證規(guī)律， 用時約4分30秒；5. 總結(jié)規(guī)律，形成模型， 用時約4分20秒。此環(huán)節(jié)，學(xué)生在動手 操作、交流思考、解 決問題的過程中肩效 構(gòu)建了乘法分配律模 型。環(huán)下后所缺失，建 議：1、在解決第2個問 題時，進(jìn)一步引導(dǎo) 學(xué)生感悟乘法分配 律的結(jié)構(gòu)形式。2、教師引領(lǐng)學(xué)生用 語言義字描述乘法 分配

42、律時，增加同 桌或小組交流的環(huán) 節(jié)。三、設(shè)計系列9分鐘1.填一填.2、根據(jù)乘法分配律編在學(xué)生初步建模的基 礎(chǔ)上，通過講數(shù)學(xué)故建議增加面向全體 學(xué)生的基本性的練練習(xí)、解 釋應(yīng)用模 型數(shù)學(xué)故事。事，使學(xué)生初步體會 運(yùn)算律在現(xiàn)實生活中 的實際意義。既加深 了對模型的理解，又 加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與生活的 聯(lián)系。習(xí)。四、回顧提煉 升華、提 升建模思 識3分鐘借助豐收園模板，引 導(dǎo)學(xué)生從“會想、會 問、會思考、會合作” 等方面來回顧整理。引導(dǎo)學(xué)生從知識、技 能、思想、方法、活 動經(jīng)驗四個方面進(jìn)行 了回顧整理，起了畫 龍點(diǎn)睛的作用，較好 的提升了學(xué)生的建模 意識。合計39 分 45秒總體評價總之，本課的教學(xué)思路明確

43、，四個環(huán)節(jié)步步深入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了 “讀懂情境圖-篩選數(shù)學(xué)信息一發(fā)現(xiàn)并提出問題-分析解決 問題一建立數(shù)學(xué)模型-解釋與應(yīng)用”這一建模過程，從形式和意 義上認(rèn)識了乘法分配律的內(nèi)涵本質(zhì)，并以此培養(yǎng)了學(xué)生的建模意 識，滲透了模型思想。這節(jié)課，我們從“教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計是否有利于數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)”這一維度進(jìn)行觀課， 并通過時間數(shù)據(jù)進(jìn)行細(xì)致分析。第一個環(huán)節(jié)“創(chuàng)設(shè)生活情境，發(fā)現(xiàn)提出問題”用時約 2分鐘。通過觀察情境圖，學(xué) 生發(fā)現(xiàn)信息，提出問題，教師板書：1、一共有多少棵花2、芍藥比牡丹多多少棵這樣一 來，從具體情境中抽象出了數(shù)學(xué)問題，而發(fā)現(xiàn)和提出問題正是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。第二個環(huán)節(jié)”分析解決問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型”用時

44、約 25分45秒，設(shè)五環(huán)節(jié)來進(jìn)行。 期間，1.借助直觀，理解事理和算理，解決第 1個問題，初步感知乘法分配律的結(jié)構(gòu)形 式，用時約9分45秒；2、增加素材，解決兩個新問題，進(jìn)一步感知乘法分配律的內(nèi)涵 本質(zhì)，用時約2分10秒；3、通過讀三組算式，觀察比較，感知模型結(jié)構(gòu)形式，并大膽 猜想，用時約5分鐘；4.通過舉例驗證規(guī)律，用時約4分30秒；5.總結(jié)規(guī)律，形成模型, 用時約4分20秒。此環(huán)節(jié)，學(xué)生在動手操作、交流思考、解決問題的過程中有效構(gòu)建了 乘法分配律模型。第三個環(huán)節(jié)”設(shè)計系列練習(xí)，解釋應(yīng)用模型”用時約 9分鐘，通過填一填和根據(jù)乘 法分配律編數(shù)學(xué)故事兩個環(huán)節(jié)來進(jìn)行。在學(xué)生初步建模的基礎(chǔ)上，通過講數(shù)學(xué)故事，使 學(xué)生初步體會運(yùn)算律在現(xiàn)實生活中的實際意義。既加深了對模型的理解，又加強(qiáng)了數(shù)學(xué) 與