1.2chapter第一類曲線積分ppt課件

1、教學要求：教學要求：1. 理解理解I型型(對弧長的對弧長的)曲線積分的概念和性質(zhì)曲線積分的概念和性質(zhì); 2. 掌握計算第一類曲線積分的方法掌握計算第一類曲線積分的方法; 3. 了解第一類曲線積分的應(yīng)用了解第一類曲線積分的應(yīng)用. .引例與概念引例與概念一一 .性質(zhì)性質(zhì)二二 .算算對弧長的曲線積分的計對弧長的曲線積分的計三三 .用用對弧長的曲線積分的應(yīng)對弧長的曲線積分的應(yīng)四四 .引例與概念引例與概念一一引例引例1. ., ),( 求其質(zhì)量求其質(zhì)量構(gòu)件構(gòu)件的非均勻平面曲線形的非均勻平面曲線形設(shè)有線密度為設(shè)有線密度為Lyx Solution. oxyABL分割分割, ,121insMMM 1 nMiM

2、1 iM2M1M,),(iiis ),(ii ;),(iiiism 求和求和, ;),(1 niiiism 取極限取極限,.),(lim10 niiiism 近似值近似值精確值精確值引例引例2. ., ),( 求其質(zhì)量求其質(zhì)量構(gòu)件構(gòu)件的非均勻空間曲線形的非均勻空間曲線形設(shè)有線密度為設(shè)有線密度為 zyx Solution. ABL分割分割, ,121insMMM 1 nMiM1 iM2M1M,),(iiiis ;),(iiiiism 求和求和, ;),(1 niiiiism 取極限取極限,.),(lim10 niiiiism 近似值近似值精確值精確值oxyz),(iii 第一類曲線積分的統(tǒng)一定義

3、形式上的定義）第一類曲線積分的統(tǒng)一定義形式上的定義） ,)(,),(是是有有界界函函數(shù)數(shù)是是可可以以度度量量的的空空間間平平面面表表示示曲曲線線設(shè)設(shè)PfS );(,)1(1也也表表量量度度個個小小部部分分任任意意分分劃劃成成將將insssnS ), 1( ,)( ,)2(nisPfsPiiii 作作乘乘積積;)( 1 niiisPf作作和和,max )3(1的的直直徑徑記記inis ,上上怎怎樣樣的的取取法法在在怎怎樣樣的的分分劃劃如如果果無無論論對對iisPS niiisPf10)(lim .)(,上上的的第第一一類類曲曲線線積積分分在在則則稱稱其其為為都都存存在在SPf記為記為.)(lim

4、)(10 niiiSsPfdsPf 則則若若),()(, )1(yxfPfLS .),(lim),(10 niiiiLsfdsyxf 平面曲線上對弧長的曲線積分平面曲線上對弧長的曲線積分則則若若),()(, )2(zyxfPfS .),(lim),(10 niiiiisfdszyxf 空間曲線上對弧長的曲線積分空間曲線上對弧長的曲線積分注意注意: .),( ,),( )1(存存在在積積分分對對弧弧長長的的曲曲線線上上連連續(xù)續(xù)時時在在光光滑滑曲曲線線弧弧當當 LdsyxfLyxf.),( )2( Ldsyxm 曲曲線線型型構(gòu)構(gòu)件件的的質(zhì)質(zhì)量量.),( dszyxm .),( ,)3( Ldsyx

5、fL則記為則記為為封閉曲線為封閉曲線若若.),(, dszyxf則記為則記為為封閉曲線為封閉曲線若若. 0 )4( is對弧長的曲線積分與路徑的走向無關(guān)對弧長的曲線積分與路徑的走向無關(guān)! .性質(zhì)性質(zhì)二二.),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為為常常數(shù)數(shù)kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL .),(),( )4( BAABdsyxfdsyxf. )5( Ldss .算算對弧長的曲線積分的計對弧長的曲線積分的計三三定理定理1. ,),()1(上上連連續(xù)續(xù)在在

6、設(shè)設(shè)Lyxf ),(),(),()2( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為, 0)()( ,)(),()3(22 tttt 且且上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在 )( )()()(),(),( 22 dtttttfdsyxfL則則注意注意: ; )1( 一一定定小小于于上上限限積積分分下下限限. 0, 0 iits1. 直接計算法直接計算法 . ,)()(),(),(,)2(22的的積積分分再再作作換換成成將將計計算算時時 dtttttdsyx概括為概括為“一代二換三定限一代二換三定限”).()(:)3(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL ).()(:)

7、4(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL ).( ),(: )5( rrL).( ,sin)(cos)(: ryrxL .)()()sin,cos(),(22 drrrrfdsyxfL ).( ,)()()(: )6( ttztytx .)()()()(),(),(),(222dtttttttfdszyxf . )1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,)(. 1為頂點的三角形的邊為頂點的三角形的邊是以是以其中其中計算計算BAOLdsyxexL Solution. xyoAB, 0: yOA; 10 x,1:xyAB ; 10 x, 0: xBO; 10 y

8、BOABOALdsyx)( 10 xdx 102dx 10ydy. 21 . ,. 222222的扇形的整個邊界的扇形的整個邊界軸在第一象限內(nèi)所圍成軸在第一象限內(nèi)所圍成及及直線直線為圓周為圓周其中其中計算計算oxxyayxLdseexLyx Solution. xyoABa, 0: yOA;0ax ,sincos: taytaxAB;40 t,:xyBO ;20ax BOABOALyxdse22 axdxe0 40 adtea 2022axdxe. 2)42( aea ).2 , 3 , 1(, )2 , 0 , 1( ),2 , 0 , 0(),0 , 0 , 0(,. 32DCBAyzds

9、xex為折線為折線其中其中計算計算 Solution. ,00: yxAB; 20 z,20: zyBC; 10 x,21: zxCD; 30 y CDBCAByzdsx2 CDyzdsx200 302ydy. 9302 y2. 利用對稱性簡化計算利用對稱性簡化計算 , )1(軸軸時時對對稱稱于于當當xL ),(),( 0),(),( ),(2),(yxfyxfyxfyxfdsyxfdsyxfLL上上, )2(軸軸時時對對稱稱于于當當yL ),(),( 0),(),( ),(2),(yxfyxfyxfyxfdsyxfdsyxfLL右右.)2, 1()2 , 1(,4:,. 42一一段段到到從從

10、其其中中求求 xyLydsIexLMethod1.).22( ,4 2 yyx選選取取. 0 xy42 dyyyI222)2(1 Method2. 由于由于L關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱, 被積函被積函數(shù)是關(guān)于數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù)的奇函數(shù). 0 LydsI.0,. 522222 zyxazyxdsxIex為為圓圓周周其其中中求求Solution. 由對稱性由對稱性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長球面大圓周長ads .用用對弧長的曲線積分的應(yīng)對弧長的曲線積分的應(yīng)四四 ,),()1(的的線線密密度度時時表表示示當當Lyx ;)

11、,( Ldsyxm ;,1),()2( LdsLyxf弧長弧長時時當當,),(),()3(處處的的高高時時柱柱面面在在點點上上的的表表示示立立于于當當yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面積積sL),(yxfz )4(曲線弧的重心坐標曲線弧的重心坐標., LLLLdsdsyydsdsxx 曲線弧的轉(zhuǎn)動慣量曲線弧的轉(zhuǎn)動慣量)5(.)( , ,2222 LoLyLxdsyxIdsxIdsyI 對空間對空間曲線構(gòu)曲線構(gòu)件也有件也有結(jié)論結(jié)論!).,( ,),(),20( ,sin,cos . 6222zyxIzyxzyxtktztaytaxexz求求設(shè)有曲線形構(gòu)件方程為設(shè)有曲線形構(gòu)件方程為 Solution. dszyxyxIz),()( )1(22 dszyxyx)(22222 20222222)(dtkatkaa).43(32222222kakaa dszyxm),( )2( dszyx)(222 2022222)(dtkatka).43(3222222kaka dszyxx)(222 2022222)(cosdtkatka