線、面角的計(jì)算(講義)

1、線、面角的計(jì)算(講義)?知識(shí)點(diǎn)睛一、求異面直線所成的角的處理思路(1)平移：根據(jù)異面直線的定義，用平移法作出角；(2)證明：證明說理；(3)計(jì)算：求角度，常利用三角形求解；(4)結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則其即為所求角，若求出的角是鈍角，則其補(bǔ)角為所求角.二、求線面角的處理思路1.定義法(1)找斜線上一點(diǎn)，過該點(diǎn)作平面的垂線；(2)連接垂足和斜足，得到斜線在平面內(nèi)的射影，斜線與其射影所成的銳角 即為所求角；(3)把該角放在三角形中，解直角三角形，求角.注：垂足一般都是特殊點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等.例：如圖，在三棱錐S-ABC中，SO,底面ABC,垂足為O,則直線SB與 平面ABC所成的角

2、即為/ SBO.2.轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，利用等體積法求解例：如圖，在三棱錐SABC中，設(shè)直線SB與平面ABC所成的角為，利用 等體積法求出點(diǎn)S到平面ABC的距離SO,則sin SO.三、求二面角的處理思路1 .定義法 方法一：直接在二面角的棱上取一特殊點(diǎn)，過該點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面中作 棱的垂線，得到平面角；例：圖1中二面角P-AD-B的平面角為/ EOF,其中。為特殊點(diǎn).方法二：由其中一個(gè)面上的某一特殊點(diǎn)作棱的垂線，過垂足作棱在另一個(gè) 平面內(nèi)的垂線，得到平面角.例：圖2中二面角P-AD-B的平面角為/ POM,其中P為特殊點(diǎn).2 .三垂線法過其中一個(gè)面上的某一特殊點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過垂足作

3、相交棱在另 一個(gè)平面的垂線.例：圖3中二面角P-AD-B的平面角為/ PON,其中P為特殊點(diǎn)，PN±¥ 面 ABCD.CB圖3?精講精練1 .如圖，在直三棱柱 ABGAiBiG中，若/ BAC=90°, AB=AC=AAi,則異面直線BA與AG所成的角為（）A. 300B. 45°C. 60°D. 90°Cl第1題圖第2題圖2 .如圖，在空間四邊形 ABCD中，AB=CD,且AB與CD所成的角為30°, E, F 分別為BC, AD的中點(diǎn)，則EF與AB所成的角為（）A. 150°或 15°B. 150或

4、300C. 75°或 300D. 75°或 15°3 .如圖，在四棱錐P- ABCD中，底面A BCD為矩形，側(cè)棱 PA1底面ABCR AB=T3, BC=1, PA=2, E為PD的中點(diǎn)，則直線 BE與平面 ABCD所成角的正切值為:第3題圖第4題圖4 .如圖，在空間四邊形 ABCD中，平面ABDXT面BCR/ BAD=/ BCD=90° ,且AB=AD,貝U AC與平面BCD所成的角為5 .如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，CC與平面 A1BD所成角的余弦值為146.第5題圖第6題圖如圖，平面ABCDL平面ABEF四邊形ABCD是正方形，四

5、邊形ABE支矩形,一 1且AF -AD a, G是EF的中點(diǎn)，則BG與平面ACG所成角的正弦值為27.如圖，在三棱錐 P-ABC中，PA1底面 ABC, AC!AB, PA=AB=2, AC=1.(1)求證：PC!AB;(2)求二面角A-PC B的正弦值.8.如圖，在三棱錐 P-ABC中，PC1平面 ABC, PC=3, / ACB=90°.D, E分別為線段AB, BC上的點(diǎn)，且CD=DE=V2 , CE=2BE=2.(1)求證：DEX平面PCR(2)求二面角A-PD-C的余弦值.9.P如圖，在直三棱柱 ABGAiBiCi中，AC-1BC - AA12D是棱AAi的中點(diǎn),DOXBD

6、.(1)求證：DCLBC;(2)求二面角Ai-BD-Ci的大小.CiBiA10.如圖，直三棱柱ABCAiBiCi的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為V3, D 是AC的中點(diǎn).(i)求二面角Ai-BDA的大??；(2)求直線ABi與平面AiBD所成角的正弦值.11.如圖，在三棱柱 ABCAiBiCi中，點(diǎn)Ai在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，/ ACB=90°, BC=1, AC=CC=2.(1)求證：AGXAiB;(2)若直線AAi與平面BCCBi之間的距離為求二面角Ai-AB-C的正切12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA，底面ABCD AC 272 , PA 2

7、, E 是 PC上一點(diǎn)，且 PE=2EC.(1)證明：PCL平面BED;(2)若二面角A-PBC為90°,求PD與平面PBC所成角的大小.13.如圖，AB是。的直徑，C是。上異于A, B的點(diǎn)，直線PC 平面ABC, E, F分別是PA PC的中點(diǎn).(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l ,試判斷直線l與平面PAC的位置 關(guān)系，并加以證明；(2)設(shè)(1)中的直線l與。的另一個(gè)交點(diǎn)為D ,平面ABC上方的一點(diǎn)Q滿1足DQ/ CP,且DQ 1CP .記直線PQ與平面ABC所成的角為 ,異面直 2線PQ與EF所成的角為面角E l C的大小為sin sin sin【參考答案】1.2.3.4.5.2 13134506.7.8.9.10.11.12.13.(2)證明略.至3(