四大強度理論

1、第10章強度理論10.1強度理論的概念構件的強度問題是材料力學所研究的最基本問題之一。通常認為當構件承受的載 荷達到一定大小時，其材料就會在應力狀態(tài)最危險的一點處首先發(fā)生破壞。故為了保 證構件能正常地工作，必須找出材料進入危險狀態(tài)的原因，并根據(jù)一定的強度條件設 計或校核構件的截面尺寸。各種材料因強度不足而引起的失效現(xiàn)象是不同的。如以普通碳鋼為代表的塑性材 料，以發(fā)生屈服現(xiàn)象、出現(xiàn)塑性變形為失效的標志。對以鑄鐵為代表的脆性材料，失 效現(xiàn)象則是突然斷裂。在單向受力情況下，出現(xiàn)塑性變形時的屈服點匚s和發(fā)生斷裂時 的強度極限6可由實驗測定。二s和匚b統(tǒng)稱為失效應力，以安全系數(shù)除失效應力得到 許用應力！

2、，于是建立強度條件 可見，在單向應力狀態(tài)下，強度條件都是以實驗為基礎的。實際構件危險點的應力狀態(tài)往往不是單向的。實現(xiàn)復雜應力狀態(tài)下的實驗，要比單向拉伸或壓縮困難得多。常用的方法是把材料加工成薄壁圓筒（圖10-1），在內(nèi)壓P作用下，筒壁為二向應力狀態(tài)。如再配以軸向拉力F，可使兩個主應力之比等于各種預定的數(shù)值。這種薄壁筒試驗除作用內(nèi)壓和軸力外，有時還在兩端作用扭矩，這樣還 可得到更普遍的情況。此外，還有一些實現(xiàn)復雜應力狀態(tài)的其他實驗方法。盡管如此，要完全復現(xiàn)實際中遇到的各種復雜應力狀態(tài)并不容易。況且復雜應力狀態(tài)中應力組合 的方式和比值又有各種可能。如果象單向拉伸一樣，靠實驗來確定失效狀態(tài)，建立強

3、度條件，則必須對各式各樣的應力狀態(tài)一一進行試驗，確定失效應力，然后建立強度 條件。由于技術上的困難和工作的繁重，往往是難以實現(xiàn)的。解決這類問題，經(jīng)常是 依據(jù)部分實驗結果，經(jīng)過推理，提出一些假說，推測材料失效的原因，從而建立強度 條件。經(jīng)過分析和歸納發(fā)現(xiàn)，盡管失效現(xiàn)象比較呑，強度不足引起的失效現(xiàn)象主要還是屈服和斷裂兩種類型。同時，衡量受力和變形程度的量又有應力、應變和變形能等。人們在長期的生產(chǎn)活動中，綜合分析材料的失效現(xiàn)象和資料，對強度失效提出各種假 說。這類假說認為，材料之所以按某種方式（斷裂或屈服）失效，是應力、應變或變形能等因素中某一因素引起的。 按照這類假說，無論是簡單應力狀態(tài)還是復雜應

4、力狀態(tài)， 引起失效的因素是相同的。也就是說，造成失效的原因與應力狀態(tài)無關。這類假說稱 為強度理論。利用強度理論，便可由簡單應力狀態(tài)的實驗結果，建立復雜應力狀態(tài)下 的強度條件。至于某種強度理論是否成立，在什么條件下能夠成立，還必須經(jīng)受科學 實驗和生產(chǎn)實踐的檢驗。本章只介紹四種常用強度理論，這些都是在常溫、靜載下，適用于均勻、連續(xù)、 各向同性材料的強度理論。當然，強度理論遠不止這幾種。而且，現(xiàn)有的各種強度理論還不能說已經(jīng)圓滿地解決所有的強度問題，這方面還有待發(fā)展。10.2四種常用強度理論前面提到，強度失效的主要形式有屈服和斷裂兩種。相應地，強度理論也分成兩 類，一類是解釋斷裂失效的，其中有最大拉應

5、力理論和最大伸長線應變理論。另一類 是解釋屈服失效。其中有最大切應力理論和形狀改變比能理論。10.2.1最大拉應力理論（第一強度理論）意大利科學家伽利略（Galilei）于1638年在兩種新的科學一書中首先提出最大 正應力理論，后來經(jīng)過修正為最大拉應力理論，由于它是最早提出的強度理論，所以 也稱為第一強度理論。 這一理論認為：最大拉應力是使材料發(fā)生斷裂破壞的主要因素。 即認為不論是什么應力狀態(tài)，只要最大拉應力達到與材料性質(zhì)有關的某一極限值，材 料就發(fā)生斷裂。既然最大拉應力的極限值與應力狀態(tài)無關，于是就可用單向應力狀態(tài) 確定這一極限值。單向拉伸時只有 門；匕二=0 ,當二1達到強度極限 6時即發(fā)

6、生斷 裂。故據(jù)此理論得知，不論是什么應力狀態(tài)，只要最大拉應力C1達到匚b就導致斷裂。于是得斷裂準則5 =磯（10 1）將極限應力Cb除以安全系數(shù)得許用應力故按第一強度理論建立的強度條件是G :：卜丨（102）試驗證明，這一理論與鑄鐵、陶瓷、玻璃、巖石和混凝土等脆性材料的拉斷試驗 結果相符，例如由鑄鐵制成的構件，不論它是在簡單拉伸、扭轉(zhuǎn)、二向或三向拉伸的 復雜應力狀態(tài)下，其脆性斷裂破壞總是發(fā)生在最大拉應力所在的截面上。但是這一理 論沒有考慮其他兩個主應力的影響，且對沒有拉應力的狀態(tài)（如單向壓縮、三向壓縮等）也無法應用。10.2.2最大伸長線應變理論（第二強度理論）法國科學家馬里奧（E. Mari

7、otte）在1682年提出最大線應變理論，后經(jīng)修正為最大 伸長線應變理論。這一理論認為最大伸長線應變是引起斷裂的主要因素。即認為不論 什么應力狀態(tài)，只要最大伸長線應變；1達到與材料性質(zhì)有關的某一極限值時，材料即發(fā)生斷裂。1的極限值既然與應力狀態(tài)無關，就可由單向拉伸來確定。設單向拉伸直 到斷裂仍可用虎克定律計算應變，則拉斷時伸長線應變的極限值應為cb E。按照這一理論，任意應力狀態(tài)下，只要4達到極限值 6. E，材料就發(fā)生斷裂。故得斷裂準則為(a)二1 - " ；2 U3 7(10 3)由廣義虎克定律代入（a）得到斷裂準則將6除以安全系數(shù)得許用應力L-I,于是按第二強度理論建立的強度條

8、件是；1 - " :2 ；3 _ ! J(10 4)石料或混凝土等脆性材料受軸向壓縮時，如在試驗機與試塊的接觸面上加添潤滑 劑，以減小摩擦力的影響，試塊將沿垂直于壓力的方向裂開。裂開的方向也就是;1的方向。鑄鐵在拉-壓二向應力，且壓應力較大的情況下，試驗結果也與這一理論接近。 按照這一理論，鑄鐵在二向拉伸時應比單向拉伸安全，但試驗結果并不能證實這一點。在這種情況下，第一強度理論比較接近試驗結果。10.2.3最大切應力理論(第三強度理論)法國科學家?guī)靷?C.A. Coulomb)在1773年提出最大切應力理論，這一理論認為最大切應力是引起屈服的主要因素。即認為不論什么應力狀態(tài)，只要最大

9、切應力Tnax達到與材料性質(zhì)有關的某一極限值，材料就發(fā)生屈服。在單向拉伸下，當橫截面上的拉應力到達極限應力Ts時，與軸線成45 的斜截面上相應的最大切應力為Tax=bs/2 ,此時材料出現(xiàn)屈服。可見二s 2就是導致屈服的最大切應力的極限值。 因這一極限值與 應力狀態(tài)無關，故在任意應力狀態(tài)下，只要Tax達到bs/2，就引起材料的屈服。由于對任意應力狀態(tài)有 Tax =(5 -貯3)/2，于是得屈服準則(b):1 -；3( 10-5)將6除以安全系數(shù)得許用應力得到按第三強度理論建立的強度條件門-；3丨(10-6)最大切應力理論較為滿意地解釋了屈服現(xiàn)象。例如，低碳鋼拉伸時沿與軸線成 45 的方向出現(xiàn)滑

10、移線，這是材料內(nèi)部沿這一方向滑移的痕跡。根據(jù)這一理論得到的屈服 準則和強度條件，形式簡單，概念明確，目前廣泛應用于機械工業(yè)中。但該理論忽略 了中間主應力 三的影響，使得在二向應力狀態(tài)下，按這一理論所得的結果與試驗值相比偏于安全。10.2.4形狀改變比能理論(第四強度理論)意大利力學家貝爾特拉密(E. Beltrami)在1885年提出能量理論，1904年胡伯(M . T . Huber)將其修正為形狀改變比能理論。胡伯認為形狀改變比能是引起屈服的主要因素。即認為不論什么應力狀態(tài)，只要形狀改變比能Uf達到與材料性質(zhì)有關的某一極限值，材料就發(fā)生屈服。單向拉伸時屈服點為匚s，相應的形狀改變比能為12

11、62。這就是導致屈服的形狀改變比能的極限值。對任意應力狀態(tài)，只要形狀6E改變比能Uf達到上述極限值，便引起材料的屈服。故形狀改變比能屈服準則為uis26E在任意應力狀態(tài)下，形狀改變必能為 代入式(c)，整理后得屈服準則為石1 -CT2 ( +(CT2 -CT3 f +(CT3 -CT1 f =CTs(C)(10-7)若將2代入式(10-7)，即得到:3-2 2亠匚2 -；：.一3 2 * ；：.-3 j!. IOsT P(10-8)將;二除以安全系數(shù)得許用應力，于是，按第四強度理論得到的強度條件為(d).T2 ' T2 T2 i=： t式(d)是根據(jù)形狀改變比能理論建立的屈服準則的另一

12、種表達形式。由此可以看出，這 個理論在本質(zhì)上仍然認為切應力是使材料屈服的決定性因素。鋼、銅、鋁等塑性材料的薄管試驗表明，這一理論與試驗結果相當接近，它比第 三強度理論更符合試驗結果。在純剪切的情況下，由屈服準則式(10-7)得出的結果比式(10-5)的結果大15%，這是兩者差異最大的情況?？梢园阉膫€強度理論的強度條件寫成以下的統(tǒng)一形式G _ !丁 1(109)式中G稱為相當應力。它是由三個主應力按一定形式組合而成的，實質(zhì)上是個抽象的概念，即G是與復雜應力狀態(tài)危險程度相當?shù)膯屋S拉應力(圖10-2)。按照從第一強度理論到第四強度理論的順序，相當應力分別為O r 1 01硏2 =5 _咖2 +CT3

13、 )r3 = 7(10-10)64=2亠“2 i3亠宀 i1 彳'以上介紹了四種常用的強度理論。鑄鐵、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，通常 以斷裂的形式失效，宜采用第一和第二強度理論。碳鋼、銅、鋁等塑性材料，通常以 屈服的形式失效，宜采用第三和第四強度理論。圖 10 2應該指出，不同材料固然可以發(fā)生不同形式的失效，但即使是同一材料，處于不 同應力狀態(tài)下也可能有不同的失效形式。例如碳鋼在單向拉伸下以屈服的形式失效， 但碳鋼制成的螺紋根部因應力集中引起三向拉伸就會出現(xiàn)斷裂。又如鑄鐵單向受拉時 以斷裂的形式失效，但淬火鋼球壓在厚鑄鐵板上，接觸點附近的材料處于三向受壓狀 態(tài)，隨著壓力的增大，鑄鐵

14、板會出現(xiàn)明顯的凹坑，這表明已出現(xiàn)屈服現(xiàn)象。無論是塑 性材料還是脆性材料，在三向拉應力相近的情況下，都將以斷裂的形式失效，在三向 壓應力相近的情況下，都可引起塑性變形。因此，我們把塑性材料和脆性材料理解為材料處于塑性狀態(tài)或脆性狀態(tài)更為確切些。 應用強度理論解決實際問題的步驟是：1）分析計算構件危險點上的應力。2）確定危險點的主應力 :1、:2和；3。3）選用適當?shù)膹姸壤碚撚嬎闫湎喈攽，然后運用強度條件 G 卜I進行強度計算。例10-1 由Q235鋼制蒸汽鍋爐的壁厚 t= 10mm，內(nèi)徑D = 1000mm（圖10-3）。蒸 汽壓力P= 3MPa , b 1= 160MPa。試校核鍋爐的強度。

15、圖 10- 3解鍋爐橫截面和縱向截面上的應力是鍋爐壁內(nèi)一點的三個主應力是=150MPa，：.2 =；丁 =75MPa，二3 : 0對Q235鋼這類塑性材料，應運用第四強度理論。由式（10-10）得所以鍋爐滿足第四強度理論的強度條件。也可以用第三強度理論進行強度校核。由式（10-10）得可見也滿足第三強度理論的強度條件。例10-2 構件內(nèi)某危險點的應力狀態(tài)如圖10-4所示，試按四個強度理論建立相應的強度條件。圖 10 4解三個主應力分別為 四個強度理論的強度條件為例10-3試按強度理論建立純剪切應力狀態(tài)的強度條件，并尋求塑性材料許用剪 應力h與許用拉應力b之間的關系。圖 10 5解 純剪切應力狀

16、態(tài)為二向應力狀態(tài)，如圖10-5所示。其三個主應力分別為：叼=t 血=0、$ = t。對塑性材料應采用最大切應力理論。按最大切應力理論得出的強度條件為 而剪切的強度條件是 比較上兩式可見即T為"的12。這是按最大切應力理論求得的T與b之間的關系。如按形狀改變比能理論，則純剪切的強度條件是與剪切強度條件 T T比較，得即t約為b的0.6倍。這是按第四強度理論得到的t與b之間的關系。它與實驗結果比較接近。習題10-1從低碳鋼零件中某點取出一單元體，其應力狀態(tài)如圖所示，試按第三和第四 強度理論計算單元體的相當應力。單元體上的應力為（單位：MPa）(1)；：. =40 , s a =40，：

17、=60。；：. =60 , ；一 . .go = 80 ,.= 40。；?。? =50 , ；一 . .go -0. =80。 c, - 40，:曠90、=50. =0。題10-1圖10-2上題中若材料為鑄鐵，試按第一和第二強度理論計算單元體的相當應力，"=0.3。10-3試對鋁合金（塑性材料）零件進行強度校核，已知！I -120MPa。危險點的主應力為（單位：MPa）（1） ；?1 =80， ；2 =70，匚 3 = -40。（2） ；1 =0，；一12 = _30 ， 3 = -100。（3 ） ；1 - -50，；2 -70，；3 -160。（4 ） c1 =140，二2 =1

18、40，二3 =110。10-4 試對鑄鐵零件進行強度校核，已知許用拉應力！J=30MPa，=0.3。危險點的主應力為（單位：MPa）（1） ；=30，:2 =20，:3 T5。（2）'1 =29，”-'2 =20，=3 - -20。（3 ） _'1 =29，“2 =0，”-3 - -20。10-5鋼制圓柱形薄壁容器，直徑為800mm，壁厚t= 4mm。！I -120MPa。試用強度理淪確定能承受的最大內(nèi)壓力p。10-6圖示為鋼軌與火車車輪接觸點處的應力狀態(tài)。已知 g =-650MPa , 匚2 =700MPa，匚3 =-900MPa。鋼軌材料的許用應力 ！-250MPa。試用強度理論校 核接觸點處材料的強度。題10-6圖10-7某薄壁球殼的內(nèi)徑為 200mm,其內(nèi)部壓強P = 15MPa，鋼的許用應力 U-160MPa。試按第三強度理論設計薄殼的壁厚。題10-7圖題10-8圖10-8圖示簡支梁，已知其材料的許用應力）-170MPa , !）-100M