最新高等巖石力學(xué)-應(yīng)力應(yīng)變分析復(fù)習(xí)教程

1、高等巖石力學(xué)教程 考試復(fù)習(xí)必看 第三章 應(yīng)變分析物體在外界作用下會發(fā)生運(yùn)動和變形,應(yīng)變分析的目的是研究物體局部幾何變化和物體內(nèi)各點(diǎn)的位移。這種研究以物體內(nèi)部各點(diǎn)的初始位置和它們之間的關(guān)系為基礎(chǔ)。物體的變形或位移是在外部作用下發(fā)生的,也與物體本身的性質(zhì)有關(guān),但應(yīng)變分析是從運(yùn)動學(xué)的角度關(guān)系研究物體的變形。不涉及外部因素,也不過問材料性質(zhì)。是一種不涉及引起物體運(yùn)動和變形的原因的純幾何分析。所得的結(jié)論適用于任何連續(xù)介質(zhì)。第一節(jié) 位移描述稱物體變形前在空間占據(jù)的幾何位置為構(gòu)形B ,變形以后占據(jù)的新的空間位置為構(gòu)形B /。變形前物體中的三個質(zhì)點(diǎn)P 、Q 、R ,變形后到達(dá)新的位置P /、Q /、R /。用

2、固定在空間中的笛卡兒坐標(biāo)系,同時描述新、老兩個構(gòu)形。我們以初始構(gòu)形中質(zhì)點(diǎn)的位置標(biāo)志質(zhì)點(diǎn)。這樣,P 、Q 、R 既是質(zhì)點(diǎn)的初始位置,也是質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(或標(biāo)志。位移的性質(zhì)物體的連續(xù)性要求,其初始構(gòu)形被不同的質(zhì)點(diǎn)連續(xù)地、無間隙地充填。其后繼構(gòu)形B / 被同樣的質(zhì)點(diǎn)連續(xù)地、無間隙地充填。從連續(xù)性假定,連同圖3.1可以得到位移與變形的下列性質(zhì):1、變形以前的點(diǎn)與變形以后的點(diǎn)有一一對應(yīng)關(guān)系。(從數(shù)學(xué)上,這意味著反函數(shù)存在且唯一,若連則反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也連續(xù)且唯一;P 1x 2x 3x 3(1(2(1e 2e 3e O QR'P 'Q 'R 圖3-1 B /B OP 'OP OQ

3、'OQ U U 0 PQ P /Q /2、物體中各點(diǎn)的位移一般是不同的; 從上面兩條性質(zhì)可以導(dǎo)出:3、位移是位置的單值連續(xù)函數(shù);4、物體中某點(diǎn)乃至物體整體的位移中包含了變形和剛體運(yùn)動。 相對位移矩陣(對連續(xù)體運(yùn)動和位移的一種數(shù)學(xué)描述 考慮物質(zhì)點(diǎn)P ,其坐標(biāo)為(x 0,y 0,z 0,位置矢量為OP 。變形后P 點(diǎn)運(yùn)動到P /點(diǎn),其坐標(biāo)為000(',','x y z ,位置矢量為'OP 。P 點(diǎn)的位移為0''=-U PP OP OP ,寫成分量形式有0000u v w =+U i j k (3-1物質(zhì)點(diǎn)Q 是P 點(diǎn)鄰域內(nèi)的一個點(diǎn),Q 點(diǎn)的坐

4、標(biāo)為(x ,y ,z ,位置矢量為OQ ,P 點(diǎn)和Q 點(diǎn)的坐標(biāo)分量之間有關(guān)系x =x 0+dx ; y =y 0+dy ; z =z 0+dz (3-2變形后Q 點(diǎn)運(yùn)動到Q /點(diǎn),Q /點(diǎn)的坐標(biāo)為(x /, y /, z /,位置矢量為'OQ ,Q 點(diǎn)的位移'QQ =U='OQ -OQ ,寫成分量形式為u v w =+U i j k (3-3 由于位移性質(zhì)3,P 點(diǎn)的位移U 可以寫成U 0(x 0,y 0,z 0,其分量形式為u 0(x 0,y 0,z 0;v 0(x 0,y 0,z 0;w 0(x 0,y 0,z 0 (3-4顯然,P /點(diǎn)的坐標(biāo)為x 0/=x 0+u

5、 0;y 0/=y 0+v 0;z 0/=z 0+w 0因此P 的位移的分量可從下式求出u 0= x 0/- x 0;v 0= y 0/- y 0;w 0= z 0/- z 0同理Q 點(diǎn)的位移可以寫為U (x , y , z ,或者U (x 0+dx , y 0+dy , z 0+dz 。其分量形式為u (x ,y ,z ;v (x ,y ,z ;w (x ,y ,z 或者u (x 0+dx ,y 0+dy ,z 0+dz ;v (x 0+dx ,y 0+dy ,z 0+dz ;w (x 0+dx ,y 0+dy ,z 0+dz (3-5 位移性質(zhì)3還表明,位移是位置的單值連續(xù)函數(shù),因此Q 點(diǎn)

6、的位移U 可以用P 點(diǎn)的位移U 0表示。即Q 點(diǎn)的位移分量u 、v 、w ,可以用P 點(diǎn)的位移分量u 0、v 0、w 0表示。將u 、v 、w 展開為P 點(diǎn)位移的Taylor 級數(shù),并略去二階以上小量(P PP u u uu u P dx dy dz x y z =+ 注意到u (P 就是u 0,并且記住各個偏導(dǎo)數(shù)都是在P 點(diǎn)進(jìn)行的,則上式可簡寫為0u u uu u dx dy dz x y z=+ (3-6a 同理可以得到0v v vv v dx dy dz x y z =+ (3-6b 0w w w w w dx dy dz x y z=+ (3-6c 用矩陣表示,則有000u u u x

7、y z u u dx v v v v v dy x y z w w dz w w w x yz =+ (3-7a 式中(,T u v w 是Q 的的位移矢量,000(,T u v w 是P 的位移矢量。P 點(diǎn)和Q 點(diǎn)的相對位移(即兩點(diǎn)位移之差為000uu u xy z u u dx v v v v v dy xy z w w dz ww w x yz - -= - (3-7b (3-7式右端的矩陣稱為相對位移矩陣。矩陣中的各個偏導(dǎo)數(shù),都是在P 點(diǎn)進(jìn)行的,即i ij ju u x x =P(i , j =x , y , z (3-7b 式還可寫成矢量形式ij ju dx r =u (i , j

8、=x , y , z (3-8 此處已令,x y z x y z u u u v u w x x x y x z=注意式左端的u 是相對位移矢量,不是位移矢量。(3-7和(3-8表明,只要P 點(diǎn)的位移已知,則P 點(diǎn)鄰域內(nèi)任一點(diǎn)Q 的位移都是已知的。第二節(jié) 變形描述物體的變形是通過一點(diǎn)鄰域內(nèi)的局部幾何變化描述的。討論伸長應(yīng)變需要研究連接P 點(diǎn)和 P /點(diǎn)的微線元長度的變化。討論角應(yīng)變需要通過研究連接P 點(diǎn)和P /點(diǎn)、Q /點(diǎn)組成的兩微線元夾角的變化。 應(yīng)變的定義(工程應(yīng)變正應(yīng)變也叫伸長度,其定義為 -=線元變形后的長度線元變形前的長度伸長度線元變形前的長度從上式可以看出,正應(yīng)變是線段相對長度的變

9、化,彈性力學(xué)中,以線元的伸長為正,壓縮為負(fù)。剪應(yīng)變也稱角應(yīng)變,其定義為角應(yīng)變=兩線元所夾角度的改變量在彈性力學(xué)中規(guī)定,若夾角減少,其角應(yīng)變?yōu)檎?反之角應(yīng)變?yōu)樨?fù)。 一點(diǎn)的應(yīng)變過P點(diǎn)做一個微小六面體,它的各個平面與坐標(biāo)面平行,因此,它的各個棱邊平行于 坐標(biāo)軸。我們規(guī)定過P 點(diǎn)且平行于各坐標(biāo)軸的線元(即微小六面體的棱邊長度的相對變化為x y z 、,并規(guī)定過P 點(diǎn)任意兩段線元夾角的改變?yōu)閤y yz xz 、。正應(yīng)變(伸長應(yīng)變 下面推導(dǎo)應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系,將圖3-2中的微小六面體投影到各個坐標(biāo)面上。研究原來互相垂直的兩個線元,AB 與AC 的相對位移與變形。按伸長度和應(yīng)變的定義,從圖2-3中

10、可以看出ABABB A x -=''', '''y A C A C AC -= (3-9a ,b A 點(diǎn)的坐標(biāo)為(x 0,y 0,A /點(diǎn)的坐標(biāo)為(x 0 + u 0,y 0 + v 0從圖中可以看出,線段AB 的長度為O x y zA CB Pdx dy dz圖3-2 xy O 圖3-3 A CB u dy y'''C 'C ''C xyuv dyy+dy v 'A 2xy-yx ''B 'B '''B v dx x v u dx x+dxu

11、AB = dx ,B /點(diǎn)在x 方向上的坐標(biāo)為00(Au x dx u dx x +,因此線段A /B /的長度為 A /B /= B /-A /即'''0000(1A Au uA B x dx u dx x u dx x x =+-+=+ 而''' A (1u uB AB dx dx dx x x-=+-= 上式已將A u x 簡記為ux。將以上兩式代入(3-9a 式得到 x udxu x dx x= (3-10a 線段AC 的長度為AC = dy 。C /點(diǎn)在y 方向的坐標(biāo)為00(Av y dy v dy y +,線段A /C /的長度為A

12、/C /= C /-A /即'''0000(1A Av vAC y dy v dy y v dy y y =+-+=+ 因此'''uAC AC dy y-= 上式已將A vy 簡記為v y。將以上兩式代入(3-9b 式得到 y vdyv ydy y= (3-10b 若將微小六面體投影到xoz 或yoz 平面,按同樣的做法可以得到z wz= (3-10c (3-10a ,b ,c 表明,u x ,v y ,w z分別是原來平行于x 、y 、z 軸的線元在x 、y 、z 方向的伸長度,即伸長應(yīng)變或正應(yīng)變。剪應(yīng)變(角應(yīng)變 現(xiàn)在考察線元AB 和AC 的夾

13、角的變化。定義yx 是原來平行于x 軸的線元AB 向y 方向的偏轉(zhuǎn)角,xy 是原來平行于y 軸的線元AC 向x 方向的偏轉(zhuǎn)角。xy 是原來垂直的兩線元AB 、AC 夾角的改變量,即xy yx xy =+ (3.11由于小變形,且AB 、AC 是微線元,這表明A /B /、A /C /也是微線元,因此 yx yx tg ,xy xy tg 從圖3.3可以看出'/'/yx yx B B tg A B=,/xy xy C C tg A C =/B 在y 方向的坐標(biāo)為00y v +,/B 點(diǎn)在y 方向的坐標(biāo)為000(Av y v dx x+,因此線段/A v B B dx x =,簡寫

14、為vdx x,這樣 (1yxvdx x u dxx=+ /C 點(diǎn)在x 方向的坐標(biāo)為00Aux u dy y +,/C 點(diǎn)在x 方向的坐標(biāo)為00x u +,因此線段/A u C C dy y =,簡寫為udy y,線段/0000(1A A v v A C y dy v dy y v dy y y =+-+=+簡寫為(1vdy y+,因此(1xy udy y v dyy=+在小變形情況下有1 , 1 1 , 1u u v v x y x y<<<<<<<< 因此,yx xy v ux y (3-11 a , b 這樣xy yx xy v ux y=+

15、=+ (3-12a 將微小六面體分別投影到xoz 平面和yoz 平面,按同樣的做法可以得到, ; , zx xz zy yz w u w vx z y z= 此處,zx 、xz 、zy 、yz 有類似于yx 、xy 的意義。zx xz zx u wz x=+=+ , y z z y y zw v y z =+=+ (3-12b ,c 現(xiàn)在我們搞清了相對于位移矩陣中的每一項(xiàng)的幾何意義。從上面的推導(dǎo)過程容易看出xz zy yx xy =zx yz ; ; (3-13即角應(yīng)變是對稱的,從角應(yīng)變的定義也同樣可以得到這個結(jié)論。 剛體轉(zhuǎn)動(對相對位移矩陣的進(jìn)一步分析 相對位移矩陣中,已經(jīng)扣除了剛體平動,但

16、包含剛體轉(zhuǎn)動,因而不能反映純變形。 證明如下:從圖3.4可以看出22yx xy +=因此11(2222yx xy xy =-=- (a 從圖3-4中還可以看出4yx +=+因此4yx =+-(b 將(a 代入(b可以得到11(2242yx xy yx yx xy =-+-=-注意到(3-11,并令z =,則有1(2z v ux y=- (3-14c xyO圖3-4xy2yx45o對比(3-12a 和(3-14c 11(22xy v u x y =+; 1(2z v u x y=- 可以看出z 不反映由變形引起的角度變化,因此是剛體轉(zhuǎn)動,實(shí)際上z 是微元體變形時,角平分線繞z 軸的剛體轉(zhuǎn)動。從(

17、3-12a 和(3-14c 還可以看到,11,22xy z xy z v uxy+=-= 同理可以得到,繞x 軸和y 軸的剛體轉(zhuǎn)動為1(2x w vy z=- (3-14a 1(2y u wz x =- (3-14b 同樣可以得到11,22yz y xz y uwzx+=-= 11,22yz x yz x v wzy -=+= 利用(3-14的關(guān)系,可以對相對位移矩陣可以作如下的分解11(2211(2211(22uu u u v uw u x y z x x yx z v v v u v v w v x y z y x y y z w w w u w v w wx yz z x z yz +

18、=+ + 110(2211(0(2211(022v u u w x y z x v u w v x yy z u w w v z x y z - +- - (3-15將(3-15簡記為(u =+ (3-16顯然12xy yx xy =,12yz zy yz =,12zx xz zx = (3-17按照前面的討論,(3-16式右端的第一個矩陣表示純變形,因此稱為應(yīng)變矩陣。顯然應(yīng)變矩陣是對稱的。(3-16式右端第二個矩陣反映剛體轉(zhuǎn)動,因此稱為轉(zhuǎn)動矩陣,顯然轉(zhuǎn)動矩陣的反對稱的。一般約定當(dāng)兩個下標(biāo)重復(fù)時,只記一個下標(biāo),即xx x =,yy y =,zz z =。則應(yīng)變矩陣為112211221122x

19、xy xz yx yyz zx zy z 如果記2x p =,2y q =,2z r =則上式右端第二個矩陣可記為000r q rp q p - - -(3-19 (3-19式稱為轉(zhuǎn)動矩陣,是反對稱的。轉(zhuǎn)動矩陣還可以記為xx xy xz ij yxyy yz zxzy zz = (i , j =x , y , z (3-20 顯然2x zy yz p =-=,2y xz zx q =-=,2z yx xy r =-=0xx yy zz = (3-21按照上面的分析和理論力學(xué)中關(guān)于轉(zhuǎn)動的定義,可以看出x y z 、是矢量,分別表示繞x 軸、y 軸和z 軸的轉(zhuǎn)動,它們的合矢量是x y z =+i

20、j k (3-22轉(zhuǎn)動矢量和它的每一個分量,還可以寫成以下便于記憶的方式=U (3-23 此處x y z =+ij k (3-24 是矢量微分算子,稱為Hamilton 算子(operator,U 是位移矢量。按矢量分析i j kx y z uvw= (3-25 從(3-25式很容易看出2x w u p y z =-;2y u wq z x=-;2z v u r x y =- (3-26位移的分解與合成 從上面的分析可以得到,微線元'PP 的位移由三部分組成:1、跟隨P 點(diǎn)的剛體平移000u v w 、;2、線元'PP 的剛體轉(zhuǎn)動x y z 、,(或者p 、q 、r ;3、線元

21、的伸長變形。第三節(jié) 線元長度和夾角的改變上一節(jié)的討論是針對特殊的線元,即過P 點(diǎn)的,平行于x 、y 、z 方向的線元展開的。 由此出發(fā),對相對位移矩陣中各元素的幾何意義進(jìn)行了討論。這引出一個問題,以上對特殊線元的討論能否推廣到一般情況,即過P 點(diǎn)的任意方向的一個微線元的伸長度和過P 點(diǎn)的任意兩個方向微線元夾角的改變,下面的討論將證明:只要P (x , y , z 處的應(yīng)變已知,則過P 點(diǎn)的任意方向微線元的伸長度和兩個微線元夾角的改變都可以決定。也就是說,只要P 點(diǎn)的應(yīng)變已知,則P 點(diǎn)鄰域內(nèi)的變形狀態(tài)就被確定了。 任意有向線段的伸長度(正應(yīng)變討論圖3-6中過P 點(diǎn)的微線元PM 長度的變化。從圖3

22、-6中可以看到,變形以后P 點(diǎn)運(yùn)動到P /點(diǎn),M 點(diǎn)運(yùn)動到M /。微線元PM 變?yōu)镻 M ''。n 1和n 2是變形前后微線元上的單位矢量。P 點(diǎn)的坐標(biāo)為(x 0, y 0, z 0,M 點(diǎn)的坐標(biāo)為(x 0+dx , y 0+dy , z 0+dz 。記有向線段PM 為d r ,d r 的方向余弦為(l , m , n 。因此,d r 在x 、y 、z 方向上的投影為,dx dr l dy dr m dz dr n = (3-26式中dr d =r 是線段PM 的長度。'P PM'M ''M '''M 圖3-5x zP&#

23、39;P M n 'M 1nO y 圖3-6若P 點(diǎn)在x , y ,z 方向位移的分量分別u 0 (x 0, y 0, z 0,v 0 (x 0, y 0, z 0 和w 0 (x 0, y 0, z 0已知,則按位移的性質(zhì)3,M 點(diǎn)在x , y ,z 方向位移的分量分別為0000(,u u u u x dx y dy z dz u dx dy dz x y z+=+ 上式可改寫為01111(2222u u v u w v u u wu u dx dy dz dy dz x y x z x x y z x=+-+- 利用幾何方程上式變?yōu)?x xy xz z y u u dx dy dz

24、 dy dz =+-+ (3-27a 同理001111(2222xy y yz x z v v u v w w v v u v v dy dx dz dz dx y x y z y y z x y v dx dy dz dz dx=+-+-=+-+ (3-27b 001111(2222zx zy z y x w u w v w u w w vw w dx dz dz dx dyx z y z z z x y z w dx dy dz dx dy=+-+-=+-+ (3-27c 以上各方程右端的位移和導(dǎo)數(shù)均在(x 0, y 0, z 0處取值。變形以后P 點(diǎn)運(yùn)動到P /點(diǎn),坐標(biāo)為(x 0+u 0

25、, y 0+v 0, z 0+w 0,M 點(diǎn)運(yùn)動到M /點(diǎn),坐標(biāo)為(x 0+dx +u , y 0+dy +v , z 0+dy +w 。變形以后線段PM 變?yōu)?#39;'P M 。記有向線段''P M 為d r /,d r /長度為'dr 。'dr 在x , y ,z 方向的三個分量分別為0'dx dx u u =+-;0'dy dy v v =+-;0'dz dz w w =+- (3-28''P M 的長度的平方為2222000('(dr dx u u dy v v dz w w =+-+-+- (3

26、-29將(3-27a , b , c 式代入(3-29式得到2222('(x xy xz z y xy y yz z x zx zy z y x dr dx dx dy dz dy dz dy dx dydz dx dz dz dx dy dz dx dy =+-+-+-+ (a 上式兩端被dr 2除,并注意到,dx dydzl m n drdrdr= (b 因此22222('(1(1(1x xy xz z y xy y yz z x zx zy z y x dr l m n m n l m n l n drl m n l m =+-+-+-+ 展開上式并注意到對于小變形,可以

27、忽略應(yīng)變的交叉項(xiàng)和平方項(xiàng),便得到22222222222('(12222(12222(12222(1444(1(1x xy xz z y y xy yz z x z zx zy y x x xy xz yz y z dr l lm nl lm nl m lm mn drml mn n nl mn nl nm l lm nl mn m n =+-+-+-+=+ 化簡上式得到222222('(1(1(1444x y z xy xz yz dr l m n lm nl mn dr=+ 注意到對小變形x x 211(2+;y y 211(2+;z z 211(2+得到2222222222

28、2222('(12(12(12444(222444122(x y z xy zy zx x y z xy zy zx x y z xy zy zx xy dr l m n ml mn nl drl m n l m n ml mn nl l m n ml mn nl ml + (3-30另一方面,由伸長度的定義,線段PM 的正應(yīng)變?yōu)?#39;PM dr drdr-=(3-31a '(1P M dr dr =+ (3-31b 因此222('(1P M dr dr=+ (3-32a 同理P M 的平方項(xiàng)可以忽略,這樣22('12PM dr dr + (3-32b 將(

29、3-32b 代入(3-30得到22212122(x y z xy yz xz PM l m n lm mn nl +=+2222(x y z xy yz xz PM l m n lm mn nl =+ (3-33上式表明,如P 點(diǎn)的應(yīng)變已知,則過P 點(diǎn)的任意方向的有向線段的伸長度已知。如線段PM 平行于x 軸,則它的方向余弦為(l ,0,0,由(3-33式可導(dǎo)出x PM = (3-34a 若PM 平行于y 軸,其方向余弦為(0,m ,0,則從(3-33式得到y(tǒng) PM = (3-34b 若PM 平行于z 軸,其方向余弦為(0,0,n ,則從(3-33式得到z PM = (3-34c 以上是對過P

30、 點(diǎn)的任意有向線元PM 變形的分析得到的(3-34式,與前面PM 為平行坐標(biāo)軸的有向線元變形的分析一致。這再一次表明,x 、y 、z 分別是原來平行于x 、y 、z 軸的有向微線元的伸長度。任意兩個有向線元夾角的變化(角應(yīng)變考察過P 點(diǎn)兩條有向線段PM 和PN ,PM 的方向余弦(l , m , n ,PN 的方向余弦(l 1, m 1, n 1。變形以后,P 點(diǎn)、M 點(diǎn)、N 點(diǎn)運(yùn)動到P /點(diǎn)、M /點(diǎn)、N /點(diǎn),相應(yīng)的有向線段為''P M 、_''P N 。它們的方向余弦分別為(l /,m /,n / 、(l 1/, m 1/, n 1/ 。變形前PM 的長度

31、為dr ,變形后''P M 的長度為dr /。因此'''dr dx l =,'''dr dy m =,'''dr dz n = (3-35式中,dx /、dy /、dz /是dr /在x 、y 、z 方向的投影長度,由(3-28式確定。將(3-27a 代入(3-28的第一式可得'(1x xy xz z y dx dx dy dz dy dz =+-+因此(1''''x xy xz z y dx dy dz dy dzdx l dr dr +-+=將(3-31b 代入上

32、式可得(1(1'(11x xy xz z y x xy xz z y P M P Mdx dy dz dy dzl m n m nl dr+-+-+=+ (3-36利用級數(shù)展開的技巧2311(1(1(11(1PMPMPMPMm mm m PM PM +-+-+-=+- (m 可以得到23111(1111(1m mP M P M P M P M m m P MP M +-+-+-=+- (m 對于小變形,分母中的1m PM +可忽略,因此2311(11P MP MP Mm mP M P M-+-+-+ (m (3-37將(3-37代入(3-36得到M 'N 'P '

33、;/1n 1n /n nPMNx yz'圖3-723'(1(1(1P MP MP Mm mx xy xz z y P M l l m n m n =+-+-+-+- (m 對于小變形,應(yīng)變的乘積項(xiàng)可以忽略,因此''(1'x xy xz z y PM dx l l m n m n dr =-+-+ (3-38a 同理'(1xy y yz x z PM m l m n n l =+-+-+ (3-38b '(1xz yz z y x PM n l m n l m =+-+-+ (3-38c 以上是對微線元PM 變形的分析得到的,應(yīng)用同樣的分析

34、方法,推導(dǎo)微線元PN 的變形可以得出111111'(1x xy xz z y PN l l m n m n =-+-+ (3-39a 111111'(1xy y yz x z PN m l m n n l =+-+-+ (3-39b 111111'(1xz yz z y x PN n l m n l m =+-+-+ (3-39c 變形以前有向線段PN 和PM 的夾角是,按矢量代數(shù)111111222222111cos cos (, ll mm nn PN PM ll mm nn l m nl m n+=+ (3-40a 變形以后,有向線段''P M 和&

35、#39;'P N 的夾角是'111cos 'cos ('','' ''''''P N P M l l m m n n =+ (3-40b 由(3-38a 和(3-39a 可以得到111111''(1(1x xy xz z y PM x xy xz z y PN l l l m n m n l m n m n =-+-+-+-+略去應(yīng)變的平方項(xiàng)和交叉項(xiàng),得到1111111111''(12(x xy xz PN PM z y l l ll lm ml ln nl

36、lm ml ln nl =-+-+同理1111111111''(12(y xy yz PN PM x z m m mm lm ml nm n m nm mn lm ml =-+-+1111111111''(12(n (n (z xz yz PM PN y x n n nn l nl nm n m l nl mn nm =+-+-+因此2(2(n (x y z xy yz xz PM PN l l m m n n ll mm nn lm ml nm n m l nl ll mm nn +=+-+從上式和(3-40式得到111111111cos 'cos 2

37、(2(2(2(n (cos x y z xy yz xz PM PN ll mm nn lm ml nm n m l nl -=+-+ (3-40由于(l , m , n 和(l 1, m 1, n 1是已知的,因此可以從(3-33求出P M ,并按照方向余弦依次替換的方法還可以從(3-33式求出P N 。另外由于有向線段PM 和PN 變形前的夾角是已知的,因此(3-40中的cos 也可以求出。這樣變形后兩線段的夾角'可以從(3-40中求出,并可進(jìn)一步求出變形前后線段角度的變化'=-。下面討論一種特殊的情況。變形以前有向線段PM 和PN 互相垂直,但不平行坐標(biāo)軸的情況。如圖3-

38、8 所示。從三角學(xué)可以得到''cos 'cos 2sin(sin(2222-=+- 證明如下:cos 'cos 2cos 12'cos 1(22cos 2'(cos 22cos 2'cos 1(2'cos 2cos 1(22'sin 2cos 2'cos 2(sin 22'sin 2cos 2'cos 2(sin 2'sin 2cos 2'cos 2(sin 22'2sin(22'sin(22222222222-=+-+=-=-=-=-+=-+如果令'=+,并

39、且2=,則cos 'cos 2sin(sin(2cos sin2222+-= 對于小變形1<<,因此sin02,cos 12,這樣 cos 'cos -,02coscos =MP N n 1n 2x yzO'M 'N 'P 2+圖3-8因此從(3-40可以得到1111111112(2(2(2(x y z xy yz xz ll mm nn lm ml nm n m ln nl =+ (3-41可以用另外一種方式得到(3-41,若'=+,則將cos '展開為處的Taylor 級數(shù),可得23cos 1cos 'cos si

40、n (sin (2!3!=-+-+ 略去二階以上小量cos 'cos sin -cos 'cos sin -=-若2=,則cos 'cos -=-上式右端的負(fù)號表示變形后兩線段夾角增加。 從(3-41出發(fā),我們討論一些特殊情況1、若PM 平行于x 軸,PN 平行于y 軸,PM 的方向余弦(l , m , n =(1, 0, 0, PN 的方向余弦(l 1, m 1, n 1=(0, 1, 0,將它們代入(3-41,得到2xy xy = (3-42a 2、若PM 平行于y 軸,則方向余弦(l , m , n =(0, 1, 0,PN 平行于z 軸,方向余弦(l 1, m

41、1, n 1=(0, 0, 1,將它們代入(3-41,得到2yz yz = (3-42b 3、若PM 平行于z 軸,則方向余弦(l , m , n =(0, 0, 1,PN 平行于x 軸,方向余弦(l 1, m 1, n 1=(1, 0, 0,將它們代入(3-41,得到2zx zx = (3-42c 上面的討論表明,xz yz zx 、分別表示原來平行于坐標(biāo)軸的兩個線段,變形以后角度的改變。與3.1節(jié)討論的結(jié)果一致。這是意料之中的。但必須指出,這些結(jié)論只有在小變形的條件下才成立。第四節(jié) 應(yīng)變張量的坐標(biāo)變換如果我們令有向線段PM 、PN 、PQ 兩兩垂直,張成新的坐標(biāo)空間,PM 是x / 軸,P

42、N 是y / 軸,PQ 是z / 軸,并且新舊坐標(biāo)之間的關(guān)系如表3-1所示x('N y z (O P ('M x yQ則從(3-33可以得到新坐標(biāo)系中的正應(yīng)變''',x y z ,從(3-40可以得到,新坐標(biāo)系中的剪應(yīng)變''''''x y y z z x ,它們?yōu)?22'111111111x x y z xy yz zx l m n l m m n l n += (3-41a 222'222222222y x y z xy yz zx l m n l m m n l n =+ (3-41b

43、222'333333333z x y z xy yz zx l m n l m m n l n =+ (3-41c x y y x x y z xy yz zx l l m m n n l m l m m n m n l n l n =+ (3-41d ''''232323233223322332(y z z y x y z xy yz zx l l m m n n l m l m m n m n l n l n =+ (3-41e z x x z x y z xy yz zx l l m m n n l m l m m n m n l n l n =+

44、 (3-41f 將(3-41寫成矩陣形式,有'''''111123'''''222123'''''333123x x y x z xxy xz x y y y z xyy yz x z y z z xz yz z l m n l l l l m n m m m l m n n n n = (3-42 (3-42式正是二階張量的定義,這表明一點(diǎn)的應(yīng)變分量的集合是二階張量。且(3-42式與應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換類似,也可以簡寫為('(T L L = (3-43式中111222

45、333(l m n L l m n l m n = 是坐標(biāo)變換矩陣,(T L 是它的轉(zhuǎn)置。 (3-42式還可以寫成如下形式''''i j i i j j ij L L = (3-44x y z x / l 1 m 1 n 1 y / l 2 m 2 n 2 z /l 3m 3n 3表3-1按應(yīng)力分量坐標(biāo)變化的類似方法,對新坐標(biāo)系中第k 行,第l 列的應(yīng)變分量'''k l 也可以得到下列變換公式/1''12322(,(l k l k k k l ll l l l l l = (3-45 可以驗(yàn)證(3-45與(3-44完全相同

46、,但(3-45對于只學(xué)過矢量分析而沒有學(xué)過張量分析的人更便于記憶。*利用下標(biāo)記法記號,應(yīng)變分量還可表示為,1(,1232ij i j j i u u i j =+=、逗號前的下標(biāo)是分量指標(biāo),逗號以后是導(dǎo)數(shù)指標(biāo),式中,(k 表示( 對坐標(biāo)k x 求偏導(dǎo)即,j ii j j i jiu u u u x x =同樣轉(zhuǎn)動分量可以表示成,1(,1232i j i j j i u u i j =-=、,1(2ij k i jk j ik u u =- (3-46由于,11(,(22jk i j ki k ji ik j i kj k ji u u u u =+=+ (3-47a ,b 若位移i u 二階導(dǎo)

47、數(shù)存在且連續(xù),則可交換求導(dǎo)順序,因此上式變?yōu)?11(,(22jk i j ik k ji ik j i jk k ji u u u u =+=+ (3-48a ,b 對比(3-48a ,b 和(3-46可得應(yīng)力分量和轉(zhuǎn)動分量有下列關(guān)系,ij k ik j jk i =- (3-49必須注意的是到下面九個量的全體x xy xz yx y yz zxzyz 不是張量。以上對應(yīng)變ij 是二階張量的證明是將式(3-44表示的應(yīng)變的坐標(biāo)變換,與式(2+表示的應(yīng)力的坐標(biāo)變換進(jìn)行比較得到的,但是應(yīng)變分量的坐標(biāo)變換也完全可以由分析的方法得到,并同時得到應(yīng)變ij 是二階張量的結(jié)論。將兩組坐標(biāo)系分別記為123ox

48、 x x 和/123ox x x ,如圖3.10所示,表3-2和表3-3是這兩個坐標(biāo)系坐標(biāo)變換的兩種等價的表示方法。表3-3中j i 是舊坐標(biāo)系123ox x x 中j 方向的單位矢量,/j i 是新坐標(biāo)系/123ox x x 中j /方向的單位矢量。對比表1和表2有/l klk l =i i ,此處第一個下標(biāo)“l(fā) ”表示行號,第二個下標(biāo)“k ”表示列號,并且規(guī)定以新系中的坐標(biāo)方向表示行號,以舊系中的坐標(biāo)方向表示列號,在這樣的規(guī)定下/l k k l lk l =i i i i相對于這兩個坐標(biāo)系,物體中任一點(diǎn)P 的位置矢量為/,k k m m x x =P i P i (3-50a,b 顯然,這

49、兩個矢量是對同一點(diǎn)P 的位置的不同表示方法,而P 的的位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān),因此它們相等,有/=P P (3-51/k k m m x x =i i (3-52先用k i ,然后用/m i 與上式做內(nèi)積(此處就是矢量的點(diǎn)積,并注意到上面關(guān)于方向余弦的規(guī)定有/k m m k mk mm k k mmk kx x l x x x l x =i i i i (3-53a,b 從上式可以得到1 2 3 1/l 11 l 12 l 13 2/ l 21 l 22 l 23 3/l 31l 32l 331231/ /11i i /12i i /13i i 2/ /21i i/22i i/23i i3/3

50、1i i /32i i /33i i表3-2 新舊坐標(biāo)的變換關(guān)系表3-3 新舊坐標(biāo)的變換關(guān)系 1(x x ''3(x z ''1(x x 2(x y 3(x z 2(x y ''P1i 2i 3i 1i '2i '3i '圖3.10/,kmmk mk kmx x l l x x = (3-54a,b 另一方面利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可以得到/k k mmk ml l lm k k mkm lm m l l x x x l l x x x x x x l l x x x = (3-55a,b 在式(3-55a,b 中,m 是啞標(biāo)

51、,對m 求和展開后得到112233mk ml k l k l k l l l l l l l l l =+ (3-56a 112233km lm k l k l k l l l l l l l l l =+ (3-56b 從表3-2容易看出,式(3-56a 是兩個列向量的點(diǎn)積,式(3-56b 是兩個行向量的點(diǎn)積。由于123ox x x 和/123ox x x 都是正交坐標(biāo)系,因此,mk ml kl km lm kl l l l l = (3-57a,b 此處,km 是Kronercker 符號1km k l k l=當(dāng)當(dāng) (3-58(3-57 表示不同的行向量的點(diǎn)積為零,相同行向量的點(diǎn)積為1。(3-58 表示不同的列向量的點(diǎn)積為零,相同列向量的點(diǎn)積為1。從(3-57a,b 和(3-58還可以得到mk ml km lm l l l l = (3-59即將兩個下標(biāo)成對交換,結(jié)果不變?，F(xiàn)在求