(整理)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(交)

1、2012-2013第一學(xué)期本科高等數(shù)學(xué)教案授課院系授課專業(yè)授課班級(jí)授課教師蘭州工業(yè)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教案教師姓名授課班級(jí)授課時(shí)數(shù)2授課形式講授所用教具授課日期所用教材高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)6版）參考書(shū)目教學(xué)手 段板書(shū)多媒體混合口授課章節(jié)名稱第八章 多元函數(shù)微分學(xué) 計(jì)節(jié)多元函數(shù)的基本概念教學(xué)目的要求1、理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義；2、理解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù) 的性質(zhì)，會(huì)求簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限問(wèn)題；3、通過(guò)與F函數(shù)相應(yīng)概念的比較，培養(yǎng)學(xué)生分析與解決問(wèn)題的能力。教學(xué)重點(diǎn)1、二元函數(shù)的概念；2、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性。教學(xué)難點(diǎn)二元函數(shù)的極限問(wèn)題更新補(bǔ)充 內(nèi)容教學(xué)提綱一

2、、復(fù)習(xí)引入1 .復(fù)習(xí)一元函數(shù)的有關(guān)概念，引入二元函數(shù)的概念。二、知識(shí)模塊12 .平向點(diǎn)集和n維空間3 .多元函數(shù)概念三、知識(shí)模塊21 .多元函數(shù)的極限2 .多元函數(shù)的連續(xù)性.四、課堂練習(xí)P62 習(xí)題 9-1 1 、5、6課外作 業(yè)P62、P63 習(xí)題 9-1 2、6、(2) (3) (5)7、(1) (2)課后體 會(huì)與總 結(jié)多兀函數(shù)可看作一無(wú)函數(shù)的推廣，因而多兀函數(shù)的許多相關(guān)概念與一人 函數(shù)的類似，在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的一些概念時(shí)要與一元函數(shù)的做比較，這 方面可以復(fù)習(xí)F函數(shù)的知識(shí)，另一方面可以讓我們更容易學(xué)習(xí)多 元函數(shù)的內(nèi)容。授課主要內(nèi)容一、復(fù)習(xí)引入(或背景介紹、體系介紹、歷史演變介紹、專業(yè)應(yīng)用介紹

3、等)一元函數(shù)是只含有一個(gè)自變量的函數(shù)，但在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到一個(gè)因變量依賴于幾個(gè)自變量的情形，這就引入多元函數(shù)的概念。二、平面點(diǎn)集和n維空間1、平面點(diǎn)集的相關(guān)概念(1)平面點(diǎn)集：坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合.稱為平面點(diǎn)集.記作E=(x,y)(x,y)具有性P(2)鄰域：設(shè) P0(x0, y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)，6是某一正數(shù)。與點(diǎn) P)(x0, y0)距離小于6的點(diǎn)P(x, y)的全體，稱為點(diǎn)Po的6鄰域，記為U(P0,6),即U(Po, ) =P| |PPo 卜:, 或U(P0, ) =(x, y)| . (x-%)2 (y-y0)2 :、注：鄰域的幾何意義：U(P0,6)表示

4、xOy平面上以點(diǎn)Po(x0,yo)為中心、6 0為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)P(x, y)的全體。CC點(diǎn) P0的去心 5 鄰域，記作 u (P0, $),即 U (P0, 6) =P | 0 | F0P|0,h 0內(nèi)取定一對(duì)值(r,h)時(shí)，V對(duì)應(yīng)的值就隨之確定。一 RT例2. 一定量的理想氣體的壓強(qiáng) P、體積V和絕對(duì)溫度T之間具有關(guān)系p =RT，其中R為常數(shù)。這里，當(dāng)V、T在集合(V,T)V 0,T 0內(nèi)取定一對(duì)值(V,T)時(shí)，P的對(duì)應(yīng)值就隨之確定。定義2：設(shè)D為平面上的一個(gè)非空點(diǎn)集。如果對(duì)于D中每一點(diǎn)P(x, y),按照法則f，總有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)，則稱 f是D上的二元函數(shù)，記為z=f(x,

5、y), (x, y)亡 D 或 z = f (P) , Pe D點(diǎn)集D稱為函數(shù)的定義域，x,y稱為自變量，z稱為因變量。注：(1)在定義2中，D中每一點(diǎn)(x, y)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)z稱為f在點(diǎn)(x, y)的函數(shù)值；數(shù)集zz= f(x, y),(x,y) W D稱為該函數(shù)的值域；點(diǎn)集 S=(x, y, z) z = f (x, y),( x, y)w D 稱為二元函數(shù) 的圖形。(2)關(guān)于二元函數(shù)的定義域，我們作如下約定：如果該函數(shù)采用解析式表示，而沒(méi)明確指出定義域，則該函數(shù)的定義域理解為使這個(gè)解析式有意義的那些點(diǎn)所組成的點(diǎn)集，這種點(diǎn)集也稱為該函數(shù)的自然定義域。例 3.求函數(shù) f (x, y) =ln(

6、x +y) + Ji -x2 - y2 的定義域。定義3：設(shè)D是n維空間Rn的非空子集。如果對(duì)于 D中每一點(diǎn)P(x1,x2,|i,xn),按照某一法則f總 有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在 D 上的n元函數(shù)。記作 y = f (xi,x2,|,xn) , (xi, x2,| ,xn) W D，或 y = f (P) , PW D。點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域，xi, x2,| , xn 稱為自變量，z稱為因變量。在定義中，D中的點(diǎn)P(xi,x2,|,xn)唯一確定的數(shù) y稱為f在點(diǎn)P的函數(shù)值。值域和 n元函數(shù)的圖 形也可類似地定義。四、多元函數(shù)的極限我們先討論二元函數(shù) z=f(x,y)

7、當(dāng)xt x0, yT y0,即P(x,y)T F0 (x, y)時(shí)的極限。這里Pt F0表示點(diǎn)P以任何方式趨于點(diǎn)Po ,也就是點(diǎn)P與點(diǎn)Po間的距離趨于零，即 PP0|=Mx-x。)2 +(y-y。)2 t 0。與一元函數(shù)的極限概念類似，如果在P(x,y)T Po(xo, yo)的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f(x,y)無(wú)限接近一個(gè)確定的常數(shù) A,我們就說(shuō)A是函數(shù)xt x0, yT y0時(shí)的極限。下面用“君-6”語(yǔ)言描述這個(gè)極 限概念。定義2設(shè)函數(shù)f(x,y)在開(kāi)區(qū)域(或閉區(qū)域) D內(nèi)有定義，Po(xo,yo)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)。如果 對(duì)于任意給定的正數(shù) 名，總存在正數(shù)6 ,使得對(duì)于適合不等式O PF

8、O| = v(x-xo)2 + (y - yo)2 6的一切點(diǎn)P(x, y)w D ,都有|f(x,y)A 名成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x, y)當(dāng)xt&, yT y0時(shí)的極 限，記作lim f (x, y) = A,x Jxo或 f(x,y)T A ( Pt 0),這里 P= PR o為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。22、 .122_設(shè) f (x, y) =(x + y ) sin -2( x + y 0 0),x y求證lim f (x, y) = 0。x0y 0因?yàn)?x2 + y2) sin=(x2 + y2) sin220,取 6 =,則當(dāng) 0 J(x 0)

9、2 +(y-0)2 6 時(shí)，總有221(x y )si n2x y-0 成立所以 limf(x,y)=0jx0我們必須注意，所謂二重極限存在，是指 P(x, y)以任何方式趨于P0 (x, y)時(shí)，函數(shù)都無(wú)限接近于A。因此，如果P(x,y)以某一種特殊方式，例如沿著一條直線或定曲線趨于P0(x, y)時(shí)，即使函數(shù)無(wú)限接近于某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)的極限存在。但是反過(guò)來(lái)，如果當(dāng)P(x, y)以不同方式趨于P0(x, y)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。下面用例子來(lái)說(shuō)明這種情形?？疾旌瘮?shù)xyf (x, y) = x2y20,22x2y2 : 0,22xy= 0,顯

10、然，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿x軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)，lim f (x,0) = lim 0 = 0 ；又當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿y軸趨于點(diǎn)x 0x 0(0,0)時(shí)，lim f (0, y) =lim 0 = 0。y0y0雖然點(diǎn)P(x, y)以上述兩種特殊方式(沿x軸或沿y軸)趨于原點(diǎn)時(shí)函數(shù)的極限存在并且相等，但是則f(x, y)x:0 y Q并不存在.這是因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P(x,y)沿著直線y=kx趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)，有l(wèi)imx 0 y =kx0xy2 .2x ykx2x2 - k2y2k1 k2顯然它是隨著k的值的不同而改變的以上關(guān)于二元函數(shù)的極限概念 ，可相應(yīng)的推廣到n元函數(shù)u = f(P)即u= f(x1,

11、x2，xn)上去。關(guān)于多元函數(shù)極限的運(yùn)算，有與一元函數(shù)類似的運(yùn)算法則例 5 求 limsn(X”y 02 x解： 這里f(x, y) =sin(xy)在區(qū)域Di =(x,y)x 0內(nèi)都有定義,P0(0,2)同時(shí)為Di及D2的邊界點(diǎn)。但無(wú)論在 Di內(nèi)還是在D2內(nèi)考慮，下列運(yùn)算都是正確的：|im y = 12 = 2。.sin(xy). sin(xy)lim = limX )0 xxy Q xyy2五、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)函數(shù)f(x, y)在開(kāi)區(qū)域(閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0, y0)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且 P w D。如果lim f (x,y) = f (X0, y0),X X0 y y0

12、則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù)。如果函數(shù)f (x, y)在開(kāi)區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)，那么就稱函數(shù)f (x, y)在D內(nèi)連續(xù)，或者稱f (x, y)是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。以上關(guān)于二元函數(shù)的連續(xù)性概念，可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去。若函數(shù)f (x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱P。為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn)。這里順便指出：如果在開(kāi)區(qū)域(或閉區(qū)域) D內(nèi)某些孤立點(diǎn)，或者沿 D內(nèi)某些曲線，函數(shù) f (x, y)沒(méi)有定義，但在 D內(nèi)其余部分都有定義，那么這些孤立點(diǎn)或這些曲線上的點(diǎn)，都是函數(shù)f(x, y)的不連續(xù)點(diǎn)，即間斷點(diǎn)。xy f (x, y) x2y20前面已經(jīng)討

13、論過(guò)的函數(shù)x2，-二 0,x2 y2 =0,當(dāng)XT*。，yT y0時(shí)的極限不存在，所以點(diǎn)(0,0)是該函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)。二元函數(shù)的間斷點(diǎn)可以形成一條曲線，例如函數(shù)1z = sin 2x y -1在圓周x2 +y2 =1上沒(méi)有定義，所以該圓周上各點(diǎn)都是間斷點(diǎn)。與閉區(qū)域上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，在有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)。性質(zhì)1 (最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。這就是說(shuō)，在D上至少有一點(diǎn) R及一點(diǎn)P2,使彳導(dǎo)f(Pi)為最大值而f(P2)為最小值，即對(duì)于一切PC D,有f(P2)三 f(P)工 f(R).性質(zhì)2 (介值定理) 在有界

14、閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。特殊地，如果N是函數(shù)在D上的最小值 m和最大值M之間的一個(gè)數(shù)，則在 D上至少有一點(diǎn)Q ,使得f (Q) = N。一元函數(shù)中關(guān)于極限的運(yùn)算法則，對(duì)于多元函數(shù)仍然適用；根據(jù)極限運(yùn)算法則，可以證明多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積均為連續(xù)函數(shù)；在分母不為零處，連續(xù)函數(shù)的商是連續(xù)函數(shù)。多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù) 也是連續(xù)函數(shù)。與一元的初等函數(shù)相類似，多元初等函數(shù)是可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)，而這個(gè)式子是由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的(這里指出，基本初等函數(shù)是一元函數(shù)， 在構(gòu)

15、成多元初等函數(shù)時(shí)，它必須與多元函數(shù)復(fù)合)。例如，x x2 - y21 x2是兩個(gè)多項(xiàng)式之商， 它是多元初等函數(shù)。 又例如sin(x十y)是由基本初等函數(shù)sin N與多項(xiàng)式N = x+y復(fù) 合而成的，它也是多元初等函數(shù)。根據(jù)上面指出的連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性以及連續(xù)函數(shù)的復(fù)合的連續(xù)性，再考慮到多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)的連續(xù)性，我們進(jìn)一步可以得出如下結(jié)論：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點(diǎn)P0處的極限，而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，即PimPo f (P) = f(Po

16、).x y例6求hm.y 12 xyx V解 函數(shù)f(x,y)=y是初等函數(shù)，它的定義域?yàn)镈 =(x,y)x=0,y #0。xy因D不是連通白！故 D不是區(qū)域。但 D1 =(x,y)x0,y0是區(qū)域，且D1 u D ，所以D是函數(shù)f (x, y)的一個(gè)定義區(qū)域。因 Po(1,2) w D1,故網(wǎng)口 = f(1,2) = 3.* xy2如果這里不引進(jìn)區(qū)域 Di,也可用下述方法判定函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)Po(1,2)處是連續(xù)的：因 Po是f(x,y)的定義域D的內(nèi)點(diǎn)，故存在 F0的某一鄰域U(Po)u D ,而任何鄰域都是區(qū)域，所以 U(Po)是 f(x,y)的一個(gè)定義區(qū)域，又由于 f(x,y)是初

17、等函數(shù)，因此 f(x, y)在點(diǎn)P。處連續(xù)。一般地，求lim f(P),如果f(P)是初等函數(shù)，且Po是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則f (P)在點(diǎn)Po處 P-Po連續(xù)，于是 lim f (P) = f (Po)。行xy 1-1例7 求lim。x xy yo屈3 r ,xy 1 -1xy 1 -111斛 lim= lim= lim f=-。y o xy * xy(、xy 1 1)*.xy 1 1 2蘭州工業(yè)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教案教師姓名授課班級(jí)授課時(shí)數(shù)2授課形式講授所用教具授課日期所用教材高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)6版）參考書(shū)目教學(xué)手 段板書(shū)多媒體混合口授課章節(jié)名稱第八章 多元函數(shù)微分學(xué)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的要求1

18、、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念；掌握多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；2、了解高階偏導(dǎo)數(shù)的求法；3、培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力教學(xué)重點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)的概念和求法教學(xué)難點(diǎn)高階偏導(dǎo)數(shù)的求法更新補(bǔ)充 內(nèi)容教學(xué)提綱一、復(fù)習(xí)引入1 .復(fù)習(xí)F函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，由F導(dǎo)數(shù)的概念引入多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的 概念二、知識(shí)模塊12 .偏導(dǎo)數(shù)的定義3 .偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算三、知識(shí)模塊21.高階偏導(dǎo)數(shù).XX課堂練習(xí)P69 習(xí)題 9-2 1 ; 6.XX課堂總結(jié)課外作 業(yè)P69 習(xí)題 9-2 1.(1)(2) (3) (5) (6) 2.8.9.課后體 會(huì)與總 結(jié)本節(jié)在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上，討論多元函數(shù)(以二元函數(shù)為重 點(diǎn))偏導(dǎo)數(shù)的定義及存在條件

19、和求法，這是多元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)授課主要內(nèi)容一、復(fù)習(xí)引入一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是考察函數(shù)的變化率，對(duì)于多元函數(shù)也要考慮同樣的問(wèn)題，但是因?yàn)槎嘣瘮?shù)的自變量有多個(gè)，所以要考察關(guān)于一個(gè)自變量的變化率，比如一定量的理想氣體當(dāng)溫度T保持不變時(shí)，要考察體積V關(guān)于壓強(qiáng)P的變化規(guī)律，或者壓強(qiáng) P保持不變時(shí)，要考察體積 V關(guān)于T的變化規(guī)律，這就引入偏導(dǎo) 數(shù)的概念。二、導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法在研究一元函數(shù)時(shí)，我們從研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)概念。對(duì)于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率。但多元函數(shù)的自變量不止一個(gè)，因變量與自變量的關(guān)系要比一元函數(shù)復(fù)雜得多。在這一節(jié)里，我們首先考慮多元函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的變化率。以二元函數(shù)z

20、=f(x,y)為例，如果只有自變量x變化，而 自變量y固定(即看作常量)，這時(shí)它就是 x的一元函數(shù)，這函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，就稱為二元函數(shù)z對(duì)于x 的偏導(dǎo)數(shù)，即有如下定義：定義 設(shè)函數(shù) z= f (x, y)在點(diǎn)(x,yo)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng) y固定在y0而x在x處有增量Ax 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f (xx, yo) - f (xo, yo),如果lxmof(x0；：x,yo) - f (xO,yo)存在，則稱此極限為函數(shù) z= f (x, y)在點(diǎn)(xo,yo)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作-：ZX=xoy foex x=x)y=y0zx x=x)y 二y?；?fx(xo, yo)例如，極限(1)可以表

21、示為fx(xo,yo) = l.xm0f(x x, yo) - f (xO,yo)(2)類似地，函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為lim f (xo, yo：y) - f (xo, y。). y 0二 y記作cz.y x滋 y %甘x Xy ToZy xmo y=yo或 f y (xo, yo )如果函數(shù)z = f (x, y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x, y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù) z=f(x, y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)數(shù)，記作CZ-f一,一,zx 或fx(x, y):xex類似地，可以定義函數(shù)z=f(x, y)對(duì)自變量y的

22、偏導(dǎo)數(shù),記作；:z：:y開(kāi)一，zy 或 fy(x,y) - y由偏導(dǎo)數(shù)的概念可知,f (x,y)在點(diǎn)處對(duì)(x0,yo)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)fx (xo, yo)顯然就是偏導(dǎo)函數(shù)fx (x, y)在點(diǎn)(xo, yo)處的函數(shù)值；fy (xo, yo)就是偏導(dǎo)函數(shù)fy (x, y)在點(diǎn)(xo, yo)處的函數(shù)值。就象元函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一樣，以后在不至于混淆的地方也把偏導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)。至于實(shí)際求z = f (x, y)的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要用新的方法,因?yàn)檫@里只有一個(gè)自變量在變動(dòng)，另一個(gè)自變量是看作固定的，所以仍就是一元函數(shù)的微分法問(wèn)題。求開(kāi)一時(shí)，只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)x求導(dǎo).x數(shù)；求 巨時(shí)，則只要把 x暫

23、時(shí)看作常量而對(duì) y求導(dǎo)數(shù)。 二 y偏導(dǎo)數(shù)的概念還可以推廣到二元以上的函數(shù)。例如三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x, y, z)處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)定義為fx(x,y,z) =|而xx等f(wàn) (xo x,y,z) - f (x, y, z)其中(x,y, z)是函數(shù)u = f (x, y, z)的定義域的內(nèi)點(diǎn)。它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問(wèn)題。22例1求 z = x +3xy+y在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù)。解把y看作常量，得把x看作常量，得二2x 3y .:x；z：:y=3x 2y將（1,2）代入上面的結(jié)果，就得；z:xx 4y =2=2 1+3 2=8,：Z 層尸3 12 2 =7例2 求z

24、 =sin 2 y的偏導(dǎo)數(shù)。解 立言=2xsir2y,立；3 = 2x2cos2y excy例 3 設(shè)2=*0, x1),求證:x fz + 1y ；:x In x:z 小=2z:y證因?yàn)?、= yxy = xy ln x, .xt y所以 + - = x yxy1 +xylnx = xy xy =2zy ：:xIn x y y In x例4求r = x2 + y2 + z2的偏導(dǎo)數(shù)。解把y和z都看作常量，得汁x_ _xxx2 y2 z2 r由于所給函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性，所以：r y 立二：:y r ，F(xiàn)z r求證:例5已知理想氣體的狀態(tài)方程 pV = RT （ R為常量），訂=-1.-PR

25、T；:pRT證因?yàn)閜 =,=;VNV 2、，RT V RV =,=；P盯PpV；:TVI = =;R巾R中NTRTRVRT所以- - =2- - 一 ,一=-V:T中VpRpV我們知道，對(duì)一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，dy可看作函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商。而上式表明，偏導(dǎo)dx數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào)，不能看作分子與分母之商。二元函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(Xo, yo)的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義。設(shè)M olxoyo, f(Xo,yo)為曲面z = f (x, y)上的一點(diǎn)，過(guò) Mo作平面y = yo ,截此曲面得一曲線，d此曲線在平面y=yo上的方程為z = f (x, yo),則導(dǎo)數(shù) 一 f (x

26、, yo)|x% ,即偏導(dǎo)數(shù)f x( x, y),就是這曲 dx線在點(diǎn)M o處的切線MoTx對(duì)x軸的斜率(見(jiàn)圖 8-6)。同樣，偏導(dǎo)數(shù)fy(xo, yo)的幾何意義是曲面被平面x=x0所截得的曲線在點(diǎn) Mo處的切線MTy對(duì)y軸的斜率。我們已經(jīng)知道，如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù)。但對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于 Po時(shí)，函數(shù)值f ( P)趨于f (Po)，但不能保證點(diǎn) P按任何方式趨于 Po時(shí)，函數(shù)值f (P)都趨于f (Po)。例如，函數(shù)z = f(x, y)=xy22x yo,

27、22x2V 二 o,22xy = o,在點(diǎn)(o, o)又x的偏導(dǎo)數(shù)為f (o x,o) - f (o,o)x同樣有fy(o,o) = limof (o,o y) - f(o,o)但是我們?cè)诘谝还?jié)中已經(jīng)知道這函數(shù)在點(diǎn)(o, o)并不連續(xù)。三、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z= f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)-z z一 二fx(x,y), 一 = fy(x, y),:xt y那么在D內(nèi)fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y的函數(shù)。如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù) z = f (x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):三zf2z-=- fxx(x, y), :x

28、 二 x二 x白傳z、 e2z 至同= = fxy(x，y),.:z?z.x_y：y ；x=fyx(x,y),-2,二 zfyy(x,y)n階偏導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的偏導(dǎo)其中第二、三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)。同樣可得三階、四階、以及 數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。y2 -3xy3 - xy +1 ,求- 2_ 2_2z z z2、-LL、 L、L、 L、二 x ；y.x ；x；y；：2z72yi3z_ 3:x:z一 x2233x y -3y -y,：z：:y-322x y 9xy -x ；-2二 z一 2:x=6xy2 ,-2二 z.:y :x22)6x y -9y -1 ；-2二 z：x Z- 2二 z

29、-2y2=18x -18xy；-2 這不是偶然的。事實(shí)上，我們有下述定:xcy-2我們看到例6中兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，即二y：x理。：2.2定理 如果函數(shù)z = f (x, y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) Jz及 z在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域 yx二 x：y內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。換句話說(shuō)，二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無(wú)關(guān)。這定理的證明從略。對(duì)于二元以上的函數(shù)，我們也可以類似地定義高階偏導(dǎo)數(shù)。而且高階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下也與求導(dǎo)的次序無(wú)關(guān)。例7驗(yàn)證函數(shù)z = ln(x滿足方程：2z ：2z_2 +2 =0 o:x；:y證 因?yàn)?z = In Jx2 + y24ln(2

30、2、x y ),所以.:z.x.-z _7-2.y xc2z (x2 + y2) - x .2x22X2(x y )22y -x(x2 + y2 2一2/ 2222；z (x y ) y *2y x y/ 222(x y )(x2 十 y2)因此；：2z ；：2z：x2 +22y -x(x2 +y2 222J=0.x2 y2證明函數(shù)u滿足方程lu ：2u ：2u fx2 + ：:y2 +其中 r = x2 y2 z2.：u:x.xc2u1 3xT + r r.x3x2-5 r由于函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性,所以因此-2:u3y25-2二 u-2-zu C2u C2u.：x2+3z23 3r2 丁

31、F =0. r r222.3 3(xyz )T+5例7和例8中兩個(gè)方程都叫做拉普拉斯 （Laplace）方程，它是數(shù)學(xué)物理方程中一種很重要的方程。蘭州工業(yè)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教案教師姓名授課班級(jí)授課時(shí)數(shù)2授課形式講授所用教具授課日期所用教材高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)6版）參考書(shū)目教學(xué)手 段板書(shū)多媒體混合口授課章節(jié)名稱第八章 多元函數(shù)微分學(xué)第二節(jié) 全微分教學(xué)目的要求1、理解全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分 條件；2、了解全微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用；3、培養(yǎng)學(xué)生的相應(yīng)的運(yùn)算能力。教學(xué)重點(diǎn)全微分的概念及計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)全微分存在的條件。更新補(bǔ)充內(nèi)容1.2.教學(xué)提綱1、 復(fù)習(xí)引入1 .復(fù)習(xí)一元函數(shù)微分

32、的概念；2 .先介紹二元函數(shù)的偏增量、全增量的概念，再學(xué)習(xí)全微分的概念。2、 知識(shí)模塊11 .全微分的定義；2 .可微的必要條件和充分條件；3、 知識(shí)模塊21、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 .XX課堂練習(xí)P76習(xí)題9-3XX課堂總結(jié)課外作 業(yè)P76 習(xí)題 9-3 1.(2) (3) (4) 3.6.9.課后體 會(huì)與總 結(jié)二元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)三者之間的關(guān)系 偏導(dǎo)數(shù)存在 / .可微連續(xù)./ 上 可微偏導(dǎo)數(shù)存在少連續(xù)授課主要內(nèi)容一、復(fù)習(xí)引入1 .復(fù)習(xí)一元函數(shù)微分的概念。如同一元函數(shù)的微分，為了解決函數(shù)的增量的近似計(jì)算問(wèn) 題，引入全微分的概念。2 .介紹二元函數(shù)的偏增量、全增量的概念，再學(xué)習(xí)全微

33、分的概念。二、全微分的定義我們已經(jīng)知道，二元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個(gè)自變量固定時(shí)，因變量相對(duì)于該自變量的變化率根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系，可得f (x + Ax, y) f (x, y)之 fx(x, y)Ax ,f (x, y +Ay) f(x, y)之 fy(x, y)Ay .上面兩式的左端分別叫做二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏增量，而右端分別叫做二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏微分.在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)需要研究多元函數(shù)中各個(gè)自變量都取得增量時(shí)因變量所獲得的增量，即所謂全增量的問(wèn)題下面以二元函數(shù)為例進(jìn)行討論設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)P(x, y)的某一鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)P(x + A

34、x, y+ Ay)為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差f (x + Ax, y +Ay) - f (x, y)為函數(shù)在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)于自變量增量 Ax、Ay的全增量，記作c,即z 二 f (x ：=x, y :=y) - f (x, y)一般說(shuō)來(lái)，計(jì)算全增量 z比較復(fù)雜.與一元函數(shù)的情形一樣，我們希望用自變量的增量 Ax、Ay的線性函數(shù)來(lái)近似的代替函數(shù)的全增量Az,從而引入如下定義定義 如果函數(shù)z= f(x, y)在點(diǎn)P(x,y)的全增量.-：z = f (x - x, y . y - f (x, y)可表不為z = AAx + Biy + o( P),其中A、B不依Ay賴于Ax、Ay而僅與

35、x、y有關(guān)，P= (Ax)2+(Ay)2 ,則稱函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)P(x, y)可微分，而AAx + BAy稱為函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)P(x, y)的全微分，記作dz ,即dz = A Ax + BAy。如果函數(shù)在區(qū)域 D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，那末稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分。在第二節(jié)中曾指出，多元函數(shù)在某點(diǎn)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)即使都存在，卻不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。但是，由上述定義可知，如果函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)P(x, y)可微分，那末函數(shù)在該點(diǎn)必定連續(xù)。事實(shí)上，這時(shí)由(2)式可得廿m,z從而lim (x 工x, y y)=1因他)十物=f (x, v)。因此函數(shù)z=f(x, y)在

36、點(diǎn)P(x, y)處連續(xù)。下面討論函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)P(x, y)可微分的條件。定理1 (必要條件)如果函數(shù) z = f (x, y)在點(diǎn)P(x, y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)P(x, y)的偏導(dǎo)數(shù) 、Fx必必定存在，且函數(shù) z = f (x, y)在點(diǎn)P(x, y)的全微分為-:yzzdz=Ax + Ay。fxfy證 設(shè)函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)P(x, y)可微分。于是，對(duì)于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域的任意一點(diǎn)P(x + Ax, y+Ay) , (2)式總成立。特別當(dāng) &y=0時(shí)(2)式也應(yīng)成立，這時(shí) P =| Ax |,所以(2)式成為f (x + Ax, y) - f (x, y)

37、= A dx + o(| Ax |)。上式兩邊各除以 Ax,再令A(yù)xt 0而取極限，就得f (x . ：x, y) - f(x,y)=A,從而偏導(dǎo)數(shù)房存在，且等于Ao同樣可證ez=B。所以(3)式成立。證畢。:x.:y我們知道，一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件。但對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，情形就不同了。當(dāng)函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，雖然能形式地寫(xiě)出Ax+ Ay，但它與Az之差并不一定是較 P:xy高階的無(wú)窮小，因此它不一定是函數(shù)的全微分。換句話說(shuō)，各偏導(dǎo)數(shù)的存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件。例如，函數(shù)xyz = f (x, y) = Jx2 + y20,22xy 二 Q22xy

38、= 0在點(diǎn) p(0,0)處有 fx(0,0) = 0 及 fy(0,0) = 0，所以z - fx(0,0) . ：xfy(0,0) . ,y=.(x)2( y)2如果考慮點(diǎn)P(x +Ax, y + Ay)沿著直線y = x趨于P(0,0),則x. y(x)2 ( y)2. x. yx. x 1=1= _2222,(二x) (,y)(x) (x) 2它不能隨Pt 0而趨于0,這表示Pt 0時(shí)，z - fx(0,0) ：x fy(0,0) y并不是較P高階的無(wú)窮小，因此函數(shù)在點(diǎn)P(0,0)處的全微分并不存在，即函數(shù)在點(diǎn) P(0,0)處是不可微分的。由定理1及這個(gè)例子可知，偏導(dǎo)數(shù)存在是可微分的必要

39、條件而不是充分條件。但是，如果再假定函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則可以證明函數(shù)是可微分的，即有下面定理。定理2 (充分條件)如果函數(shù)z = f (x, y)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微改二y分。證因?yàn)槲覀冎幌抻谟懻撛谀骋粎^(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù)(對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)也如此),所以假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù)，就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思(以后凡說(shuō)到偏導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)均應(yīng)如此理解)。設(shè)點(diǎn)P(x + Ax, y+Ay)為這鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，考察函數(shù)的全增量.：z = f (x : _x, y : _y) - f(x,y)=f (x +Ax, y + Ay) f (x, y + Ay)

40、+ f (x, y +&y) f(x, y)。在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式，由于y十Ay不變，因而可以看作是x的一元函數(shù)f (x, y+Ay)的增量。于是，應(yīng)用拉格郎日中值定理，得到lz = f (x lx, y Ly) - f (x, y y)x=fx(x f, y y)(0 i 11)又假設(shè)，fx(x, y)在點(diǎn) P(x,y)連續(xù)，所以上式可寫(xiě)為f (x 工x, y Ly) - f (x, y y)=fx(x, y)Ax 十名iAx ,(4)其中名i為Ax、Ay的函數(shù)，且當(dāng)Axt 0 , AyT 0時(shí)，eit 0。同理可證第二個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式可寫(xiě)為f (x, y +Ay) f (x, y)

41、= fy(x, y)Ay + 82Ay ,(5)其中82為Ay的函數(shù)，且當(dāng)AyT 0時(shí)，名2 T 0。由(4)、(5)式可見(jiàn)，在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下，全增量z可以表示為z = fx(x, y)Ax + fy(x, y) Ay + SiAx 十君24y。(6)容易看出x；2 ：y一二一-中1| + |鈕 |,它是隨著Axt 0, Ayr 0即Pt 0而趨于零。這就證明了 z = f (x, y)在點(diǎn)P(x, y)是可微分的?？梢酝耆愃频耐茝V到三元和三元以以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及微分的必要條件和充分條件, 上的多元函數(shù)。習(xí)慣上，我們將自變量的增量 Ax、Ay分別記作dx、dy ,并分別稱為自

42、變量 x、y的微分。這樣,函數(shù)z = f (x, y)的全微分就可以寫(xiě)為八 ；z八 2一、dz= dx+ dy.x Fy通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理。疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)的情形。例如，如果三元函數(shù) u = 4(x,y,z)可以微分，那么它的全 微分就等于它的三個(gè)偏微分之和，即-u u_u _du =dx + dy + dz .:x：:y；z例1計(jì)算函數(shù)z =x2 + y2的全微分.解 因?yàn)?2 xy , Wz=x2+2y,；:x；:y所以dz=2 xydx + (x+2y)dy .例2計(jì)算函數(shù)z = exy在點(diǎn)(2,1)處的全微

43、分.解因?yàn)?z xy=ye .xxy=xe:y.z笈x=2 xy=1:z：y=2y=1= 2e2,.22 ,所以dz= e dx +2e dy .例3計(jì)算函數(shù)u = x + sin工+eyz的全微分.2：u / Fu 1 y yz：uyz解因?yàn)?1,=cos + ze ,=ye ,:x：y 22：:z所以du = dx(1 cos + zeyz22)dy + yeyz dz.蘭州工業(yè)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教案教師姓名授課班級(jí)授課時(shí)數(shù)2授課形式講授所用教具授課日期所用教材高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)6版）參考書(shū)目教學(xué)手 段板書(shū)多媒體混合口授課章節(jié)名稱第八章多元函數(shù)微分學(xué)第二節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的要求1、理解掌

44、握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)用此法則求多元復(fù)合函數(shù)的 （偏）導(dǎo)數(shù)；了解全微分形式的/、變性；2、培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)和綜合應(yīng)用的能力。教學(xué)重點(diǎn)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。教學(xué)難點(diǎn)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則更新補(bǔ)充 內(nèi)容1.2.教學(xué)提綱一、復(fù)習(xí)引入1.先復(fù)習(xí)一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，然后再學(xué)習(xí)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法二、知識(shí)模塊11.求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t三、知識(shí)模塊2全微分形式的/、父性.XX課堂練習(xí)P82習(xí)題9-4XX課堂總結(jié)課后體會(huì)與總結(jié)P82 習(xí)題 9-4 1.3.5710.1 .通過(guò)求全微分來(lái)求一階偏導(dǎo)數(shù)有時(shí)比用鏈?zhǔn)椒▌t顯得靈活；2 .當(dāng)復(fù)合函數(shù)復(fù)合的層次比較多，結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜時(shí)，用一階微分的形式 不變性求一階偏

45、導(dǎo)數(shù)或者全導(dǎo)數(shù)較為簡(jiǎn)單。授課主要內(nèi)容一、復(fù)習(xí)引入1.先復(fù)習(xí)一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，然后再學(xué)習(xí)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法二、求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理 如果函數(shù)u =Wt)及v=W(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z= f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z= f 僅t),中(t)在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：dz：:z du , ：:z dv=F.(1)dt ：:u dt：:v 出證 設(shè)t獲得增量 & ,這時(shí)u=4(t)、v=勺(t)的對(duì)應(yīng)增量為 Au、Av ,由此，函數(shù)z= f(u,v)對(duì)應(yīng)地獲得增量 Az.根據(jù)假定，函數(shù) z= f(u,v)在點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是由第三節(jié)公式

46、 (6)有三zFzz =u v；1 u Lu ；2 v,二 u二 v這里，當(dāng) Mt 0, Nt 0 時(shí)，81T 0, &2 T 0 .將上式兩邊各除以 At ,得；zfzLu . fz二 vLu二 v=1F 1F 備.t：uLt ：vLtLtLt因?yàn)楫?dāng) & T 0 時(shí)，M T 0 , Nt 0 , 9u T du , T dv ,所以 tdt tdtlim -z 殳 du + 應(yīng) dvi ：t ：:u dt ：:v dt這就證明了復(fù)合函數(shù) z= f 4(t),中(t)在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用公式(1)計(jì)算.證畢.用同樣的方法，可把定理推廣到復(fù)合函數(shù)的中間變量多于兩個(gè)的情形.例如，設(shè)z = f

47、(u,v, w), u =4(t)、v = (t) , w = cc(t)復(fù)合而得復(fù)合函數(shù)z = f (t),- (t), (t),則在與定理相類似的條件下，這復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算dzfz du , ；z dv , ；z d t一 =+dt；:u dt ；:v dt 工出在公式（1）及（2）中的導(dǎo)數(shù)dz稱為全導(dǎo)數(shù). dt上述定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形.例如，設(shè) z = f (u, v) , u =4(x, y),v =W（x,y）復(fù)合而得復(fù)合函數(shù)z = f (x,y)J (x,y),(3)如果u = 4（x, y）及v =中（x, y）都在點(diǎn)（x,y）具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f（u,v）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u,v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) （3）在點(diǎn)（x,y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算:z二 z 二 ucz cv一 =+xcu ex 二v 二x(4)L.,1-.,1-.-z cz 二 u二 z二 v一 =+.y 二