二重積分的概念與性質(zhì)教案

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載7.1二重積分的基本概念(教案)主講人：孫杰華教學(xué)目的：理解二重積分的概念、性質(zhì)教學(xué)重難點(diǎn)：二重積分的概念、二重積分的幾何意義.教學(xué)方法：講授為主教學(xué)內(nèi)容：一、二重積分的概念1.曲頂柱體的體積設(shè)有一空間立體，它的底是xoy面上的有界區(qū)域 D ,它的側(cè)面是以 D的邊界曲線為準(zhǔn)線，而母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z f(xy),稱這種立體為曲頂柱體.與求曲邊梯形的面積的方法類似，我們可以這樣來求曲頂柱體的體積V :(1)用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域 D分成n個(gè)小區(qū)域1,2, L , n,以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于z軸的柱面，這些柱面將原來的曲頂柱體分劃成n個(gè)小曲頂柱

2、體 1,2, L , n,(假設(shè)i所對應(yīng)的小曲頂柱體為i,這里 i既代表第i個(gè)小區(qū)域，又表示它的面積值，ni既代表第i個(gè)小曲頂柱體，又代表它的體積值.)，從而Vi .i 1圖7.1(2)由于f(x,y)連續(xù)，對于同一個(gè)小區(qū)域來說，函數(shù)值的變化不大.因此，可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體，于是i f( i, i) i,( (i, i) i).(3)整個(gè)曲頂柱體的體積近似值為 nV f( i, i) i. i 1(4)為得到v的精確值，只需讓這n個(gè)小區(qū)域越來越小，即讓每個(gè)小區(qū)域向某點(diǎn)收縮.為 此，我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念：一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)距離的最大者所謂讓區(qū)域向一點(diǎn)收縮性地變小

3、，意指讓區(qū)域的直徑趨向于零.設(shè)n個(gè)小區(qū)域直徑中的最大者為，則nV lim0f( i, i) i, ( i, i) i.0 i 12.二重積分的定義設(shè)f x,y是閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將區(qū)域D分成個(gè)小區(qū)域1 ,2 ,L , n,其中，i既表示第i個(gè)小區(qū)域，也表示它的面積，i表示它的直徑.max i( i, i) l作乘積 f( i, i) i (i 1,2L ,n), n作和式 f( i, i) i , i 1 n若極限lim f i, i i存在，則稱此極限值為函數(shù)f x, y在區(qū)域D上的二重積分，記0 i 1作 f x, y d .即 D nf x,y dlim。f i, i i .D i

4、1其中：f x,y稱之為被積函數(shù)，f x,y d 稱之為被積表達(dá)式，d 稱之為面積元素， x, y稱之為積分變量，D稱之為積分區(qū)域3.對二重積分定義的說明:n極限lim f i, ii的存在與區(qū)域D的劃分及點(diǎn)（i, i）的選取無關(guān)。1,1 Ii i0 i 1（2） f x,y d中的面積元素d 象征著積分和式中的D由于二重積分的定義中對區(qū)域D的劃分是任意的，若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線來劃分區(qū)域D,那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外，絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形，因此，可以將d 記作dxdy （并稱dxdy為直角坐標(biāo)系下的面積元素）,二重積分也可表示成為f x, y dxdy.D（3）二重積分的存

5、在定理若f x,y在閉區(qū)域D上連續(xù)，則f x,y在D上的二重積分存在.注 在以后的討論中，我們總假定在閉區(qū)域上的二重積分存在.（4）若f x,y0,二重積分表示以f x,y為曲頂，以D為底的曲頂柱體的體積.練習(xí)：利用二重積分的幾何意義求Ja2 x2y2d ,其中D： x2 y2 a2。D二、二重積分的性質(zhì)二重積分與定積分有相類似的性質(zhì)性質(zhì)1 （線性性）f x, y g x,y d f x,y d g x, y d ,DDD其中：，是常數(shù).性質(zhì)2 （對區(qū)域的可加性）若區(qū)域D分為兩個(gè)部分區(qū)域 D1, D2,則f x, y dDf x, y dDif x, y dD2性質(zhì)3若在D上，f x, y 1, 為區(qū)域D的面積,則id d .DD幾何意義：高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積.練習(xí)：求 5dxdy。 x2 y2 3性質(zhì)4 若在D上，f x,y x, y，則有不等式f x, y dx,y d .DD特別地,由于 f x, y f x, y f x, y ,有f x, y d | f x, y |d .DD練習(xí)：P119, 1性質(zhì)5 （估值不等式）設(shè)M與m分別是f x, y在閉區(qū)域D上最大值和最小值， 是M的面積，則m f x, y d MD練習(xí)：P119, 3性質(zhì)6 （二重積分的中值定理）設(shè)函數(shù)f x, y在閉