幾類(lèi)實(shí)用函數(shù)的極值解法

1、幾類(lèi)實(shí)用函數(shù)的極值解法極值問(wèn)題是生產(chǎn)、科學(xué)研究和日常生活中常會(huì)碰到的一類(lèi)特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，所謂“多、快、好、省”的問(wèn)題就屬于這一類(lèi)。目前，研究人員針對(duì)這類(lèi)問(wèn)題已提出了多種多樣的數(shù)學(xué)解法，以至形成了一門(mén)嶄新的數(shù)學(xué)分支一一最優(yōu)化方法。一般來(lái)說(shuō)，這類(lèi)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上常?？蓺w結(jié)為求某個(gè)目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題。在高數(shù)中，微分學(xué)為我們提供了一般通用的解決方法，解法無(wú)須考慮這個(gè)或那個(gè)問(wèn)題的特殊性，只需遵循規(guī)范的步驟去執(zhí)行，即可將問(wèn)題解決。但這些方法也并不一定是最簡(jiǎn)便的方法，運(yùn)用起來(lái)有時(shí)會(huì)碰到計(jì)算量大的麻煩，若每次都應(yīng)用這些方法于無(wú)理函數(shù)、有理函數(shù)等實(shí)用函數(shù)的極值問(wèn)題，那會(huì)事倍功半。因此，這里我們研究一下無(wú)理函數(shù)、有理

2、函數(shù)等實(shí)用函數(shù)的極值求法，以簡(jiǎn)化平時(shí)碰到的一些實(shí)用函數(shù)極值問(wèn)題的解決。特別注意，極值和最值是兩個(gè)不同的概念，極值是局部性的，而最值是在函數(shù)全定義域上的。在本文，我們認(rèn)為最大值是特殊的絕對(duì)的極大值，最小值是特殊的絕對(duì)的極小值。一、無(wú)理函數(shù)的極值在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和工程技術(shù)設(shè)計(jì)中，常會(huì)遇到這樣一類(lèi)問(wèn)題，要使產(chǎn)量最高、成本最低，要使完工時(shí)間最快、質(zhì)量最好等，歸根結(jié)底，這些都是函數(shù)極大值與極小值的問(wèn)題，簡(jiǎn)稱(chēng)極值問(wèn)題。而無(wú)理函數(shù)的極值問(wèn)題是函數(shù)極值問(wèn)題的一個(gè)很重要的部分，因此，我們有必要研究一下求無(wú)理函數(shù)極值的解法。下面介紹三種求無(wú)理函數(shù)極值的解法。1引理1(1)若x0為f(x)的極大(小)值點(diǎn)，則x0亦為f

3、2n+1(x)的極大(小)值點(diǎn)(nGN)；(2)若f(x)>0,則f(x)與fn(x)有相同的極值點(diǎn)(nGN)；(3)若f(x)W0,則f(x)與f2n+1(x)有相同的極值點(diǎn)(nGN)，但f(x)與f2n(x)的極值點(diǎn)的關(guān)系是f(x)的極大(小)值點(diǎn)為f2n(x)的極小(大)值點(diǎn)。2不等式法利用不等式(I)及其導(dǎo)出的四個(gè)結(jié)論，可以解決很多無(wú)理函數(shù)極值問(wèn)題。不等式(I)：)結(jié)論1:設(shè)正變數(shù)x1,x2,，xn滿足線性方程a1x1+a2x2+-anxn,這里al,a2,，an,S都是正常數(shù)，那么，積x1,x2,，xn當(dāng)a1x1=a2x2=anxn時(shí)為最大。結(jié)論2:設(shè)正變數(shù)x1,x2，xn的積

4、為常數(shù)C,即x1x2m=C,那么和a1x1+a2x2+-anxn,其中al,a2,，an為正常數(shù)，當(dāng)a1x1=a2x2-=anxn時(shí)為最小。結(jié)論3:設(shè)正變數(shù)x1,x2,，xn滿足線性方程a1x1+a2x2*anxn=S,其中al,a2,，an,S都是正常數(shù)，那么，積xxx,其中指數(shù)ml,m2，mn都是正有理數(shù)，當(dāng)=二時(shí)為最大。結(jié)論4:設(shè)正變數(shù)的積xx-x為定值，其中指數(shù)ml,m2,mn都是正有理數(shù)，那么和a1x1+a2x28anxn,其中al,a2,an都是正常數(shù)，當(dāng)=時(shí)為最小。3數(shù)形結(jié)合法對(duì)于形如y=+型、y=+型等的無(wú)理函數(shù)極值問(wèn)題，我們可以考慮用數(shù)形結(jié)合法來(lái)解決。(1)構(gòu)造切線模型。對(duì)于

5、一次無(wú)理函數(shù)y=+,根號(hào)內(nèi)是一次函數(shù)，求這類(lèi)函數(shù)的最值，可聯(lián)想到切線，構(gòu)造切線模型。(2)構(gòu)造距離模型。對(duì)于形如y=+等無(wú)理函數(shù)，轉(zhuǎn)化為y=+,將其與幾何中的兩點(diǎn)間距離IdI=及點(diǎn)到直線的距離|d|二公式作比較，形式上相符合時(shí)，考慮將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題一一構(gòu)造距離模型來(lái)處理。對(duì)于大部分的無(wú)理函數(shù)極值問(wèn)題都可以通過(guò)上面的“引理1 ”、不等式法或數(shù)形結(jié)合法來(lái)解決。以后碰到無(wú)理函數(shù)極值問(wèn)題時(shí)，如果能靈活運(yùn)用這三種方法，可以將問(wèn)題迎刃而解，并且省去大量的計(jì)算麻煩。二、有理函數(shù)y二的極值有理函數(shù)也是現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)、初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)到的一類(lèi)函數(shù)，用數(shù)學(xué)知識(shí)求其極值的模型更是解決現(xiàn)實(shí)中存在的問(wèn)題的途徑

6、。因此，有必要了解一些求有理函數(shù)極值的方法。現(xiàn)在的數(shù)學(xué)知識(shí)中，也已有很多求有理函數(shù)極值的方法，比如“利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值”“單調(diào)性求極值”等。其實(shí)，這些方法都不是通法，運(yùn)用起來(lái)可能會(huì)碰到諸多麻煩。但是，對(duì)于低次有理函數(shù)，由于結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單，用一些方法往往就可以求它們的極值了。所以，在這里，我們介紹求一次有理函數(shù)極值的數(shù)形結(jié)合法和利用反函數(shù)丫二定義域求二次有理函數(shù)y=方法。1 .數(shù)形結(jié)合一一構(gòu)造斜率模型求y=的極值對(duì)于一次有理函數(shù)y=，求其極值可聯(lián)想到斜率公式：點(diǎn)A（bx,ax）和B（-b1,-a1）點(diǎn)的連線的斜率kAB=（bx中bl）,把數(shù)的問(wèn)題一一值域，轉(zhuǎn)化為“形”的問(wèn)題一一直線的斜率取值范圍。2

7、 .利用反函數(shù)定義域法求二次有理函數(shù)y二的極值通過(guò)將函數(shù)y二化歸為關(guān)于x的一元二次方程（b0y-a0）x2+（b1y-a1）+（b2y-a2）=0（1）利用其判別式）（）來(lái)決定所求函數(shù)的極值。思考：我們知道二次函數(shù)是不能簡(jiǎn)單地使用對(duì)應(yīng)二次方程的判別式）（）來(lái)確定其極值的注意點(diǎn)的，加之，對(duì)上述方程有沒(méi)有假設(shè)x2項(xiàng)的系數(shù)（b0y-a0）=0的條件，利用（）來(lái)決定所求函數(shù)的極值是否有遺漏呢？對(duì)此我們來(lái)探討一下。根據(jù)方程知識(shí)，在（b0y-a0）*0,即y*,且4=（b1y-a1）2-4（b0y-a0）（b2y-a2）（2）時(shí)，對(duì)于（2）式所確定的范圍的y，（1）式一般均有兩個(gè)解（僅對(duì)應(yīng)=0的y才只有一

8、個(gè)解）x1和x2與之對(duì)應(yīng)；而如果（b0y-a0）=0,1b1y-a1中0,即y=中時(shí)，（1）式有解x0=與之對(duì)應(yīng)。注意到此時(shí)，（2）式為（b1y-a1）2>0。于是，只要前面所給有理函數(shù)具有條件中，那么，它的反函數(shù)x=f-1（y）的定義域，從而y的值域由（2）式，即（1）式的判別式0z所確定。如果=*k（中），則此時(shí)（2）式為=（b0y-a0）k（b0y-a0）-4（b2y-a2）=（b0y-a0）（b0ky-4b2）y-（a0k-4a2）>0（3）其中k=。可見(jiàn)丫=是4=0的一個(gè)根。此時(shí)，相應(yīng)的（1）式關(guān)于x無(wú)解,從而y=不屬于反函數(shù)的定義域。于是，在此情況，函數(shù)y只有一個(gè)極值：y=。上述討論中所提到的反函數(shù)，具體地分別給出如下：當(dāng)時(shí)中，反函數(shù)x=f-1（y）,即x1,2的表達(dá)式為其中：x1,2=（y*）（y二）若-a2>0,則x2=二oo若-a2v0,貝U=oox2=當(dāng)二時(shí)，反函數(shù)x=f-1(y)的表達(dá)式為x1,2=(y*)以上結(jié)論說(shuō)明，把有理函數(shù)化成(1)式，利用來(lái)決定函數(shù)極域，求解函數(shù)的極值是可行的。當(dāng)然，上述的討論僅僅是在所給有理函數(shù)的自然定義域上作出的。